1.3: Productos cartesianos y conjuntos de potencia

Productos Cartesianos

Definición \(\PageIndex{1}\): Cartesian Product

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos. El producto cartesiano de\(A\) y\(B\text{,}\) denotado por\(A\times B\text{,}\) se define de la siguiente manera:\(A\times B\) es\(A\times B = \{(a, b) \mid a \in A \quad\textrm{and}\quad b \in B\}\text{,}\) decir, es el conjunto de todos los pares ordenados posibles cuyo primer componente proviene\(A\) y cuyo segundo componente proviene\(B\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Cartesian Product

La notación en matemáticas a menudo se desarrolla por una buena razón. En este caso, algunos ejemplos dejarán claro por qué\(\times\) se utiliza el símbolo para los productos cartesianos.

• Deje\(A = \{1, 2, 3\}\) y\(B = \{4, 5\}\text{.}\) luego\(A \times B = \{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)\}\text{.}\) tenga en cuenta que\(|A \times B| = 6 = \lvert A \rvert \times \lvert B \rvert \text{.}\)
• \(A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}\text{.}\)Tenga en cuenta que\(|A \times A| = 9 = {\lvert A \rvert}^2\text{.}\)

Estos dos ejemplos ilustran la regla general de que si\(A\) y\(B\) son conjuntos finitos, entonces\(\lvert A \times B \rvert = \lvert A \rvert \times \lvert B \rvert \text{.}\)

Podemos definir el producto cartesiano de tres (o más) conjuntos de manera similar. Por ejemplo,\(A \times B \times C = \{(a, b, c):a \in A, b \in B, c \in C\}\text{.}\)

Es común usar exponentes si los conjuntos en un producto cartesiano son los mismos:

\ begin {ecuación*} A^2= A\ veces A\ end {ecuación*}

\ begin {ecuación*} A^3=A\ veces A\ veces A\ end {ecuación*}

y en general,

\ begin {ecuación*} a^n =\ underset {n\ textrm {factores}} {\ subrayado {A\ veces A\ veces\ ldots\ veces A}}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Conjuntos de potencia

Definición \(\PageIndex{2}\): Power Set

Si\(A\) hay algún conjunto, el conjunto de potencia de\(A\) es el conjunto de todos los subconjuntos de\(A\text{,}\) denotados\(\mathcal{P}(A)\text{.}\)

Los dos casos extremos, el conjunto vacío y todos\(A\text{,}\) están incluidos en\(\mathcal{P}(A)\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Some Power Sets

• \(\displaystyle \mathcal{P}(\emptyset )=\{\emptyset \}\)
• \(\displaystyle \mathcal{P}(\{1\}) = \{\emptyset , \{1\}\}\)
• \(\mathcal{P}(\{1,2\}) = \{\emptyset , \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}\text{.}\)

Te dejaremos adivinar una fórmula general para el número de elementos en el conjunto de potencia de un conjunto finito. En el Capítulo 2, discutiremos reglas de conteo que nos ayudarán a derivar esta fórmula.

Nota de SaeMath: Productos Cartesianos y Conjuntos de Potencia

Aquí hay un ejemplo simple de un producto cartesiano de dos conjuntos:

A=Set([0,1,2])
B=Set(['a','b'])
P=cartesian_product([A,B]);P

Aquí está la cardinalidad del producto cartesiano.

P.cardinality()

El conjunto de potencia de un conjunto es iterable, como puede ver en la salida de esta siguiente celda

U=Set([0,1,2,3])
subsets(U)

Puede iterar sobre un conjunto de potencia. Aquí hay un ejemplo trivial.

for a in subsets(U):
    print(str(a)+ " has " +str(len(a))+" elements.")

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Deja\(A = \{0, 2, 3\}\text{,}\)\(B = \{2, 3\}\text{,}\)\(C = \{1, 4\}\text{,}\) y deja que el conjunto universal sea\(U = \{0, 1, 2, 3, 4\}\text{.}\) Listar los elementos de

1. \(\displaystyle A \times B\)
2. \(\displaystyle B \times A\)
3. \(\displaystyle A \times B\times C\)
4. \(\displaystyle U \times \emptyset\)
5. \(\displaystyle A \times A^c\)
6. \(\displaystyle B^2\)
7. \(\displaystyle B^3\)
8. \(\displaystyle B\times \mathcal{P}(B)\)

Contestar

1. \(\displaystyle \{(0, 2), (0, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)\}\)
2. \(\displaystyle \{(2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 2), (3, 3)\}\)
3. \(\displaystyle \{(0, 2, 1), (0, 2, 4), (0, 3, 1), (0, 3, 4), (2, 2, 1), (2, 2, 4),\\ (2, 3, 1), (2, 3, 4), (3, 2, 1), (3, 2, 4), (3, 3, 1), (3, 3, 4)\}\)
4. \(\displaystyle \emptyset\)
5. \(\displaystyle \{(0, 1), (0, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)\}\)
6. \(\displaystyle \{(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)\}\)
7. \(\displaystyle \{(2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (3, 2, 2), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 3, 3)\}\)
8. \(\displaystyle \{(2, \emptyset ), (2, \{2\}), (2, \{3\}), (2, \{2, 3\}), (3, \emptyset ), (3, \{2\}), (3, \{3\}), (3, \{2, 3\})\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que estás a punto de voltear una moneda y luego rodar un dado. Let\(A = \{HEADS, TAILS\}\) y\(B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{.}\)

1. ¿Qué es\(|A \times B|\text{?}\)
2. ¿Cómo podrías interpretar el set\(A \times B\)?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Listar todos los conjuntos de dos elementos en\(\mathcal{P}(\{a,b,c,d\})\)

Contestar

\(\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\} \textrm{ and } \{c, d\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Listar todos los conjuntos de tres elementos en\(\mathcal{P}(\{a, b, c,d\})\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Cuántos conjuntos singleton (de un elemento) hay en\(\mathcal{P}(A)\) if\(\lvert A \rvert =n\)?

Contestar

Hay subconjuntos\(n\) singleton, uno por cada elemento.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una persona tiene cuatro monedas en el bolsillo: un centavo, un centavo, un centavo y un cuarto. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede sacar si quita 3 monedas a la vez?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Let\(A = \{+,-\}\) y\(B = \{00, 01, 10, 11\}\text{.}\)

1. Enumerar los elementos de\(A \times B\)
2. ¿Cuántos elementos tienen\(A ^4\) y\((A \times B)^3\) tienen?

Contestar

1. \(\displaystyle \{+00, +01, +10, +11, -00, -01, -10, -11\}\)
2. \(\displaystyle 16 \textrm{ and } 512\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Let\(A = \{\bullet,\square ,\otimes \}\) y\(B = \{\square ,\ominus ,\bullet\}\text{.}\)

1. Enumerar los elementos de\(A \times B\) y\(B \times A\text{.}\) Los paréntesis y comas en un par ordenado no son necesarios en casos como este donde los elementos de cada conjunto son símbolos individuales.
2. Identificar la intersección de\(A \times B\) y\(B \times A\) para el caso anterior, y luego adivinar una regla general para la intersección de\(A \times B\) y\(B \times A\text{,}\) dónde\(A\) y\(B\) son dos conjuntos cualesquiera.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos. ¿Cuándo son\(A \times B\) e\(B \times A\) iguales?

Contestar

Son iguales cuando\(A=B\).