3.4: Las leyes de la lógica

En esta sección, enumeraremos las equivalencias más básicas y las implicaciones de la lógica. La mayoría de las equivalencias listadas en la Tabla\(\PageIndex{2}\) deben ser obvias para el lector. Recuerda, 0 significa contradicción, 1 para tautología. Muchas leyes lógicas son similares a las leyes algebraicas. Por ejemplo, existe una ley lógica correspondiente a la ley asociativa de la adición,\(a + (b + c) = (a + b) + c\text{.}\) De hecho, la asociatividad tanto de la conjunción como de la disyunción se encuentran entre las leyes de la lógica. Observe que con una excepción, las leyes están emparejadas de tal manera que el intercambio de los símbolos\(\land\text{,}\)\(\lor\text{,}\) 1 y\(\lor\text{,}\)\(\land\text{,}\) 0 por 0, y 1, respectivamente, en cualquier ley le da una segunda ley. Por ejemplo,\(p \lor 0\Leftrightarrow p\) resulta en\(p \land 1 \Leftrightarrow p\text{.}\) Esto se denomina principio de dualidad. Por ahora, piensa en ello como una forma de recordar dos leyes por el precio de una. Dejaremos al lector verificar algunas de estas leyes con tablas de verdad. Sin embargo, el lector debe tener cuidado al aplicar la dualidad al operador condicional y la implicación ya que el dual implica tomar lo contrario. Por ejemplo, el dual de\(p \land q\Rightarrow p\) es el\(p \lor q \Leftarrow p\text{,}\) que suele escribirse\(p\Rightarrow p \lor q\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Verification of an Identity Law

La Ley de Identidad se puede verificar con esta tabla de verdad. El hecho de que\((p \land 1)\leftrightarrow p\) sea una tautología sirve como prueba válida.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de la verdad para demostrar la ley de identidad para la conjunción.

\(p\)	\(1\)	\(p\land 1\)	\((p\land 1)\leftrightarrow p\)
\ (p\) ">\(0\)	\ (1\) ">\(1\)	\ (p\ tierra 1\) ">\(0\)	\ ((p\ tierra 1)\ a la izquierdafila p\) ">\(1\)
\ (p\) ">\(1\)	\ (1\) ">\(1\)	\ (p\ tierra 1\) ">\(1\)	\ ((p\ tierra 1)\ a la izquierdafila p\) ">\(1\)

Algunas de las leyes lógicas en Table\(\PageIndex{3}\) podrían ser menos obvias para ti. Para cualquiera con la que no se sienta cómodo, sustituya las proposiciones reales por las variables lógicas. Por ejemplo, si\(p\) es “John es dueño de una tienda de mascotas” y\(q\) es “A John le gustan las mascotas”, la ley de desapego debería tener sentido.

Tabla \(\PageIndex{2}\): Leyes Lógicas Básicas - Equivalencias

Leyes conmutativas
\(p \lor q\Leftrightarrow q\lor p\)	\(p \land q\Leftrightarrow q \land p\)
Leyes asociativas
\((p\lor q)\lor r\Leftrightarrow p\lor (q\lor r)\)	\((p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)\)
Leyes Distributivas
\(p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)\)	\(p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)\)
Leyes de Identidad
\(p\lor 0\Leftrightarrow p\)	\(p\land 1\Leftrightarrow p\)
Leyes de negación
\(p\land\neg p\Leftrightarrow 0\)	\(p\lor\neg p\Leftrightarrow 1\)
Leyes idempotentes
\(p\lor p\Leftrightarrow\)	\(p\land p\Leftrightarrow p\)
Leyes nulas
\(p\land 0\Leftrightarrow 0\)	\(p\lor 1\Leftrightarrow 1\)
Leyes de Absorción
\(p\land (p\lor q)\Leftrightarrow p\)	\(p\lor (p\land q)\Leftrightarrow p\)
Leyes de Demorgan
\(\neg(p\lor q)\Leftrightarrow (\neg p)\land (\neg q)\)	\(\neg(p\land q)\Leftrightarrow (\neg p)\lor (\neg q)\)
Leyes de involución
\(\neg(\neg p)\Leftrightarrow p\)

Tabla \(\PageIndex{3}\): Leyes lógicas básicas - Implicaciones y equivalencias comunes

Desprendimiento (También conocido como Modus Ponens)	\((p \rightarrow q) \land p\Rightarrow q\)
Razonamiento Indirecto (AKA Modus Tollens)	\((p \to q) \land \neg q \Rightarrow \neg p\)
Adición Disyuntiva	\(p\Rightarrow (p\lor q)\)
Simplificación Conjuntiva	\((p \land q) \Rightarrow p\)y\((p \land q) \Rightarrow q\)
Simplificación Disyuntiva	\((p \lor q) \land \neg p \Rightarrow q\)y\((p \lor q) \land \neg q\Rightarrow p\)
Regla de la Cadena	\((p \to q) \land ( q \rightarrow r) \Rightarrow (p\to r)\)
Equivalencia Condicional	\(p \rightarrow q \Leftrightarrow \neg p \lor q\)
Equivalencias bicondicionales	\((p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p\rightarrow q) \land (q \rightarrow p)\Leftrightarrow (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)\)
Contrapositivo	\((p\to q) \Leftrightarrow (\neg q \to \neg p)\)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escribe lo siguiente en notación simbólica y determina si se trata de una tautología: “Si estudio entonces voy a aprender. No voy a aprender. Por lo tanto, no estudio”.

Contestar

Dejar\(s=\textrm{I will study}\text{,}\)\(t=\textrm{I will learn.}\) El argumento es:\(((s\to t)\land (\neg t))\to (\neg s) ,\) llamar al argumento\(a\text{.}\)

\ begin {ecuation*}\ begin {array} {ccccc} s\ text {} & t\ text {} & s\ to t\ text {} & (s\ to t)\ land (\ neg t)\ text {} & a\\\ hline 0\ text {} & 0\ text {} & 1\ text {} & 1\ text {} & 1\\ 0\ text {} & 1\ text {} & 1\ text {} & 0\ text {} & 1\\ 1\ text {} & 0\ text {} & 0\ text {} & 0\ text {} & 0\ text {} & 1\\ 1\ text {} & 1\ text {} & 1\ text {} & 0\ text {} & 1\\ end {array}\ text {.} \ end {ecuación*}

Ya que\(a\) es una tautología, el argumento es válido.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que la falacia común no\((p\to q) \land \neg p \Rightarrow \neg q\) es una ley de lógica.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Describir, en general, cómo se puede aplicar la dualidad a las implicaciones si introducimos la relación\(\Leftarrow\text{,}\) leída “está implícita por”. Definimos esta relación por

\ begin {ecuation*} (p\ Leftarrow q)\ Leftrightarrow (q\ Rightarrow p)\ text {.} \ end {ecuación*}

Contestar

En cualquier declaración verdadera\(S\text{,}\) reemplazar;\(\land\) con\(\land\text{,}\) 0\(\lor\text{,}\)\(\lor\) con 1, 1 con 0, con\(\Rightarrow \text{,}\) y\(\Leftarrow\)\(\Rightarrow \) con\(\Leftarrow \text{.}\) Dejar sin cambios todas las demás conectivas.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe el dual de las siguientes declaraciones:

1. \(\displaystyle (p \land q)\Rightarrow p\)
2. \(\displaystyle (p\lor q)\land \neg q\Rightarrow p\)