A.9: Revisión de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales

Definición A.9.1.

1. Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que contiene las derivadas de esa función desconocida. Por ejemplo,\(y''(t)+y(t)=0\) es una ecuación diferencial para la función desconocida\(y(t)\text{.}\)
2. Una ecuación diferencial se denomina ecuación diferencial ordinaria (a menudo abreviada como “ODE”) si solo aparecen derivadas ordinarias. Es decir, si la función desconocida tiene sólo una única variable independiente. Una ecuación diferencial se denomina ecuación diferencial parcial (a menudo acortada a “PDE”) si aparecen derivadas parciales. Es decir, si la función desconocida tiene más de una variable independiente. Por ejemplo\(y''(t)+y(t)=0\) es una ODE mientras que\(\frac{\partial^2 u}{\partial\, t^2}(x,t)=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial\, x^2}(x,t)\) es una PDE.
3. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece. Por ejemplo\(y''(t)+y(t)=0\) es una ODE de segundo orden.
4. Una ecuación diferencial ordinaria que es de la forma

   \[ a_0(t) y^{(n)}(t) + a_1(t) y^{(n-1)}(t)+\cdots +a_n(t)y(t) =F(t)\label{eqn_ODEordern}\tag{A.9.1} \]

   con funciones de coeficiente dadas\(a_0(t)\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_n(t)\) y\(F(t)\) se dice que es lineal. De lo contrario, se dice que la ODE es no lineal. Por ejemplo,\(y'(t)^2+y(t)=0\text{,}\)\(y'(t)y''(t)+y(t)=0\) y\(y'(t)=e^{y(t)}\) son todos no lineales.

5. Se dice que la ODE (A.9.1) tiene coeficientes constantes si los coeficientes\(a_0(t)\text{,}\)\(a_1(t)\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_n(t)\) son todos constantes. De lo contrario, se dice que tiene coeficientes variables. Por ejemplo, la ODE\(y''(t)+7y(t)=\sin t\) es coeficiente constante, mientras que\(y''(t)+ty(t)=\sin t\) es coeficiente variable.
6. Se dice que la ODE (A.9.1) es homogénea si\(F(t)\) es idéntica a cero. De lo contrario, se dice que no es homogéneo o no homogéneo. Por ejemplo, la ODE\(y''(t)+7y(t)=0\) es homogénea, mientras que\(y''(t)+7y(t)=\sin t\) no homogénea. Una ODE homogénea siempre tiene la solución trivial\(y(t)=0\text{.}\)
7. Un problema de valor inicial es un problema en el que uno es encontrar una función desconocida\(y(t)\) que satisfaga tanto una ODE dada como condiciones iniciales dadas, como\(y(t_0)=1\text{,}\)\(y'(t_0)=0\text{.}\) Tenga en cuenta que todas las condiciones involucran la función\(y(t)\) (o sus derivadas) evaluadas en un una sola vez\(t=t_0\text{.}\)
8. Un problema de valor límite es un problema en el que uno es encontrar una función desconocida\(y(t)\) que satisfaga tanto una ODE dada como condiciones de límite dadas, como\(y(t_0)=0\text{,}\)\(y(t_1)=0\text{.}\) Tenga en cuenta que las condiciones involucran la función\(y(t)\) (o sus derivadas) evaluadas en dos diferentes tiempos.

El siguiente teorema da la forma de soluciones a la ODE (A.9.1).

Teorema A.9.2

Supongamos que los coeficientes\(a_0(t)\text{,}\)\(a_1(t)\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_{n-1}(t)\text{,}\)\(a_n(t)\) y\(F(t)\) son funciones continuas y eso no\(a_0(t)\) es cero.

1. La solución general a la ODE (A.9.1) es de la forma

   \[ y(t)=y_p(t)+ C_1y_1(t)+C_2y_2(t)+\cdots+C_n y_n(t)\label{eqn_ODEgensln}\tag{A.9.2} \]

   donde

   • \(n\)es el orden de (A.9.1)
   • \(y_p(t)\)es cualquier solución para (A.9.1)
   • \(C_1\text{,}\)\(C_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(C_n\)son constantes arbitrarias
   • \(y_1\text{,}\)\(y_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(y_n\)son soluciones\(n\) independientes a la ecuación homogénea

     \[ a_0(t) y^{(n)}(t) + a_1(t) y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{n-1}(t) y'(t) +a_n(t)y(t)=0 \nonumber \]

     asociados a (A.9.1). “Independiente” solo significa que no se\(y_i\) puede escribir como una combinación lineal de la otra\(y_j\). Por ejemplo,\(y_1(t)\) no se puede expresar en la forma\(b_2y_2(t)+\cdots+b_ny_n(t)\text{.}\)

   En (A.9.2),\(y_p\) se llama la “solución particular” y\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)+\cdots+C_n y_n(t)\) se llama la “solución complementaria”.

