13.1: Notación y Terminología Básicas
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Un flujo\(ϕ\) en una red es una función que asigna a cada borde dirigido\(e=(x,y)\) un valor no negativo\(ϕ(e)=ϕ(x,y)≤c(x,y)\) para que se mantengan las siguientes leyes de conservación:
- \(\sum_{x}ϕ(S,x)= \sum_{x}ϕ(x,T)\), es decir, la cantidad que sale de la fuente es igual a la cantidad que llega al fregadero. Esta cantidad se llama el valor del flujo\(ϕ\).
- Por cada vértice\(y\) que no es ni la fuente ni el sumidero la cantidad que sale\(y\) es igual a la cantidad ingresada\(y\). Es decir,\(\sum_{x}ϕ(x,y)= \sum_{x}ϕ(y,x)\).
Ilustramos un flujo en una red en la Figura 13.2.
En esta figura, los números asociados a cada borde son su capacidad y la cantidad de flujo que\(ϕ\) coloca en ese borde. Por ejemplo, el borde\((E,D)\) tiene capacidad 20 y actualmente lleva un flujo de 8. (Ya que\(ϕ(x,y)≤c(x,y)\), siempre es fácil determinar qué número es la capacidad y cuál es el flujo.) El valor de este flujo es\(30=ϕ(S,F)+ϕ(S,B)+ϕ(S,E)=ϕ(A,T)+ϕ(C,T)\). Para ver que la segunda ley de conservación se sostiene, por ejemplo, en el vértice\(B\), tenga en cuenta que el flujo de entrada\(B\) es\(ϕ(S,B)+ϕ(E,B)+ϕ(D,B)=20\) y el flujo de salida de\(B\) es\(ϕ(B,F)+ϕ(B,A)+ϕ(B,C)=20\).
Dada una red, es muy fácil encontrar un flujo. Simplemente asignamos\(ϕ(e)=0\) para cada borde\(e\). Es muy fácil subestimar la importancia de esta observación, en realidad. Los problemas de flujo de red son un caso especial de una clase más general de problemas de optimización conocidos como programas lineales, y en general, puede ser muy difícil encontrar una solución factible a un problema de programación lineal. De hecho, conceptualmente, encontrar una solución factible, cualquier solución, es tan difícil como encontrar una solución óptima.