3: Integrales múltiples
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In your previous calculus courses you defined and worked with single variable integrals, like \(\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}{x}\text{.}\) In this chapter, we define and work with multivariable integrals, like \(\iint_{R} f(x,y)\ \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\) and \(\iiint_{V} f(x,y,z)\ \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\text{.}\) We start with two variable integrals.
- 3.1: Integrales dobles
- Supongamos que se quiere calcular la masa de una placa que llena la región\(\mathcal{R}\) en el\(xy\) plano. Supongamos además que la densidad de la placa, digamos en kilogramos por metro cuadrado, depende de la posición.
- 3.2: Integrales dobles en coordenadas polares
- Hasta ahora, en la configuración de integrales, siempre hemos cortado el dominio de la integración en pequeños rectángulos dibujando en muchas líneas de constante\(x\) y muchas líneas de constante\(y\text{.}\)
- 3.3: Aplicaciones de Integrales Dobles
- Las dobles integrales son útiles para algo más que áreas de computación y volúmenes. Aquí hay algunas otras aplicaciones que conducen a dobles integrales.
- 3.4: Superficie
- Supongamos que deseamos encontrar el área de parte,\(S\text{,}\) de la superficie\(z=f(x,y)\text{.}\) Empezamos\(S\) cortando en trozos diminutos.
- 3.5: Integrales triples
- Las integrales triples, es decir integrales sobre regiones tridimensionales, son como integrales dobles, solo que más. Descomponemos el dominio de la integración en pequeños cubos, por ejemplo, computamos la contribución de cada cubo y luego usamos integrales para sumar todas las diferentes piezas. Repasaremos los detalles ahora por medio de una serie de ejemplos.
- 3.6: Integrales triples en coordenadas cilíndricas
- Muchos problemas poseen simetrías naturales. Podemos facilitar nuestro trabajo mediante el uso de sistemas de coordenadas, como coordenadas polares, que se adaptan a esas simetrías. Analizaremos dos sistemas de coordenadas más de este tipo: coordenadas cilíndricas y esféricas.
- 3.7: Integrales triples en coordenadas esféricas
- En el caso de que se desee calcular, por ejemplo, la masa de un objeto que es invariante bajo rotaciones alrededor del origen, es ventajoso utilizar otra generalización de coordenadas polares a tres dimensiones. El sistema de coordenadas se llama coordenadas esféricas.
- 3.8: Opcional— Integrales en Coordenadas Generales
- Una de las herramientas más importantes utilizadas en el tratamiento de integrales de una sola variable es la regla de cambio de variable (sustitución)
Miniaturas: Diagrama que representa un ejemplo integral triple trabajado. La pregunta es “Encuentra el volumen de la región delimitada arriba por la esfera\(x^2+y^2+z^2 = a^2\) y abajo por el cono\(z^2 \sin^2(a) = (x^2+y^2)\cos^2(a)\) donde\(a\) está en el intervalo\([0,π]\) (Dominio Público; Inductiveload vía Wikipedia).