2. Dadas las constantes\(b_0\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(b_{n-1}\) hay exactamente una función\(y(t)\) que obedece a la ODE (A.9.1) y las condiciones iniciales

   \[ y(0)=b_0\qquad y'(0)=b_1\qquad \cdots\qquad y^{(n-1)}(0)=b_{n-1} \nonumber \]

Ejemplo A.9.3. Circuito RLC

Como ejemplo de las técnicas más utilizadas para resolver OD's lineales y de coeficiente constante, consideramos el circuito RLC, que es el circuito eléctrico que consiste en una resistencia de resistencia\(R\text{,}\) una bobina (o solenoide) de inductancia\(L\text{,}\) un condensador de capacitancia\(C\) y un voltaje fuente dispuesta en serie, como se muestra a continuación. Aquí\(R\text{,}\)\(L\) y\(C\) están todas las constantes no negativas.

Vamos a pensar en el voltaje\(x(t)\) como una señal de entrada, y el voltaje\(y(t)\) como una señal de salida. El objetivo es determinar la señal de salida producida por una señal de entrada dada. Si\(i(t)\) es la corriente que fluye en el tiempo\(t\) en el bucle como se muestra y\(q(t)\) es la carga en el condensador, entonces los voltajes a través\(R\text{,}\)\(L\) y\(C\text{,}\) respectivamente, en el tiempo\(t\) son\(Ri(t)\text{,}\)\(L\dfrac{di}{dt}(t)\) y\(y(t)=\frac{q(t)}{C}\text{.}\) Por la ley de Kirchhoff ¹ que dice que el voltaje entre dos puntos cualesquiera tiene que ser independiente del trayecto utilizado para recorrer entre los dos puntos, estos tres voltajes deben sumarse para\(x(t)\) que

\[ Ri(t) + L\dfrac{di}{dt}(t) + \frac{q(t)}{C} = x(t)\label{eqn_RLCrlc}\tag{A.9.3} \]

Suponiendo que\(R,\ L,\ C\) y\(x(t)\) se conozcan, esta sigue siendo una ecuación diferencial en dos incógnitas,\(i(t)\) y\(q(t)\text{.}\) afortunadamente, existe una relación entre las dos. A saber

\[ i(t)=\dfrac{dq}{dt}(t) = Cy'(t)\label{eqn_RLCiq}\tag{A.9.4} \]

Esto solo dice que el condensador no puede crear ni destruir carga por sí solo; toda la carga del condensador debe provenir de la corriente. Sustituir (A.9.4) en (A.9.3) da

\[ LCy''(t) + RCy'(t) + y(t) = x(t) \nonumber \]

Como ejemplo concreto, tomaremos una fuente de voltaje de CA y elegiremos el origen del tiempo para que\(x(0)=0\text{,}\)\(x(t)=E_0\sin(\omega t)\text{.}\) Entonces la ecuación diferencial se convierta

\[ LCy''(t)+RCy'(t)+y(t)=E_0\sin(\omega t)\label{eqn_ODERy}\tag{A.9.5} \]

Se trata de un coeficiente ODE de segundo orden, lineal y constante. Entonces sabemos, a partir del Teorema A.9.2, que la solución general es de la forma\(y_p(t)+C_1y_1(t)+C_2y_2(t)\text{,}\) donde

• \(y_p(t)\text{,}\)la solución particular, es cualquier solución a (A.9.5),
• \(C_1,C_2\)son constantes arbitrarias y
• \(y_1(t)\text{,}\)\(y_2(t)\)son cualesquiera dos soluciones independientes de la ecuación homogénea correspondiente

  \[ LCy''(t)+RCy'(t)+y(t)=0\label{eqn_ODERyh}\tag{A.9.6} \]

Entonces, para encontrar la solución general a (A.9.5), necesitamos encontrar tres funciones:\(y_1(t)\text{,}\)\(y_2(t)\) y\(y_p(t)\text{.}\)

