2.1: Definiciones y primeros ejemplos

En el último capítulo, estudiamos las funciones valoradas vectoriales de una sola variable, como, por ejemplo, la velocidad\(\vecs{v} (t)\) de una partícula en el tiempo\(t\text{.}\) Supongamos sin embargo que estamos interesados en un fluido. Hay una velocidad, posiblemente diferente, en cada punto del fluido. Entonces la velocidad de un fluido es realmente una función valorada por vector de varias variables. Tal función se llama campo vectorial.

Definición 2.1.1

1. Un campo vectorial en el plano es una regla que asigna a cada punto\((x,y)\) en un subconjunto,\(D\text{,}\) del\(xy\) plano, un vector de dos componentes\(\vecs{v} (x,y)\text{.}\)
2. Un campo vectorial en el espacio es una regla que asigna a cada punto\((x,y,z)\) en un subconjunto de\(\mathbb{R}^3\text{,}\) un vector de tres componentes\(\vecs{v} (x,y,z)\text{.}\)

Aquí hay dos aplicaciones típicas que involucran naturalmente campos vectoriales.

• Si\(\vecs{v} (x,y,z)\) es la velocidad de un fluido en movimiento en posición\((x,y,z)\text{,}\) entonces\(\vecs{v} \) se llama campo de velocidad.
• Si\(\vecs{F} (x,y,z)\) es la fuerza en la posición\((x,y,z)\text{,}\) entonces\(\vecs{F} \) se llama ¹ un campo de fuerza.

Ejemplo 2.1.2. La fuente puntual

Imagina

• El mundo entero está lleno de un fluido incompresible. Llámenlo agua.
• De alguna manera encuentras una manera de producir aún más agua en el origen. Digamos que creas\(4\pi m\) litros por segundo.
• Esto obliga al agua a fluir hacia afuera. Supongamos que fluye simétricamente hacia afuera desde el origen.

Busquemos el campo vectorial resultante\(\vecs{v} (x,y,z)\text{.}\) Como el flujo va a ser simétrico, la velocidad del agua en el punto\((x,y,z)\)

• tiene que estar apuntando radialmente hacia afuera desde el origen. Es decir, la dirección del vector de velocidad\(\vecs{v} (x,y,z)\) tiene que ser el vector radial unitario

  \[ \hat{\textbf{r}} (x,y,z) = \frac{x\hat{\pmb{\imath}} + y\hat{\pmb{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \nonumber \]

• La magnitud de la velocidad, es decir, la velocidad\(|\vecs{v} (x,y,z)|\) del agua, tiene que depender únicamente de la distancia desde el origen. Es decir, la velocidad sólo puede ser alguna función de

  \[ r(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \nonumber \]

Así el campo de velocidad es de la forma

\[ \vecs{v} (x,y,z) = v\big(r(x,y,z)\big)\,\hat{\textbf{r}} (x,y,z) \nonumber \]

Solo tenemos que determinar la función\(v(r)\text{.}\) Fijar cualquiera\(r \gt 0\) y concentrarnos en la esfera\(x^2+y^2+z^2=r^2\text{.}\) Se esboza en rojo en la siguiente figura.

Durante un intervalo de tiempo muy corto\(dt\) segundos, se crean\(4\pi m\,dt\) litros de agua en el origen (que es el punto rojo). Como el agua es incompresible, los\(4\pi m\,dt\) litros de agua deben salir por la esfera durante el mismo intervalo de tiempo para dejar espacio para el agua recién creada.

