7.2: El Teorema del Binomio Generalizado

Vamos a presentar una versión generalizada del caso especial del Teorema 3.3.1, el Teorema Binomial, en el que se permite que el exponente sea negativo. Recordemos que el Teorema Binomial afirma que

\[(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r \]

Si tenemos\(f(x)\) como en el Ejemplo 7.1.2 (4), hemos visto que

\[f(x) = \dfrac{1}{(1 − x)} = (1 − x)^{−1}\]

Entonces, si se nos permitieran exponentes negativos en el Teorema Binomial, entonces un cambio de variable nos\(y = −x\) permitiría calcular el coeficiente de\(x^n\) in\(f(x)\).

Por supuesto, si\(n\) es negativo en el Teorema Binomial, no podemos averiguar nada a menos que tengamos una definición de lo que\(\binom{n}{r}\) significa bajo estas circunstancias.

Definición: Coeficiente binomial Generalizado

\[\binom{n}{r} = \dfrac{n(n-1)...(n-r+1)}{r!} \]

donde\(r ≥ 0\) pero\(n\) puede ser cualquier número real.

Observe que esto coincide con la definición habitual para el coeficiente binomial cuando\(n\) es un entero positivo, ya que

\[\dfrac{n!}{(n − r)!} = n(n − 1). . .(n − r + 1)\]

en este caso.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(\binom{−2}{5} = \dfrac{(-2)(-3)(-4)(-5)(-6)}{5!} = -6 \)

Si n es un entero positivo, entonces podemos llegar a una buena fórmula para\(\binom{−n}{r}\).

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Si\(n\) es un entero positivo, el

\[\binom{−n}{r} = (-1)^r \binom{n+r-1}{r} \]

Prueba

Tenemos

\(\binom{−n}{r} = \dfrac{-n(-n-1)...(-n-r+1)}{r!}\).

Tomando un factor de (\(−1\)) de cada término en el lado derecho da

\((−1)^rn(n + 1). . . \dfrac{(n + r − 1)}{(r!)}\).

Ahora,

\((n + r − 1)(n + r − 2). . . n = \dfrac{(n + r − 1)!}{(n − 1)!}\)

entonces

\((-1)^r \dfrac{n(n+1)...(n+r-1)}{r!} = (-1)^r \dfrac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} = (-1)^r \binom{n+r-1}{r} \),

como se afirma.

Con esta definición, el teorema binomial se generaliza tal como desearíamos. No vamos a probar esto.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Generalised Binomial Theorem

Para cualquier\(n ∈ R\),

\[(1+x)^n = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n}{r}x^r \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos a comprobar que esto nos da los valores correctos para los coeficientes de\(f(x)\) en el Ejemplo 7.1.2 (4), que ya conocemos.

Solución

Tenemos

\(f(x) = (1 − x)^{−1} = (1 + y)^{−1}\)

donde\(y = −x\). El Teorema del Binomio Generalizado nos dice que el coeficiente de\(y^r\) será

\(\binom{-1}{r} = (-1)^r \binom{1+r-1}{r} = (-1)^r \)

ya que\(\binom{r}{r} = 1\). Pero queremos el coeficiente de\(x^r\), no de\(y^r\), y

\(y^r = (−x)^r = (−1)^r x^r = x^r\)

así que tenemos

\((−1)^r y^r = (−1)^{2r}x^r = 1^rx^r = x^r\)

Así, el coeficiente de\(x^r\) in\(f(x)\) es\(1\). Esta es, efectivamente, precisamente la secuencia con la que iniciamos en el Ejemplo 7.1.2 (4).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Vamos a hacer ejercicio\((1 + x)^{−3}\).

Solución

Necesitamos saber qué\(\binom{−3}{r}\) da, para diversos valores de\(r\). Por la Proposición 7.2.1, tenemos

\( \binom{-3}{r} = (-1)^r \binom{3+r-1}{r} = (-1)^r \binom{r+2}{r} = (-1)^r \dfrac{(r+2)(r+1)}{2} \)

Cuando\(r = 0\), esto es\((−1)^02 · \dfrac{1}{2} = 1\). Cuando\(r = 1\), esto es\((−1)^13 · \dfrac{2}{2} = −3\). Cuando\(r = 2\), esto es\((−1)^24 · \dfrac{3}{2} = 6\). En general, vemos que

\( (1 + x)^{−3} = 0 − 3x + 6x^2 − + . . . + (−1)^n \dfrac{(n+2)(n+1)}{2}x^n + ... \)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Calcula lo siguiente.

1. \(\binom{−5}{7}\)
2. El coeficiente de\(x^4\) in\((1 − x)^{−2}\).
3. El coeficiente de\(x^n\) in\((1 + x)^{−4}\).
4. El coeficiente de\(x^{k−1}\) en\[\dfrac{1 + x}{(1 − 2x)^5} \nonumber \] Pista: Observe que\(\dfrac{1 + x}{(1 − 2x)^5} = (1 − 2x)^{−5} + x(1 − 2x)^{−5}\). Trabajar el coeficiente de entrada\(x^n\)\((1 − 2x)^{−5}\) y entrada\(x(1 − 2x)^{−5}\)\(n = k − 1\), sustituir y sumar los dos coeficientes.
5. El coeficiente de\(x^k\) in\(\dfrac{1}{(1 − x^j)^n}\), donde\(j\) y\(n\) son enteros positivos fijos. Pista: Piensa en qué condiciones harán que este coeficiente sea cero.