9.4: Resolver ecuaciones de operador de avance
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En esta sección, exploraremos algunas formas de resolver ecuaciones de operadores de avance. Algunos los maquillaremos solo para resolver, mientras que otros se extraerán de los ejemplos que desarrollamos en la Sección 9.1. Nuevamente, los lectores familiarizados con las ecuaciones diferenciales notarán muchas similitudes entre las técnicas utilizadas aquí y las utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, pero no daremos más ejemplos para hacer explícitos esos paralelos.
Ecuaciones homogéneas
Las ecuaciones homogéneas, resultará, se pueden resolver utilizando una metodología muy explícita que funcionará en cualquier momento que podamos encontrar las raíces de un polinomio. Empecemos con otro ejemplo bastante sencillo.
Encuentre todas las soluciones para la ecuación del operador de avance
\[(A^2+A-6)f = 0 \label{9.4.1}\]
- Solución
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Antes de enfocarnos en encontrar todas las soluciones como se nos ha pedido que hagamos, intentemos encontrar alguna solución. Empezamos notando eso aquí\(p(A)=A^2+A−6=(A+3)(A−2)\). Con\(p(A)\) factorizado así, nos damos cuenta de que ya resolvimos parte de este problema en el Ejemplo 9.8! En ese ejemplo, el polinomio de\(A\) que nos encontramos fue (aunque no explícitamente declarado como tal ahí)\(A−2\). Las soluciones a\((A−2)f_1=0\) son de la forma\(f_1(n)=c_12^n\). ¿Qué pasa si intentamos una función así aquí? Tenemos
\((A+3)(A-2)f_1(n) = (A+3)0 = 0\),
por lo que\(f_1\) es una solución a nuestra ecuación de operador de avance dada. Por supuesto, no pueden ser todos ellos. Sin embargo, no es difícil ver ahora que\((A+3)f_2=0\) tiene como solución\(f_2(n)=c_2(−3)^n\) por el mismo razonamiento que usamos en el Ejemplo 9.8. Ya que\((A+3)(A−2)=(A−2)(A+3)\), vemos enseguida que también\(f_2\) es una solución de\(\ref{9.4.1}\).
Ahora tenemos dos familias infinitas de soluciones para\(\ref{9.4.1}\). ¿Nos dan todas las soluciones? Resulta que al combinarlos, de hecho dan todas las soluciones. Considera qué pasa si tomamos\(f(n)=c_12^n+c_2(−3)^n\) y aplicamos\(p(A)\) a ello. Tenemos
\( (A+3)(A-2)f(n) = (A+3)(c_12^{n+1}+c_2(-3)^{n+1} - 2(c_12^n + c_2(-3)^n))\)
\(= (A+3)(-5c_2(-3)^n)\)
\(= -5c_2(-3)^{n+1} - 15c_2(-3)^n\)
\(= -15c_2(-3)^n - 15c_2(-3)^n\)
\(= 0\)
No es tan difícil ver que dado que f da una familia de soluciones de dos parámetros a\(\ref{9.4.1}\), nos da todas las soluciones, como mostraremos en detalle en la Sección 9.5.
Lo que pasó en este ejemplo está lejos de ser una casualidad. Si tiene una ecuación de operador de avance de la forma\(p(A)f=0\) (el término constante de\(p\) distinto de cero) y\(p\) tiene grado\(k\), entonces la solución general de\(p(A)f=0\) será una familia\(k\) -parámetro (en el ejemplo anterior, nuestros parámetros son las constantes\(c_1\) y\(c_2\)) cuyos términos provienen de soluciones a ecuaciones más simples derivadas de los factores de\(p\). Volveremos a este pensamiento en un poquito, pero primero veamos otro ejemplo.