Pero, en la superficie de la esfera el agua fluye radialmente hacia afuera con velocidad\(v(r)\text{.}\) Así que durante el intervalo de tiempo en cuestión el agua cercana a la superficie de la esfera se mueve hacia afuera una distancia\(v(r)\,dt\text{,}\) y en particular el agua que estaba en la delgada concha esférica\(\ \ r-v(r)\,dt \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \le r\ \ \) al comienzo de la el intervalo de tiempo sale a través de la esfera\(\sqrt{x^2+y^2+z^2} = r\) durante el intervalo de tiempo. El caparazón está bosquejado en gris en la figura anterior. El volumen de agua en la concha gris es esencialmente la superficie de la concha, que es\(4\pi r^2\text{,}\) multiplicada por el grosor de la concha, que es\(v(r)\,dt\text{.}\) Así, equiparando el volumen de agua creado dentro de la esfera con el volumen de agua que salió de la esfera,

\[ 4\pi m\,dt = (4\pi r^2) \big(v(r)\,dt\big) \implies v(r) = \frac{4\pi m}{4\pi r^2} =\frac{m}{r^2} \nonumber \]

Por lo tanto, nuestro campo vectorial es

\[ \vecs{v} (x,y,z) = \frac{m}{r(x,y,z)^2}\,\hat{\textbf{r}} (x,y,z) \nonumber \]

Si el mundo fuera dos, en lugar de tres dimensiones ², y la fuente\(2\pi m\) creara litros por segundo, el mismo argumento lleva a

\[ 2\pi m\,dt = (2\pi r) \big(v(r)\,dt\big) \implies v(r) = \frac{2\pi m}{2\pi r} =\frac{m}{r} \nonumber \]

y al campo vectorial

\[ \vecs{v} (x,y) = \frac{m}{r(x,y)}\,\hat{\textbf{r}} (x,y)\qquad r(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \hat{\textbf{r}} (x,y) = \frac{x\hat{\pmb{\imath}} + y\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{x^2+y^2}} \nonumber \]

Para obtener una imagen mental de cómo se ve este campo, imagina bosquejar, para cada punto\((x,y)\text{,}\) el vector\(\frac{m}{r(x,y)}\,\hat{\textbf{r}} (x,y)\) con su cola en\((x,y)\text{.}\) Note que el vector\(\frac{m}{r(x,y)}\,\hat{\textbf{r}} (x,y)\)

• puntos radialmente hacia afuera y
• tiene longitud\(\frac{m}{r(x,y)}\) que
  • depende solo de\(r=|(x,y)|\) y
  • es muy largo cuando\((x,y)\) está cerca del origen y
  • disminuye en longitud como a\(\frac{1}{r}\) medida que\(r=|(x,y)|\) aumenta.

Aquí hay un boceto de un montón de tales vectores.

Figura 2.1.3.

Obsérvese que como\(|(x,y)|\rightarrow 0\text{,}\) la magnitud de la velocidad\(|\vecs{v} (x,y)|\rightarrow\infty\text{.}\) Esto es consecuencia de nuestra suposición idealizada de que estamos produciendo agua en un solo punto (el origen).

Ejemplo 2.1.4. El vórtice

En este ejemplo, esbozamos el campo vectorial

\[ \vecs{v} (x,y) = \Omega\big(-y\hat{\pmb{\imath}} +x\hat{\pmb{\jmath}}\big) \nonumber \]

donde\(\Omega\) es solo una constante estrictamente positiva. Damos un procedimiento eficiente para obtener un boceto aproximado, que aún proporciona una imagen bastante realista del campo vectorial, y que también se generaliza a otros campos vectoriales. Primero concéntrese en la componente horizontal\(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} (x,y)\) del campo vectorial y determine en qué parte del\(xy\) plano es cero, en qué parte es positiva y en qué parte es negativa.

\[ \hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} (x,y) =-\Omega y\ \ \begin{cases} =0 &\text{if } y=0\\ \lt 0 &\text{if } y \gt 0\\ \gt 0 &\text{if } y \lt 0 \end{cases} \nonumber \]

A continuación, repita con el componente vertical.

\[ \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} (x,y) = \Omega x\ \ \begin{cases} =0 &\text{if } x=0 \\ \lt 0 &\text{if } x \lt 0 \\ \gt 0 &\text{if } x \gt 0 \end{cases} \nonumber \]

Esto divide naturalmente el\(xy\) plano en nueve partes de acuerdo a si cada uno de los componentes es positivo\(0\) o negativo,

• \(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\)y\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\) en\(\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y \lt 0,\ x \gt 0\ \big\}\)
• \(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\)y\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} =0\) en\(\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y \lt 0,\ x=0\ \big\}\)
• \(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\)y\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} \lt 0\) en\(\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y \lt 0,\ x \lt 0\ \big\}\)
• \(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} =0\)y\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\) en\(\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y=0,\ x \gt 0\ \big\}\)
• y así sucesivamente

Ahora piensa\(\vecs{v} (x,y)\) que es la velocidad a\((x,y)\) de un fluido que fluye.

