3.9: Una revisión de los métodos de prueba

Uno de los principales objetivos de este capítulo es familiarizar al lector con los conceptos clave en la naturaleza de la prueba en la lógica, que por supuesto se traslada a todas las áreas de las matemáticas y sus aplicaciones. En esta sección nos detendremos, reflexionaremos y “oleremos las rosas”, para que estas ideas clave no se pierdan en los muchos conceptos cubiertos por la lógica. En el Capítulo 4 utilizaremos la teoría de conjuntos como vehículo para seguir practicando y profundizando en los métodos de prueba.

Conceptos en Prueba

Todos los teoremas en matemáticas se pueden expresar en forma “Si\(P\) entonces\(C\)” (\(P \Rightarrow C\)), o en la forma “\(C_1\)si y solo si\(C_2\)” (\(C_1 \Leftrightarrow C_2\)). Este último equivale a “Si\(C_1\) entonces\(C_2\text{,}\)” y “Si\(C_2\) entonces\(C_1\text{.}\)”

En “Si\(P\) entonces\(C\text{,}\)”\(P\) está la premisa (o hipótesis) y\(C\) es la conclusión. Es importante darse cuenta de que un teorema hace una afirmación que depende de que la premisa sea cierta.

Hay dos métodos básicos para probar\(P \Rightarrow C\text{:}\)

• Directamente: Supongamos que\(P\) es verdad y probar\(C\) es verdad.
• Indirectamente (o por contradicción): Supongamos que\(P\)\(C\) es verdad y es falso y demostrar que esto lleva a una contradicción de alguna premisa, teorema, o verdad básica.

El método de prueba para los teoremas de “Si y sólo si” se encuentra en la ley\((P\leftrightarrow C) \Leftrightarrow ((P \rightarrow C) \land (C \rightarrow P))\text{.}\) De ahí que para probar una declaración de “Si y sólo si” se debe probar una declaración de “si. entonces...” y su inversa.

La respuesta inicial de la mayoría de las personas ante la tarea de que se les diga que deben poder leer y hacer pruebas suele ser “¿Por qué?” o “No puedo hacer pruebas”. Responder a la primera pregunta, hacer pruebas o resolver problemas, incluso en el nivel más trivial, implica poder leer declaraciones. Primero debemos entender el problema y conocer la hipótesis; segundo, debemos darnos cuenta cuando hayamos terminado y debemos entender la conclusión. Para aplicar teoremas o algoritmos debemos ser capaces de leer teoremas y sus pruebas de manera inteligente.

Para poder hacer las pruebas reales de teoremas nos vemos obligados a aprender:

• el significado real de los teoremas, y
• las definiciones y conceptos básicos del tema discutido.

Por ejemplo, cuando discutimos números racionales y nos referimos a un número\(x\) como racional, esto significa que podemos sustituir una fracción\(\frac{p}{q}\) en lugar de\(x\text{,}\) con el entendimiento de que\(p\) y\(q\) son enteros y\(q\neq 0\text{.}\) Por lo tanto, para probar un teorema sobre números racionales es absolutamente necesario que sepas cómo “se ve” un número racional.

Es fácil comentar la respuesta, “no puedo hacer pruebas”. ¿Lo has intentado? Como alumnos de primaria podemos haber estado asombrados de cualquiera que pudiera manejar expresiones algebraicas, especialmente las complicadas. Aprendimos intentando y aplicándonos a nosotros mismos. A lo mejor no podemos resolver todos los problemas en álgebra o cálculo, pero estamos lo suficientemente cómodos con estos temas para saber que podemos resolver muchos y podemos expresarnos inteligentemente en estas áreas. Los mismos comentarios son ciertos para las pruebas.

Demostrando\(P \Rightarrow C\)

Primero hay que darse cuenta completamente de lo que se da, la hipótesis. La importancia de esto suele ser pasada por alto por los principiantes. Tiene sentido, cada vez que comienzas alguna tarea, dedicar un tiempo considerable a pensar en las herramientas a tu disposición. Anote la premisa en lenguaje preciso. De igual manera, hay que saber cuándo se termina la tarea. Anote la conclusión en lenguaje preciso. Entonces por lo general comienzas\(P\) e intentas demostrar que eso\(C\) sigue lógicamente. ¿Cómo comienzas? Básicamente atacas la prueba de la misma manera que resuelves una ecuación complicada en álgebra elemental. Puede que no sepas exactamente qué son todos y cada uno de los pasos pero debes probar algo. Si tenemos suerte,\(C\) sigue naturalmente; si no es así, intenta otra cosa. Muchas veces lo que es útil es trabajar hacia atrás desde\(C\text{.}\) Finalmente, todos hemos aprendido, posiblemente de la manera difícil, que las matemáticas son un deporte participante, no un deporte de espectadores. Uno aprende pruebas haciéndolas, no viendo a otros hacerlas. Damos varias ilustraciones de cómo configurar las pruebas de varios ejemplos. Nuestro objetivo aquí no es probar las afirmaciones dadas, sino concentrarnos en el procedimiento lógico.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The Sum of Odd Integers