• Encontrar\(y_1(t)\) y\(y_2(t)\text{:}\) La mejor manera de encontrarlos\(y_1\) y\(y_2\) es adivinarlos. Cualquier solución,\(y_h(t)\text{,}\) de (A.9.6) tiene que tener la propiedad que\(y_h(t)\text{,}\)\(RCy_h'(t)\) y\(LCy_h''(t)\) cancelarse entre sí para todos\(t\text{.}\) Elegimos nuestra conjetura para que\(y_h(t)\text{,}\)\(y_h'(t)\) y\(y_h''(t)\) sean todos proporcionales a una sola función de\(t\text{.}\) Entonces será fácil ver si \(y_h(t)\text{,}\)\(RCy_h'(t)\)y\(LCy_h''(t)\) todos cancelan. Todas las derivadas de la función\(e^{rt}\) vuelven a ser proporcionales a\(e^{rt}\text{.}\) De ahí que intentemos\(y_h(t)=e^{rt}\text{,}\) con la constante\(r\) a lo determinado. Esta suposición es una solución de (A.9.6) si y solo si

  \[ \begin{split} &LCr^2e^{rt}+RCre^{rt}+e^{rt}=0 \iff LCr^2+RCr+1 =0 \\ &\hskip0.5in\iff r=\frac{-RC\pm\sqrt{R^2C^2-4LC}}{2LC}\equiv r_{1,2} \end{split}\label{eqn_ODERroots}\tag{A.9.7} \]

  Cómo procedemos depende de la señal de Es\(R^2C^2-4LC\text{.}\) decir, ya sea\(R \gt 2\sqrt{\frac{L}{C}}\)\(R \lt 2\sqrt{\frac{L}{C}}\) o\(R = 2\sqrt{\frac{L}{C}}\text{.}\)

  • Encontrar\(y_1(t)\) y\(y_2(t)\text{,}\) cuándo\(R \gt 2\sqrt{\frac{L}{C}}\text{:}\) Entonces\(R^2C^2-4LC \gt 0\text{,}\) y\(r_1\) y\(r_2\) son dos números reales diferentes. Podemos tomar\(y_1(t)=e^{r_1t}\) y\(y_2(t)=e^{r_2t}\) para que la solución de cortesía sea\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)=C_1 e^{r_1t}+C_2e^{r_2 t} \text{.}\)
  • Encontrar\(y_1(t)\) y\(y_2(t)\text{,}\) cuándo\(R \lt 2\sqrt{\frac{L}{C}}\text{:}\) Entonces\(R^2C^2-4LC \lt 0\) y\(r_1\) y\(r_2\) son los dos números complejos diferentes\(-\rho\pm i\nu\text{,}\) donde

    \[ \rho=\frac{R}{2L}\qquad\text{and}\qquad \nu=\frac{\sqrt{4LC-R^2C^2}}{2LC} \nonumber \]

    Podemos volver a tomar\(C_1 e^{r_1t}+C_2e^{r_2 t}\) como solución complimentray. Sin embargo, también podemos reescribir\(C_1 e^{r_1t}+C_2e^{r_2 t}\) en términos de funciones de valor real usando eso\(e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta\text{:}\)

    \[\begin{align*} &C_1 e^{r_1t}+C_2e^{r_2 t} =e^{-\rho t}\big[C_1e^{i\nu t}+C_2e^{-i\nu t}\big]\\ &\hskip0.5in=e^{-\rho t}\big[C_1\big\{\cos(\nu t)+i\sin(\nu t)\big\}+ C_2\big\{\cos(\nu t)-i\sin(\nu t)\big\}\big]\\ &\hskip0.5in=e^{-\rho t}\big[D_1\cos(\nu t)+D_2\sin(\nu t)\big] \end{align*}\]

    donde ²\(D_1=C_1+C_2,\ D_2=i(C_1-C_2)\text{.}\) Así también podemos tomar\(y_1(t)=e^{-\rho t}\cos(\nu t)\text{,}\)\(y_2(t)=e^{-\rho t}\sin(\nu t)\) en la solución complementaria.