• Mira el primer punto de arriba. Dice que en la primera de las nueve partes, es decir,\(\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y \lt 0,\ x \gt 0\ \big\}\text{,}\) que es el cuarto cuadrante, la componente\(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\) horizontal significa que el fluido fluye hacia la derecha. Indique esto en el boceto dibujando una flecha horizontal apuntando hacia la derecha en algún punto genérico en el medio del cuarto cuadrante. (Es la flecha azul en la figura de abajo.) El componente vertical\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\) significa que el fluido también se mueve hacia arriba. Indique esto en el boceto dibujando una flecha vertical que apunta hacia arriba en el mismo punto genérico en el cuarto cuadrante. (Es la flecha roja en la figura de abajo.)

  

• A continuación, mira el segundo punto de viñeta anterior. Dice que en la segunda de las nueve partes, es decir,\(\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y \lt 0,\ x=0\ \big\}\text{,}\) que es la mitad inferior del\(y\) eje -eje, la componente horizontal\(\hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} \gt 0\text{,}\) significa que el fluido se mueve hacia la derecha. Indique esto en el boceto dibujando una flecha horizontal apuntando hacia la derecha en algún punto genérico en el medio de la mitad inferior del\(y\) eje -eje. (Es la segunda flecha azul en la figura de abajo.) La componente vertical\(\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} =0\) significa que el fluido no tiene ningún movimiento vertical en absoluto. Indique esto en el boceto no dibujando ninguna flecha vertical en la mitad inferior del\(y\) eje.

  

• y así sucesivamente

Para cuando hayamos mirado las nueve regiones habremos construido el siguiente boceto.

Figura 2.1.5.

De este boceto vemos que, por ejemplo, en el primer cuadrante,

• el fluido se mueve hacia arriba y hacia la izquierda y
• el fluido cruza el\(x\) eje vertical (de manera que cerca del\(x\) eje, las flechas serán casi verticales) y
• el fluido cruza el\(y\) eje horizontal (de manera que cerca del\(y\) eje, las flechas serán casi horizontales) y
• hay un punto, es decir,\((0,0)\text{,}\) donde el campo vectorial es exactamente cero. Es el punto negro en el centro de la figura de arriba. Además\(\vecs{v} (x,y)=\Omega(-y\hat{\pmb{\imath}}+x\hat{\pmb{\jmath}})\) es más pequeño cuando\((x,y)\) está más cerca\((0,0)\) y\(\vecs{v} (x,y)\) es más grande cuando\((x,y)\) está más lejos de\((0,0)\text{,}\)

Uniendo toda esta sabiduría acumulada, se nos ocurre este mejor boceto del campo vectorial.

Figura 2.1.6.

Esto muestra el campo arremolinándose alrededor del origen en sentido contrario a las agujas del reloj. De ahí el nombre “vórtice”.

Ejemplo 2.1.7. El péndulo no lineal sin amortiguar

En este ejemplo, ilustramos otra forma en la que surgen los campos vectoriales. Modelar un péndulo por una masa\(m\) que está conectada a una bisagra por una varilla idealizada que es sin masa ³ y de longitud fija\(\ell\text{.}\) Denote por\(\theta\) el ángulo

entre la varilla y vertical. Las fuerzas que actúan sobre la masa son

• gravedad y
• la tensión en la varilla, cuya magnitud, se ajusta\(\tau\text{,}\) automáticamente para que la distancia entre la masa y la bisagra se fije en\(\ell\text{.}\)

