7.1: ¿Qué es una Función Generadora?
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Una función generadora es una estructura formal que está estrechamente relacionada con una secuencia numérica, pero nos permite manipular la secuencia como una sola entidad, con el objetivo de entenderla mejor. Aquí está la definición formal.
Definición: Función generadora
Para una secuencia\(a_0, a_1, . . . , a_n, . . .\) la función generadora correspondiente\(f(x)\) es la serie
\[f(x) = a_0 + a_1x + . . . + a_nx^n + . . . = \sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i\]
Entonces\(a_n\), el\(n^{\text{th}}\) término de la secuencia, es el coeficiente de\(x^n\) in\(f(x)\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Aquí hay una serie de ejemplos básicos.
1)\(1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, . . .\) tiene función generadora
\[1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5\]
2)\(1, 4, 6, 4, 1, 0, 0, 0, . . .\) tiene función generadora
\[1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4 = (1 + x)^4\]
3)\(\binom{n}{0} , \binom{n}{1}, . . . , \binom{n}{n}, 0, 0, 0, . . .\) tiene función generadora
\[\binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + . . . + \binom{n}{n}x^n = (1+x)^n \]
4)\(1, 1, 1, 1, . . .\) tiene función generadora
\[f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . = \sum_{i=0}^{\infty} x^i\]
Estas funciones generadoras pueden ser manipuladas. Por ejemplo, si\(f(x)\) es como en el Ejemplo 7.1.2 (4), supongamos que tomamos el producto\((1 − x)f(x)\). Tenemos
\[ \begin{equation} \begin{split} (1 − x)f(x)&= (1-x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...) \\ &= (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...) - ( x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ...) \\ &= 1 \end{split} \end{equation} \]
Dividiendo por\(1 − x\), vemos eso\(f(x) = \dfrac{1}{(1 − x)}\).
Esto puede parecer artificial y bastante sin sentido ya que la función generadora se definió como un objeto formal cuyos coeficientes son una secuencia que nos interesa. De hecho, aunque no profundizaremos en las formalidades en este curso, la manipulación algebraica de funciones generadoras puede definirse formalmente, y nos da exactamente estos resultados.
Una pregunta razonable en este punto podría ser, ¿de qué sirve esto? Aunque estemos de acuerdo en eso\(f(x) = \dfrac{1}{(1 − x)}\), lo que realmente queremos es el coeficiente de\(x^n\) (para recuperar\(a_n\), el\(n^{\text{th}}\) término de nuestra secuencia). Si tenemos una expresión como\(\dfrac{1}{(1 − x)}\), ¿cómo podemos calcular el coeficiente de\(x^n\)?
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Para cada una de las siguientes secuencias, dé la función generadora correspondiente.
- \(1, 3, 5, 0, 0, 0, . . .\)
- \(1, 2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , . . .\)
- \(1, 5, 10, 15, 10, 5, 1, 0, 0, 0, . . .\)
- \(1, 5, 10, 10, 5, 1, 0, 0, 0, . . .\)