    Todavía hay una tercera forma útil de escribir la solución complementaria. Piense en\((D_1,D_2)\) como un punto en el\(xy\) plano. Llamar a las coordenadas polares de ese punto\(A\) y\(\theta\) así que\(D_1=A\cos\theta\) y\(D_2=A\sin\theta\text{.}\) Entonces, usando la identidad trigonométrica\(\cos(\alpha+\beta) =\cos \alpha\cos\beta-\sin \alpha\sin \beta\text{,}\) con\(\alpha=\nu t\) y\(\beta=-\theta\text{,}\)

    \[ \begin{split} &e^{-\rho t}\big[D_1\cos(\nu t)+D_2\sin(\nu t)\big]\\ &\hskip0.5in=e^{-\rho t}\big[A\cos(\nu t)\cos\theta+A\sin(\nu t)\sin\theta\big]\\ &\hskip0.5in=Ae^{-\rho t}\cos(\nu t-\theta) \end{split}\label{eqn_RLCampPhase}\tag{A.9.8} \]

    En efecto, hemos sustituido las dos constantes arbitrarias\(D_1\) y\(D_2\text{,}\) cuyos valores normalmente estarían determinados por condiciones iniciales, por otras dos constantes arbitrarias,\(R\) y\(\theta\text{,}\) cuyos valores también estarían normalmente determinados por condiciones iniciales.

  • Encontrar\(y_1(t)\) y\(y_2(t)\text{,}\) cuándo\(R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\text{:}\)\(R^2C^2-4LC=0\) Entonces para que\(r_1=r_2\text{.}\) podamos tomar\(y_1=e^{r_1t}\text{,}\) pero ciertamente no\(e^{r_2t}=e^{r_1t}\) es una segunda solución independiente. Entonces todavía necesitamos encontrar\(y_2\text{.}\) Aquí hay un truco (llamado reducción de orden ³) para encontrar las otras soluciones: buscar soluciones de la forma\(v(t)e^{-r_1 t}\text{.}\) Aquí\(e^{-r_1 t}\) está la solución que ya hemos encontrado y\(v(t)\) está por determinar. Para guardar escritura, establezca de\(\rho=\frac{R}{2L}\) manera que\(r_1=r_2=\rho\text{.}\) Para guardar escritura también divida ((A.9.5\(_{\rm h}\))) por\(LC\) y sustituirlo\(\frac{R}{L}=2\rho\) y\(\frac{1}{LC}=\frac{R^2}{4L^2}=\rho^2\text{.}\) (Recordemos que estamos asumiendo que\(R^2=\frac{4L}{C}\text{.}\)) Entonces ((A.9.5)\(_{\rm h}\)) es equivalente a

    \[ y_h''(t)+2\rho\,y_h'(t)+\rho^2\,y_h(t)=0 \nonumber \]

    Sustituto en

    \[\begin{align*} y_h(t)&=\ \ \ v(t)e^{-\rho t}\\ y_h'(t)&= -\rho v(t)e^{-\rho t}+\phantom{2\rho}v'(t)e^{-\rho t}\\ y_h''(t)&= \phantom{-}\rho^2 v(t)e^{-\rho t}-2\rho v'(t)e^{-\rho t} +v''(t)e^{-\rho t} \end{align*}\]

    Así que cuando\(y_h(t)=v(t)e^{-\rho t}\text{,}\)

    \[\begin{align*} &y_h''(t)+2\rho\,y_h'(t)+\rho^2\,y_h(t)\\ &\hskip0.5in=\big[\rho^2\!-\!2\rho^2\!+\!\rho^2\big]v(t)e^{-\rho t} +\big[-2\rho\!+\!2\rho\big]v'(t)e^{-\rho t}+v''(t)e^{-\rho t}\\ &\hskip0.5in=v''(t)e^{-\rho t} \end{align*}\]

    Así\(v(t)e^{-\rho t}\) es una solución de ((A.9.5\(_{\rm h}\))) siempre que la función\(v''(t)=0\) para todos\(t\text{.}\) Pero, para cualquier valor de las constantes\(C_1\) y\(C_2\text{,}\)\(v(t)=C_1+C_2t\) tiene desapareciendo segunda derivada así\(\big(C_1+C_2t\big)e^{-\rho t}=\big(C_1+C_2t\big)e^{-r_1 t}\) resuelve ((A.9.5)\(_{\rm h}\)). Esto es de la forma\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)\) con\(y_1(t)=e^{-r_1t}\text{,}\) la solución que encontramos primero, y\(y_2(t)=te^{-r_1t}\text{,}\) una segunda solución independiente. Así que podemos tomar\(y_2(t)=te^{r_1t}\text{.}\)
• Encontrar\(y_p(t)\text{:}\) La mejor manera de encontrar\(y_p\) es adivinarlo. Suponemos que el circuito responde a una tensión de entrada oscilante con una tensión de salida que oscila a la misma frecuencia. Entonces intentamos\(y_p(t)=\mathcal{A}\sin(\omega t-\varphi)\) con la amplitud\(\mathcal{A}\) y fase\(\varphi\) a determinar.