En la opcional ⁴ Sección 2.5, mostramos que el ángulo\(\theta(t)\) obedece a la ecuación diferencial no lineal ⁵ de segundo orden

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} +\frac{g}{\ell}\sin\theta=0 \nonumber \]

A menudo es mucho más conveniente tratar con ecuaciones diferenciales de primer orden, en lugar de de segundo orden. La ecuación de péndulo de segundo orden anterior puede ser reformulada ⁶ como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, por el simple recurso de definir

\[ x(t)=\theta(t)\qquad y(t)=\theta'(t) \nonumber \]

Así\(x(t)\) es el ángulo en el tiempo\(t\) y\(y(t)\) es la velocidad angular en el tiempo\(t\text{.}\) Entonces,

\[\begin{alignat*}{4} x'(t)&=&\theta'(t)&=y(t)\cr y'(t)&=&\ \theta''(t)&=-\frac{g}{\ell}\sin x(t) \end{alignat*}\]

Por lo general, no se escribe en la\((t)\) dependencia explícitamente.

\[\begin{align*} x'&=y\\ y'&=-\frac{g}{\ell}\sin x \end{align*}\]

Los lados de la derecha forman el campo vectorial

\[ \vecs{v} \big((x,y)\big)=\Big(y\,,\,-\frac{g}{\ell}\sin x\Big) \nonumber \]

Podemos bosquejar este campo vectorial, así como esbozamos el campo vectorial del Ejemplo 2.1.4. Observando que el componente horizontal

\[ \hat{\pmb{\imath}}\cdot\vecs{v} (x,y) = y\ \ \begin{cases} =0 &\text{if } y=0 \\ \gt 0 &\text{if } y \gt 0 \\ \lt 0 &\text{if } y \lt 0 \end{cases} \nonumber \]

y el componente vertical.

\[ \hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} (x,y) = -\frac{g}{\ell}\sin x\ \ \begin{cases} =0 &\text{if } x=0,\ \pm\pi, \pm2\pi, \cdots \\ \gt 0 &\text{if } -\pi \lt x \lt 0,\ \ \pi \lt x \lt 2\pi,\text{ etc.}\\ \lt 0 &\text{if } 0 \lt x \lt \pi, \ \ 2\pi \lt x \lt 3\pi,\text{ etc.} \end{cases} \nonumber \]

tenemos

• movimiento hacia la derecha ⁷ cuando\(y \gt 0\)
• movimiento hacia la izquierda cuando\(y \lt 0\)
• movimiento hacia abajo cuando\(0 \lt x \lt \pi\text{,}\)\(2\pi \lt x \lt 3\pi\text{,}\)\(\cdots\) y
• movimiento hacia arriba cuando\(-\pi \lt x \lt 0\text{,}\)\(\pi \lt x \lt 2\pi\text{,}\)\(\cdots\text{.}\)

Esto nos da la colección de flechas en la figura

Nuestro boceto completo estará menos desordenado si hacemos todas las flechas de la misma longitud. Esto da

que es un boceto de lo que se llama el campo de dirección de nuestro campo vectorial (ver abajo).

En la siguiente sección, aprenderemos a usar bocetos de campo vectoriales para esbozar trayectorias de soluciones.

Definición 2.1.8

El campo de dirección de un campo vectorial\(\vecs{v} (x,y,z)\) es el campo vectorial

\[ \textbf{V}(x,y,z) =\begin{cases} \frac{\vecs{v} (x,y,z)}{|\vecs{v} (x,y,z)|} &\text{if } \vecs{v} (x,y,z)\ne\vecs{0} \\ \vecs{0} & \text{if } \vecs{v} (x,y,z) = \vecs{0} \end{cases} \nonumber \]

Ejercicios

Etapa 1

1

A continuación se muestra un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y)\text{.}\)

Encuentra las regiones donde las\(x\) coordenadas -y\(y\) -coordenadas son positivas, negativas y cero:

\[ \vecs{v} (x,y)\cdot \hat{\pmb{\imath}} \begin{cases} \gt 0 & \mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ =0 &\mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ \lt 0&\mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \end{cases} \nonumber \]

\[ \vecs{v} (x,y) \cdot \hat{\pmb{\jmath}} \begin{cases} \gt 0 & \text{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ =0 & \text{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ \lt 0&\text{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \end{cases} \nonumber \]

Se puede suponer que\(\vecs{v} (x,y)\) se comporta como se esperaba en los puntos que no ve. Es decir, las muestras son representativas de una función de vector suave y continua. También puede suponer que las marcas de garrapata en los ejes corresponden a distancias unitarias.