Vamos a delinear una prueba de que la suma de cualesquiera dos enteros impares es par. Nuestro primer paso será escribir el teorema en la forma condicional familiar: Si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces\(x+y\) es par. La premisa y conclusión de este teorema debería quedar clara ahora. Observe que si\(x\) y no\(y\) son ambos impares, entonces la conclusión puede o no ser cierta. Nuestro único objetivo es demostrar que la verdad de la premisa obliga a que la conclusión sea cierta. Por lo tanto, podemos expresar los enteros\(x\) y\(y\) en la forma que toman todos los enteros impares; es decir:

\ begin {ecuación*} n\ in\ mathbb {Z}\ textrm {es impar implica que} (\ existe m\ in\ mathbb {Z}) (n = 2m + 1)\ end {ecuación*}

Esta observación nos permite examinar la suma\(x+y\) y verificar que debe ser pareja.

Un último punto importante: Este ejemplo involucra dos enteros impares que pueden o no ser iguales. Si usamos el hecho de que\(x\) es impar e inferir que\(x=2m+1\) para algún entero\(m\text{,}\) podemos hacer algo similar con\(y\text{.}\) Sin embargo, en este contexto no podemos escribir\(y=2m+1\) ya que ya hemos vinculado\(m\) a\(x\text{.}\) Necesitamos usar una variable diferente, tal vez\(q\) o \(m'\)- cualquier otro símbolo que no se utilice ya en nuestra discusión.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): The Square of an Even Integer

Vamos\(n \in \mathbb{Z}\text{.}\) Vamos a delinear una prueba que\(n^2\) es aunque y sólo si\(n\) es par.

Esquema de una prueba: Dado que se trata de un teorema de “Si y solo si” debemos probar dos cosas:

1. (\(\Rightarrow \)) Si\(n^2\) es par, entonces\(n\) es par. Para hacer esto directamente, asuma que\(n^{2 }\) es parejo y demuestre que\(n\) es parejo. Para hacer esto indirectamente, asumir\(n^2\) es par y eso\(n\) es extraño, y llegar a una contradicción. Resulta que este último de los dos enfoques es el más fácil aquí.
2. (\(\Leftarrow \)) Si\(n\) es par, entonces\(n^2\) es par. Para hacer esto directamente, asuma que\(n\) es parejo y demuestre que\(n^2\) es parejo.

Ahora que hemos desglosado el teorema en dos partes y sabemos qué probar, procedemos a probar las dos implicaciones. El ingrediente final que necesitamos es una manera conveniente de describir incluso enteros. Cuando nos referimos a un entero\(n\) (\(m\text{,}\)o o\(k\text{,.}\).) como par, siempre podemos reemplazarlo por un producto de la forma\(2q\text{,}\) donde\(q\) es un entero (más precisamente,\(\left.(\exists q) _{\mathbb{Z}} (n = 2q)\right)\text{.}\) en otras palabras, para que un entero sea par debe tener un factor de dos en su descomposición prima.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): \(\sqrt{2}\) is Irrational

Nuestro último ejemplo será un esbozo de la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional (no un elemento de\(\mathbb{Q}\)). Este es un ejemplo del teorema que no parece estar en la\(P \Rightarrow C\) forma estándar. Una forma de reformular el teorema es: Si\(x\) es un número racional, entonces\(x^2\neq 2\text{.}\) Una prueba directa de este teorema requeriría que verifiquemos que el cuadrado de cada número racional no es igual a 2. No hay una manera conveniente de hacerlo, por lo que debemos recurrir al método indirecto de prueba. En tal prueba, asumimos que\(x\) es un número racional y que\(x^2=2\text{.}\) Esto conducirá a una contradicción. Para llegar a esta contradicción, necesitamos utilizar los siguientes hechos:

• Un número racional es un cociente de dos enteros.
• Cada fracción se puede reducir a términos más bajos, de manera que el numerador y denominador no tengan un factor común mayor a 1.
• Si\(n\) es un entero,\(n^2\) es par si y solo si\(n\) es par.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que la suma de dos enteros positivos impares es un entero positivo par. Es posible que desee leer Ejemplo\(\PageIndex{1}\) antes de intentar esto.