Revisemos el problema de enumerar cadenas ternarias de longitud n que sí tienen (2,0) ocurriendo como una subcadena en dos posiciones consecutivas que encontramos en el Ejemplo 9.4. Ahí vimos que este número satisface la ecuación de recurrencia
\(t_{n+2} = 3t_{n+1} - t_n\),\(n \geq 1\)
y\(t_1=3\) y\(t_2=8\). Antes de tratar de resolver esto, reescribamos nuestra ecuación de recurrencia como una ecuación de operador de avance. Esto nos da
\[p(A)t = (A^2 - 3A + 1)t = 0 \label{9.4.2}\]
Las raíces de\(p(A)\) son\((3± \sqrt{5})/2\). Siguiendo el enfoque del ejemplo anterior, nuestra solución general es
\(t(n) = c_1(\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2})^n + c_2(\dfrac{3- \sqrt{5}}{2})^n\)
Esto probablemente parece sospechoso; estamos contando cadenas aquí, así que\(t(n)\) necesita ser un entero no negativo, ¡pero la forma que hemos dado incluye no solo fracciones sino también raíces cuadradas! Puedes imitar la verificación que usamos en el ejemplo anterior para ver que esto sí satisface\(\ref{9.4.2}\). Si eso se siente tedioso, considere cómo usaría el teorema binomial para expandir los términos en esta expresión para\(t(n)\). Con valores apropiados para\(c_1\) y\(c_2\), parece plausible que pudiéramos deshacernos de las raíces cuadradas y fracciones. Porque tenemos valores iniciales para\(t(n)\), somos capaces de resolver para\(c_1\) y\(c_2\) aquí. Evaluando en\(n=0\) y\(n=1\) obtenemos
\(3 = c_1 + c_2\)
\(8 = c_1 \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} + c_2 \dfrac{3- \sqrt{5}}{2}\)
Un poco de cómputos da
\(c_1 = \dfrac{7 \sqrt{5}}{10} + \dfrac{3}{2}\)y\(c_2 = - \dfrac{7 \sqrt{5}}{10} + \dfrac{3}{2}\)
para que
\(t(n) = (\dfrac{7 \sqrt{5}}{10} + \dfrac{3}{2})(\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2})^n + (- \dfrac{7 \sqrt{5}}{10} + \dfrac{3}{2})(\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2})^n\).
Encuentre la solución general a la ecuación del operador de avance
\((A+1)(A-6)(A+4)f = 0\).
- Solución
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A estas alturas, no debería sorprenderse de que inmediatamente hagamos uso de las raíces de\(p(A)\) y tengamos que la solución es
\(f(n) = c_1(-1)^n + c_26^n + c_3(-4)^n\).
A estas alturas, ya deberías poder ver la mayor parte del patrón para resolver ecuaciones de operador de avance homogéneo. Sin embargo, los ejemplos que hemos considerado hasta ahora han tenido una cosa en común: las raíces de\(p(A)\) eran todas distintas. Resolver ecuaciones de operador de avance en las que este no es el caso no es mucho más difícil que lo que hemos hecho hasta ahora, pero sí necesitamos tratarlo como un caso distinto.
Encuentre la solución general de la ecuación del operador de avance
\((A-2)^2f = 0\).
- Solución
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Aquí tenemos el repetido problema de raíz que mencionamos hace un momento. Vemos de inmediato que\(f_1(n)=c_12^n\) es una solución a esta ecuación, pero eso no puede ser todo, como mencionamos anteriormente que debemos tener una familia de soluciones de 2 parámetros para tal ecuación. Puede que tengas la tentación de intentarlo\(f_2(n)=c_22^n \) y\(f(n)=f_1(n)+f_2(n)\), pero entonces esto es justo\((c_1+c_2)2^n\), que en realidad es solo un solo parámetro,\(c=c_1+c_2\).
¿Qué podemos hacer para resolver este acertijo? ¿Y si lo intentamos\(f_2(n)=c_2n2^n\)? Nuevamente, si estás familiarizado con las ecuaciones diferenciales, esto sería lo análogo a probar, así que vamos a darle una oportunidad. Apliquemos\((A−2)^2\) a esto\(f_2\). Tenemos
\((A-2)^2f_2(n) = (A-2)(c_2(n+1)2^{n+1} - 2c_2n2^n)\)
\(=(A-2)(c_22^{n+1})\)
\(c_22^{n+2} - 2c_22^{n+1}\)
\(= 0\).