2

A continuación se muestra un boceto del campo vectorial\(\vecs{v} (x,y)\text{.}\)

Encuentra las regiones donde las\(x\) coordenadas -y\(y\) -coordenadas son positivas, negativas y cero:

\[ \vecs{v} (x,y)\cdot \hat{\pmb{\imath}} \begin{cases} \gt 0 & \mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $}\\ =0 &\mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ \lt 0&\mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \end{cases} \nonumber \]

\[ \vecs{v} (x,y)\cdot \hat{\pmb{\jmath}} \begin{cases} \gt 0 & \mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ =0 &\mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \\ \lt 0&\mbox{ when } \fbox{$\vphantom{L}\qquad\qquad $} \end{cases} \nonumber \]

Puede suponer que las muestras mostradas son representativas del comportamiento general de También\(\vecs{v} (x,y)\text{.}\) puede asumir que las marcas de graduación en los ejes corresponden a distancias unitarias.

3

Una plataforma con muchas cintas transportadoras pequeñas está alineada en un plano de coordenadas. Cada cinta transportadora mueve un objeto encima de ella en la dirección del origen, y una cinta transportadora en posición\((x,y)\) hace que un objeto encima de ella se mueva con velocidad\(y\text{.}\) Suponga que los objetos no interfieren entre sí.

Dar una fórmula con valor vectorial para la velocidad de un objeto en la posición\((x,y)\text{.}\)

4

Dejado\(\vecs{F} = P\,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\) ser el campo vectorial bidimensional esbozado a continuación.

Determinar los signos de\(P\text{,}\)\(Q\text{,}\)\(\frac{\partial Q}{\partial x}\) y\(\frac{\partial Q}{\partial y}\) en el punto\(A\text{.}\)

5

Imagina que el campo vectorial\(\vecs{v} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}\)

es el campo de velocidad de un fluido en movimiento.

1. En el momento\(0\) se deja caer una ramita en el fluido en el punto\((1,1)\text{.}\) Cuál es la posición aproximada de la ramita en el momento\(t=0.01\text{?}\)
2. En el momento\(0\) se deja caer una ramita en el fluido en el punto\((0,0)\text{.}\) ¿Cuál es la posición de la ramita en el momento\(t=0.01\text{?}\)
3. En el momento\(0\) se deja caer una ramita en el fluido en el punto\((0,0)\text{.}\) ¿Cuál es la posición de la ramita en el momento\(t=10\text{?}\)

6

Imagina que el campo vectorial\(\vecs{v} (x,y) = 2x\,\hat{\pmb{\imath}} -\hat{\pmb{\jmath}}\)

es el campo de velocidad de un fluido en movimiento. En el momento\(0\) se deja caer una ramita en el fluido en el punto\((0,0)\text{.}\) ¿Cuál es la posición de la ramita en el momento\(t=10\text{?}\)

Etapa 2

7

Una plataforma con muchas cintas transportadoras pequeñas está alineada en un plano de coordenadas. Cada cinta transportadora mueve un objeto encima de ella en la dirección del origen, y una cinta transportadora en posición\((x,y)\) hace que un objeto encima de ella se mueva con velocidad\(y\text{.}\) Suponga que los objetos no interfieren entre sí.

Dar una fórmula con valor vectorial para la velocidad de un objeto en la posición\((x,y)\text{.}\)

8

Las abejas amigables vuelan hacia tu cara desde todas las direcciones. La velocidad de cada abeja es inversamente proporcional a su distancia de tu cara. Encuentra un campo vectorial para la velocidad del enjambre.