Contestar

La sentencia dada se puede escribir en if\(\dots\), luego\(\dots\) formatear como: Si\(x\) y\(y\) son dos enteros positivos impares, entonces\(x+y\) es un entero par.

Prueba: Supongamos\(x\) y\(y\) son dos enteros impares positivos. Se puede demostrar que\(x+y=2 \cdot \textrm{(some positive integer)}\text{.}\)

\(x\)impar y positivo\(\Rightarrow x=2m+1\) para algunos\(m \geq 0\text{,}\)

\(y\)impar y positivo\(\Rightarrow y=2n+1\) para algunos\(n \geq 0\text{.}\)

Entonces,

\ begin {ecuación*} x+y= (2m+1) + (2n+1) =2 ((m+n) +1) =2\ cdot\ textrm {(algún entero positivo)}\ end {ecuación*}

Por lo tanto,\(x+y\) es un entero positivo par. \(\square\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Escribe una prueba completa de que si\(n\) es un entero,\(n^2\) es par si y solo si\(n\) es par.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Escribe una prueba completa que\(\sqrt{2}\) sea irracional.

Contestar

Prueba: (Indirecta) Asumir lo contrario, ese\(\sqrt{2}\) es un número racional. Entonces existe\(p,q\in \mathbb{Z}, (q\neq 0)\) dónde\(\frac{p}{q}=\sqrt{2}\) y dónde\(\frac{p}{q}\) está en términos más bajos, es decir,\(p\) y no\(q\) tienen otro factor común que no sea 1.

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ frac {p} {q} =\ sqrt {2} &\ Rightarrow\ frac {p^2} {q^2} =2\\ &\ Rightarrow p^2=2 q^2\ &\ Rightarrow p^2\ textrm {es un entero par}\\ &\ Rightarrow p\ textrm m {es un entero par (ver Ejercicio 2)}\\ &\ Rightarrow\ textrm {4 es un factor de} p^2\\ &\ Rightarrow q^2\ textrm {es par}\\ &\ Rightarrow q\ textrm {es par}\\\ end {split}\ end {equation*}

De ahí que ambos\(p\) y\(q\) tengan un factor común, a saber 2, que es una contradicción. \(\square\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que la raíz cubo de 2 es un número irracional.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que si\(x\) y\(y\) son números reales tales que\(x + y \leq 1\text{,}\) entonces\(x\leq \frac{1}{2}\) o\(y\leq \frac{1}{2}\text{.}\)

Contestar

Prueba: (Indirecta)\(x+y\leqslant 1\text{.}\) Asumir\(x,y\in \mathbb{R}\) y asumir lo contrario que\(\left(x\leqslant \frac{1}{2}\textrm{ or } y\leqslant \frac{1}{2}\right)\) es falso, lo que equivale a\(x>\frac{1}{2}\textrm{ and } y>\frac{1}{2}\text{.}\) De ahí\(x+y>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\text{.}\) Esto contradice la suposición de que\(x+y\leqslant 1\text{.}\)\(\square\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Utilice la siguiente definición de valor absoluto para probar las declaraciones dadas: Si\(x\) es un número real, entonces el valor absoluto de\(x\text{,}\)\(\lvert x \rvert\text{,}\) se define por:

\ begin {ecuation*}\ lvert x\ rvert =\ begin {cases}\ hfill x\ hfill &\ text {if} x\ geq 0\\\ hfill -x\ hfill &\ text {si} x\ lt 0\\ end {casos}\ end {ecuación*}

1. Para cualquier número real\(x\text{,}\)\(\lvert x \rvert\geq 0\text{.}\) Por otra parte,\(\lvert x \rvert = 0\) implica\(x = 0\text{.}\)
2. Para dos números reales\(x\) y\(y\text{,}\)\(\lvert x \rvert\cdot \lvert y \rvert=\lvert x y \rvert\text{.}\)
3. Para dos números reales\(x\) y\(y\text{,}\)\(\lvert x + y \rvert\leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert\text{.}\)