Ya que\(f_2\) satisface nuestra ecuación de operador de avance, tenemos que la solución general es
\(f(n) = c_12^n + c_2n2^n\).
Considerar la ecuación de recurrencia
\(f_{n+4} = -2f_{n+3} + 12f_{n+2}+ -14f_{n+1} + 5f_n\)
con condiciones iniciales\(f_0=1, f_1=2, f_2=4\), y\(f_3=4\). Encuentra una fórmula explícita para\(f_n\).
- Solución
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Nuevamente comenzamos escribiendo la ecuación de recurrencia dada como una ecuación de operador de avance para una función\(f(n)\):
\[(A^4 + 2A^3 - 12A^2 + 14A - 5)f = 0 \label{9.4.3} \]
Factoring\(p(A)=A^4+2A^3−12A^2+14A−5\) da\(p(A)=(A+5)(A−1)^3\). Enseguida vemos que\(f_1(n)=c_1(−5)^n\) es una solución. El ejemplo anterior debería tenerte convencido de eso\(f_2(n)=c_2 \cdot 1^n=c_2\) y también\(f_3(n)=c_3n \cdot 1^n=c_3n\) son soluciones, y no es probable que te sorprenda cuando te sugerimos probar\(f_4(n)=c_4n^2\) como otra solución. Para verificar que funciona, vemos
\((A+5)(A-1)^3f_4(n) = (A+5)(A-1)^2(c_4(n+1)^2 - c_4n^2)\)
\(=(A+5)(A-1)^2(2c_4n + c_4)\)
\(=(A+5)(A-1)(2c_4(n+1)+c_4-2c_4n - c_4)\)
\((A+5)(A-1)(2c_4)\)
\((A+5)(2c_4-2c_4)\)
\(=0\).
Así, la solución general es
\(f(n) = c_1(-5)^n + c_2 + c_3n + c_4n^2\).
Ya que tenemos condiciones iniciales, vemos que
\(1 = f(0) = c_1+c_2\)
\(2 = f(1) = -5c_1 + c_2 +c_3 +c_4\)
\(4 = f(2) = 25c_1+c_2+2c_3+4c_4\)
\(4 = f(3) = -125c_1 + c_2 + 3c_3 +9c_4\)es un sistema de ecuaciones cuya solución da los valores para el\(c_i\). Resolver este sistema da que la solución deseada es
\(f(n) = \dfrac{1}{72} (-5)^n + \dfrac{71}{72} + \dfrac{5}{6}n + \dfrac{1}{4}n^2\).
9.4.2 Ecuaciones no homogéneas
Como mencionamos anteriormente, las ecuaciones no homogéneas son un poco más complicadas que resolver ecuaciones homogéneas, y en ocasiones nuestro primer intento de solución no tendrá éxito sino que sugerirá una mejor función para probar. Antes de que terminemos, revisaremos el problema de las líneas en el avión que hemos considerado un par de veces, pero comencemos con un ejemplo más ilustrativo.
Considerar la ecuación del operador de avance
\((A+2)(A-6)f = 3^n\).
Tratemos de encontrar la solución general a esto, ya que una vez que la tengamos, podríamos encontrar la solución específica correspondiente a cualquier conjunto dado de condiciones iniciales.
Al tratar ecuaciones no homogéneas, procedemos en dos pasos. El motivo de esto quedará claro en Lemma 9.20, pero vamos a centrarnos en el método por el momento. Nuestro primer paso es encontrar la solución general de la ecuación homogénea correspondiente a la ecuación no homogénea dada. En este caso, la ecuación homogénea que queremos resolver es
\((A+2)(A-6)f = 0\),
para lo que a estas alturas ya deberías estar bastante cómodo en traquetear una solución general de
\(f_1(n) = c_1(-2)^n + c_26^n\).
Ahora para el proceso de tratar realmente con la no homogeneidad de la ecuación del operador de avance. En realidad, basta con encontrar alguna solución de la ecuación no homogénea, a la que llamaremos una solución particular. Una vez que tenemos una solución particular\(f_0\) a la ecuación, la solución general es simplemente\(f=f_0+f_1\), donde\(f_1\) está la solución general a la ecuación homogénea.