9

Esbozar el campo vectorial\(\vecs{v} (x,y)=(x^2,y)\text{.}\)

10

Esbozar el campo de dirección de\(\vecs{v} (x,y) = \left( \sqrt{x^2+y^2} , \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right)\text{.}\)

11

Esbozar el campo de dirección de\(\vecs{v} (x,y)=(x^2+xy,y^2-xy)\text{.}\)

12

Esbozar el campo vectorial\(\displaystyle \vecs{v} (x,y)=\left[\frac{1/3}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)+\frac{1/3}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}(x-1,y)\right]\text{.}\)

13

Esboce cada uno de los siguientes campos vectoriales, dibujando una figura como la Figura 2.1.3.

1. \(\vecs{v} (x,y) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)
2. \(\vecs{v} (x,y) = 2x\,\hat{\pmb{\imath}} -\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)
3. \(\vecs{v} (x,y) = \frac{y\,\hat{\pmb{\imath}} -x\,\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{.}\)

14

Un cuerpo de masa\(M\) ejerce una fuerza de magnitud\(\frac{GM}{D^2}\) sobre una partícula de masa unitaria\(D\) alejada de sí misma, donde\(G\) es una constante física. La fuerza actúa en la dirección de la partícula al cuerpo.

Supongamos que una masa de 5 kg se asienta en posición,\((0,0)\text{,}\) una masa de 3 kg se asienta en posición\((2,3)\text{,}\) y una masa de 7 kg se asienta\((4,0)\) en posición en un plano coordinado. Dar el campo vectorial\(\vf(x,y)\) de la fuerza gravitacional neta ejercida sobre una unidad de masa en posición\((x,y)\text{.}\)

Etapa 3

15

a. Un poste se apoya contra una pared vertical. El poste tiene longitud 2, y toca la pared a la altura\(H=1\text{.}\) El poste se desliza hacia abajo, aún tocando la pared, con su altura disminuyendo a un ritmo de\(\dfrac{dH}{dt}=0.5\text{.}\)

Encuentra una función vectorial\(\vecs{v} :\mathbb [0,2] \to \mathbb R^2\) para la velocidad, cuando\(H=1\text{,}\) de un punto en el polo que es\(p\) unidades del extremo inferior, usando el sistema de coordenadas del boceto anterior.

b. El marco de una sombrilla se construye sujetando postes rectos y rígidos a un centro común. Los polos son todos de la misma longitud, por lo que forman radios de círculo.

El marco se levanta desde el centro del círculo. Los bordes del marco se arrastran sobre el suelo, manteniendo el marco en forma de cono circular derecho que se está volviendo más alto y delgado.

Supongamos que la longitud de cada poste es de 2 metros, y el centro del cuadro se está levantando a una velocidad de 50 cm/s. Dar un campo vectorial para la velocidad\(\vV(x,y,z)\) de un punto\((x,y,z)\) en el marco cuando su centro está a 1 metro sobre el suelo.

Deje que el suelo tenga altura\(z=0\text{,}\) y deje que el centro del marco se asiente directamente sobre el origen.

1. No, los campos de fuerza no son sólo un tropo de ciencia ficción. La gravedad es un ejemplo de campo de fuerza.
2. Es posible que desee pensar en lo que sucede en\(d\) dimensiones para general\(d\text{.}\)
3. Mientras estamos idealizando, pongamos todo en el vacío.
4. En la Sección 2.5 opcional también incluimos las fuerzas de fricción. En este ejemplo, no lo hacemos, así que establece el\(\beta\) de la Sección 2.5 a cero aquí.
5. Es común, al considerar solo pequeñas oscilaciones de amplitud, aproximarse\(\sin\theta\) por\(\theta\text{.}\) Esto convierte nuestra ecuación diferencial no lineal en una ecuación diferencial lineal.
6. Este “hack” se generaliza fácilmente y se usa comúnmente al generar, por computadora, soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
7. Obsérvese que se trata de un movimiento hacia la derecha del punto\((x,y)\text{,}\) no del péndulo en sí.