  \(y_p(t)\)Para ser una solución, necesitamos

  \[\begin{align*} LCy_p''(t)+RCy_p'(t)+y_p(t) &=E_0 \sin(\omega t) \end{align*}\]

  o

  \[\begin{align*} &-LC\omega^2\mathcal{A}\sin(\omega t-\varphi)+RC\omega \mathcal{A}\cos(\omega t-\varphi) +\mathcal{A}\sin(\omega t-\varphi)\\ &\hskip2in=E_0 \sin(\omega t)\\ &\hskip2in=E_0 \sin(\omega t-\varphi+\varphi) \end{align*}\]

  y por lo tanto, aplicar\(\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\) con\(A=\omega t-\varphi\) y\(B=\varphi\text{,}\)

  \[\begin{align*} &\big(1-LC\omega^2\big)\mathcal{A}\sin(\omega t-\varphi)+RC\omega \mathcal{A}\cos(\omega t-\varphi)\\ &\hskip1in =E_0 \cos(\varphi)\sin(\omega t-\varphi) + E_0 \sin(\varphi)\cos(\omega t-\varphi) \end{align*}\]

  Coeficientes coincidentes de\(\sin(\omega t-\varphi)\) y\(\cos(\omega t-\varphi)\) en los lados izquierdo y derecho da

  \[\begin{align} \big(1-LC\omega^2\big)\mathcal{A}&= E_0 \cos(\varphi)\label{eqnODERnum}\tag{A.9.9}\\ RC\omega \mathcal{A}&=E_0 \sin(\varphi)\label{eqnODERden}\tag{A.9.10} \end{align}\]

  Ahora es fácil de resolver para\(\mathcal{A}\) y\(\varphi\)

  \[\begin{alignat*}{1} \frac{\mathrm{(A.9.10)}}{\mathrm{(A.9.9)}} &\implies \tan(\varphi) = \frac{RC\omega}{1-LC\omega^2}\\ &\implies \varphi = \arctan\frac{RC\omega}{1-LC\omega^2}\\ \sqrt{\mathrm{(A.9.9)}^2\!+\mathrm{(A.9.10)}^2} &\implies\sqrt{\big(1\!-\!LC\omega^2\big)^2+R^2C^2\omega^2}\ \mathcal{A}= E_0\\ &\implies \mathcal{A}=\frac{E_0}{\sqrt{(1\!-\!LC\omega^2)^2+R^2C^2\omega^2}} \end{alignat*}\]

Naturalmente, diferentes frecuencias de entrada\(\omega\) dan diferentes amplitudes de salida\(\mathcal{A}\text{.}\) Aquí hay una gráfica de\(\mathcal{A}\) contra\(\omega\text{,}\) con todos los demás parámetros mantenidos fijos.

Tenga en cuenta que existe un pequeño rango de frecuencias que dan una respuesta de gran amplitud. Este es el fenómeno de la resonancia. Se explota en el diseño de circuitos de sintonización de radio y televisión. También se ha ilustrado dramáticamente en, por ejemplo, el colapso ⁴ del puente de Tacoma estrecha.

Ejemplo A.9.4. Problemas de Valor Límite

Por la parte (b) del Teorema A.9.2, un problema de valor inicial consistente en una ODE lineal de\(n^{\rm th}\) orden con ⁵ coeficientes razonables y condiciones\(n\) iniciales siempre tiene exactamente una solución. Ahora veremos que un problema de valor límite puede no tener ninguna solución. O puede tener exactamente una solución. O puede tener infinitamente muchas soluciones. Comenzaremos por encontrar todas las soluciones a la ODE

\[ y'+y=0\label{eqnbvODE}\tag{A.9.11} \]

Entonces impondremos diversas condiciones de límite y veremos qué pasa.

La función\(y(t)=e^{rt}\) es una solución a (A.9.11) si y solo si

\[ r^2e^{rt}+e^{rt}=0\iff r^2+1=0\iff r=\pm i \nonumber \]

donde\(i\) (que los ingenieros eléctricos a menudo denotan ⁶\(j\)) es una raíz cuadrada de\(-1\text{.}\) Así la solución general a la ODE lineal de segundo orden (A.9.11) es\(y(t)=C'_1 e^{it}+C'_2e^{-it}\text{,}\) con\(C_1'\) y constantes\(C_2'\) arbitrarias. Podemos reescribir esta solución general en términos de\(\sin t\) y\(\cos t\) sustituyendo en

\[ e^{it}=\cos t+i\sin t\qquad e^{-it}=\cos t-i\sin t \nonumber \]