Encontrar una solución en particular\(f_0\) es un poco más complicado que encontrar la solución general de la ecuación homogénea. Es algo para lo que puedes desarrollar una intuición resolviendo muchos problemas, pero incluso con una buena intuición sobre qué probar, es probable que sigas teniendo que probar más de una cosa en ocasiones para obtener una solución en particular. ¿Cuál es el mejor punto de partida para esta intuición? Resulta que lo mejor para probar suele ser (y no terriblemente sorprendente) algo que se parece mucho al lado derecho de la ecuación, pero vamos a querer incluir una o más constantes nuevas para ayudarnos realmente a conseguir una solución. Así, aquí lo intentamos\(f_0(n)=d3^n\). Tenemos
\((A+2)(A-6)f_0(n) = (A+2)(d3^{n+1}-6d3^n)\)
\(=(A+2)(-d3^{n+1})\)
\(=-d3^{n+2} - 2d3^{n+1}\)
\(=-5d3^{n+1}\).
Queremos\(f_0\) ser una solución a la ecuación no homogénea, es decir eso\((A+2)(A−6)f_0=3^n\). Esto implica que tenemos que tomar\(d=−1/15\). Ahora, como mencionamos anteriormente, la solución general es
\(f(n) = f_0(n) + f_1(n) = -\dfrac{1}{15}3^n + c_1(-2)^n + c_26^n\).
Te dejamos a ti verificar que esto sí satisface la ecuación dada.
Ojalá hayas notado que en el ejemplo anterior, dijimos que la primera suposición para probar para una solución en particular se parece mucho al lado derecho de la ecuación, en lugar de exactamente como. Nuestro siguiente ejemplo mostrará por qué no siempre podemos tomar algo que coincida exactamente.
Encuentre la solución a la ecuación del operador de avance
\((A+2)(A-6)f = 6^n\)
si\(f(0)=1\) y\(f(1)=5\).
- Solución
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La ecuación homogénea correspondiente aquí es la misma que en el ejemplo anterior, por lo que su solución general es de nuevo\(f_1(n)=c_1(−2)^n+c_26^n\). Así, el trabajo real aquí es encontrar una solución particular\(f_0\) a la ecuación dada del operador de avance. Vamos a probar lo que nuestro trabajo sobre el ejemplo anterior sugeriría aquí, a saber\(f_0(n)=d6^n\). Aplicando el polinomio operador de avance\((A+2)(A−6)\) para\(f_0\) entonces da, uh, bueno, cero, ya que\((A−6)(d6^n)=d6^{n+1}−6d6^n=0\). Eh, eso no funcionó tan bien. Sin embargo, podemos tomar el ejemplo de cómo abordamos ecuaciones de operador de avance homogéneo con raíces repetidas e introducir un factor de\(n\). Vamos a intentarlo\(f_0(n)=dn6^n\). Ahora tenemos
\((A+2)(A-6)(dn6^n) = (A+2)(d(n+1)6^{n+1} - 6dn6^n)\)
\( = (A+2)d6^{n+1}\)
\( = d6^{n+2} + 2d6^{n+1}\)
\( = 6^n(36d + 12d) = 48d6^n\).
Queremos que esto sea igual a\(6^n\), así que tenemos\(d=1/48\). Por lo tanto, la solución general es
\(f(n) = \dfrac{1}{48}n6^n + c_1(-2)^n +c_26^n\).
Todo lo que queda es utilizar nuestras condiciones iniciales para encontrar las constantes\(c_1\) y\(c_2\). Tenemos que satisfacen el siguiente par de ecuaciones:
\(1 = c_1 + c_2\)
\(5 = \dfrac{1}{8} - 2c_1 + 6c_2\)
Resolviendo estos, llegamos a la solución deseada, que es
\(f(n) = \dfrac{1}{48}n6^n + \dfrac{9}{64}(-2)^n + \dfrac{55}{64}6^n\).
