8.1: Notación y Terminología Básicas
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Con una secuencia\(\sigma=\{a_n:n \geq 0\}\) de números reales, asociamos una “función”\(F(x)\) definida por
\(F(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\).
La palabra “función” se pone entre comillas ya que no necesariamente nos importa sustituir un valor de\(x\) y obtener un valor específico para\(F(x)\). Es decir, consideramos\(F(x)\) como una serie formal de poder y frecuentemente ignoramos temas de convergencia.
Es costumbre referirse\(F(x)\) como la función generadora de la secuencia\(\sigma\). Como ya hemos comentado, no necesariamente nos interesa calcular\(F(x)\) para valores específicos de\(x\). No obstante, por convención, tomamos\(F(0)=a_0\).
Considera la secuencia constante\(\sigma=\{a_n:n \geq 0\} \) con\(a_n=1\) para cada\(n \geq 0\). Entonces la función generadora\(F(x)\) de\(\sigma\) viene dada por
\(F(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + \cdot \cdot \cdot\),
que se llama la serie geométrica infinita.
Quizás recuerdes que esta última expresión es la serie Maclaurin para la función\(F(x)=1/(1−x)\) y que la serie converge cuando\(|x|<1\). Ya que queremos pensar en términos de series formales de poder, veamos que podemos justificar la expresión
\(\dfrac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+ \cdot \cdot \cdot = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n\)
sin ninguna técnica de cálculo. Considera el producto
\((1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+ \cdot \cdot \cdot)\)
y fíjate que, dado que multiplicamos series formales de potencia al igual que multiplicamos polinomios (las series power son prácticamente polinomios que duran para siempre), tenemos que este producto es
\((1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+ \cdot \cdot \cdot) - x(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+ \cdot \cdot \cdot) = 1\).
Ahora tenemos eso
\((1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+ \cdot \cdot \cdot) = 1\),
o, más provechosamente, después de dividirlo por\(1-x\),
\(\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n\).
El método del Ejemplo 8.1 se puede adaptar para abordar las series geométricas finitas\(\sum_{j=0}^n x^j\). En ese caso, miramos
\((1-x) \displaystyle \sum_{j=0}^n x^j = \sum_{j=0}^n x^j - \sum_{j=0}^n x^{j+1}\)
\((1+x+ \cdot \cdot \cdot + x^n) - (x + x^2 + \cdot \cdot \cdot x^n + x^{n+1})\).
Mirando con atención, vemos que cada vez cancela en la expresión final excepto\(1−x^{n+1}\). Dividir ambos lados por nos\(1−x\) da
\(1+x+ \cdot \cdot \cdot + x^n = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}\)
como la fórmula para la suma de una serie geométrica finita.
Al igual que aprendiste en el cálculo para la serie Maclaurin, las series formales de poder pueden diferenciarse e integrarse término por término. El riguroso marco matemático que subyace a tales operaciones no es nuestro enfoque aquí, así que tómennos en nuestra palabra de que esto se puede hacer para series formales de poder sin preocuparnos por temas de convergencia.
Para ver esto en acción, considere diferenciar la serie de potencias del ejemplo anterior. Esto da
\(\dfrac{1}{(1-x)^2} = 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+7x^6+ \cdot \cdot \cdot = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}\).
Integración de la serie representada por\(1/(1+x)=1/(1−(−x))\) rendimientos (después de un poco de manipulación algebraica)
\(\log(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^6}{6} + \cdot \cdot \cdot = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n}\).
Antes de que te convenzas de que solo nos vamos a preocupar por generar funciones que realmente converjan, veamos que podemos hablar de la serie formal de poder
\(F(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}n!x^n\),
a pesar de que tiene radio de convergencia 0, es decir, la serie\(F(x)\) converge sólo para\(x=0\), así que\(F(0)=1\). Sin embargo, tiene sentido hablar de la serie formal de poder\(F(x)\) como función generadora de la secuencia\(\{a_n:n \geq 0\}\),\(a_0=1\) y\(a_n\) es el número de permutaciones de\(\{1,2,…,n\}\) cuándo\(n \geq 1\).
Como referencia, indicamos el siguiente resultado elemental, el cual enfatiza la forma de un producto de dos series de potencia.
Dejar\(A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) y\(B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) estar generando funciones. Entonces\(A(x)B(x)\) es la función generadora de la secuencia cuyo término\(n\) th viene dado por
\(a_0b_n + a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+ \cdot \cdot \cdot + a_nb_0 = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\).