Esto da

\[ y(t)=C'_1\big(\cos t+i\sin t)+C'_2(\cos t-i\sin t) =C_1\cos t+C_2\sin t \nonumber \]

donde\(C_1=C'_1+C'_2\text{,}\) y\(C_2=i(C'_1-C'_2)\text{.}\) Tenga en cuenta que no hay nada que detenga\(C_1'\) y\(C_2'\) de ser números complejos. Entonces no hay nada que se detenga\(C_1=C'_1+C'_2\text{,}\) y\(C_2=i(C'_1-C'_2)\) de ser números reales.

1. Ahora considere el problema del valor límite

   \[ y'+y=0\qquad y(0)=0\qquad y(2\pi)=1\label{eqnbvpA}\tag{A.9.12} \]

   La función\(y(t)\) satisface la ODE si y solo si es de la forma

   \[ y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t \nonumber \]

   para algunas constantes\(C_1\) y\(C_2\text{.}\) una función de esta forma satisface la condición de contorno\(y(0)=0\) si y solo si

   \[ 0=y(0)= C_1\cos 0+C_2\sin 0 =C_1 \nonumber \]

   Una función de esta forma satisface la condición de límite\(y(2\pi)=1\) si y solo si

   \[ 1=y(2\pi)= C_1\cos 2\pi+C_2\sin 2\pi =C_1 \nonumber \]

   Los dos requisitos\(C_1=0\) y\(C_1=1\) son incompatibles. Entonces el problema del valor límite (A.9.12) no tiene solución en absoluto.
2. A continuación, considere el problema del valor límite

   \[ y'+y=0\qquad y(0)=0\qquad y\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=0\label{eqnbvpB}\tag{A.9.13} \]

   La función\(y(t)\) satisface la ODE si y solo si es de la forma

   \[ y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t \nonumber \]

   para algunas constantes\(C_1\) y\(C_2\text{.}\) una función de esta forma satisface la condición de contorno\(y(0)=0\) si y solo si

   \[ 0=y(0)= C_1\cos 0+C_2\sin 0 =C_1 \nonumber \]

   Una función de esta forma satisface la condición de límite\(y\big(\frac{\pi}{2}\big)=0\) si y solo si

   \[ 0=y\Big(\frac{\pi}{2}\Big) = C_1\cos \Big(\frac{\pi}{2}\Big)+C_2\sin\Big(\frac{\pi}{2}\Big) =C_2 \nonumber \]

   Entonces tenemos una solución si y solo si\(C_1=C_2=0\) y el problema del valor límite (A.9.13) tiene exactamente una solución, es decir,\(y(t)=0\text{,}\) que es un poco aburrida.
3. Finalmente considere el problema del valor límite

   \[ y'+y=0\qquad y(0)=0\qquad y(2\pi)=0\label{eqnbvpC}\tag{A.9.14} \]

   La función\(y(t)\) satisface la ODE si y solo si es de la forma

   \[ y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t \nonumber \]

   para algunas constantes\(C_1\) y\(C_2\text{.}\) una función de esta forma satisface la condición de contorno\(y(0)=0\) si y solo si

   \[ 0=y(0)= C_1\cos 0+C_2\sin 0 =C_1 \nonumber \]

   Una función de esta forma satisface la condición de límite\(y(2\pi)=0\) si y solo si

   \[ 0=y(2\pi)= C_1\cos (2\pi)+C_2\sin(2\pi) =C_1 \nonumber \]

   Entonces tenemos una solución si y solo si\(C_1=0\) y el problema del valor límite (A.9.14) tiene infinitamente muchas soluciones, es decir,\(y(t)=C_2\sin t\) con\(C_2\) ser una constante arbitraria.

1. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) fue un físico alemán.
2. No cometas el error de pensar eso\(C_1\) y\(C_2\) tienen que ser números reales, obligando\(D_2\) a ser puro imaginario. En la mayoría de las aplicaciones,\(D_1\) y\(D_2\) será puro real\(C_1\) y y\(C_2\) será complejo.
3. El método moderno de reducción del orden fue creado por el matemático, físico y teórico musical francés Jean le Rond d'Alembert (1717-1783). El lector interesado puede fácilmente buscar más sobre su vida.
4. Hay videos del colapso en la web.
5. Por ejemplo, continuo.
6. Esto es para evitar confusiones con la corriente, que normalmente se llama\(i\text{.}\)