¿Cuál es la lección que debemos sacar de este ejemplo? Al hacer una suposición a una solución particular de una ecuación de operador de avance no homogénea, no nos sirve de nada usar términos que también sean soluciones de la ecuación homogénea correspondiente, ya que serán aniquilados por el polinomio operador de avance. Veamos cómo entra en juego esto al resolver finalmente uno de nuestros ejemplos de larga data.
Ya estamos listos para responder a la pregunta de cuántas regiones están determinadas por n líneas en el plano en posición general como discutimos en la Subsección 9.1.3. Tenemos la ecuación de recurrencia
\(r_{n+1} = r_n +n + 1\),
que produce la ecuación del operador de avance no homogénea\((A−1)r=n+1\). Como es habitual, tenemos que comenzar con la solución general a la ecuación homogénea correspondiente. Esta solución es\(f_1(n)=c_1\). Ahora nuestra tentación es intentar\(f_0(n)=d_1n+d_2\) como una solución particular. Sin embargo como el término constante hay una solución a la ecuación homogénea, necesitamos un poco más. Intentemos aumentar los poderes de\(n\) por\(1\), dar\(f_0(n)=d_1n^2+d_2n\). Ahora tenemos
\((A-1)(d_1n^2 + d_2n) = d_1(n+1)^2 + d_2(n+1) - d_1n^2 - d_2n\)
\( = 2d_1n + d_1 + d_2\).
Esto nos dice que necesitamos\(d_1=1/2\) y\(d_2=1/2\), dando\(f_0(n)=n^2/2+n/2\). La solución general es entonces
\(f(n) = c_1 + \dfrac{n^2+n}{2}\).
¿Cuál es nuestra condición inicial aquí? Bueno, una línea divide el avión en dos regiones, entonces\(f(1)=2\). Por otro lado,\(f(1)=c_1+1\), así\(c_1=1\) y así
\(f(n) = 1 + \dfrac{n^2+n}{2} = \dbinom{n+1}{2} + 1\)
es el número de regiones en las que se divide el plano por\(n\) líneas en posición general.
Concluimos esta sección con un ejemplo más que muestra cómo tratar una ecuación de operador de avance no homogénea en la que el lado derecho es de “tipo mixto”.
Dar la solución general de la ecuación del operador de avance
\((A-2)^2f = 3^n + 2n\).
- Solución
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Encontrar la solución a la ecuación homogénea correspondiente se está volviendo bastante fácil en este punto, así que solo tenga en cuenta que
\(f_1(n) = c_12^n + c_2n2^n\).
¿Qué debemos probar como una solución particular? Afortunadamente, desde\(p(A)=(A−2)^2\) aquí no tenemos ninguna interferencia. Nuestro primer instinto es probablemente intentarlo\(f_0(n)=d_13^n+d_2n\). Sin embargo, esto en realidad no va a funcionar. (Pruébalo. Terminas con un término constante sobrante que no puedes simplemente hacer cero.) La clave aquí es que si usamos un término con un poder distinto de cero\(n\) en él, necesitamos incluir también los poderes de orden inferior (siempre y cuando no sean superfluos debido a\(p(A)\)). Por lo tanto, intentamos
\(f_0(n) = d_13^n + d_2n + d_3\).
Esto da
\((A-2)^2(d_13^n+d_2n+d_3) = (A-2)(d_13^{n+1} + d_2(n+1) + d_3 -2d_13^n -2d_2n -2d_3)\)
\(=(A-2)(d_13^n -d_2n + d_2 - d_3)\)
\(= d_13^{n+1} - d_2(n+1) +d_2 - d_3 - 2d_13^n + 2d_2n - 2d_2 + 2d_3\)
\( = d_13^n + d_2n -2d_2 + d_3\).
Queremos que esto sea\(3n+2n\), por lo que los coeficientes coincidentes da\(d_1=1, d_2=2\), y\(d_3=4\). Así, la solución general es
\(f(n) = 3^n + 2n + 4 + c_12^n + c_2n2^n\).