5.4: Rarezas de Matriz

Disimilitudes con álgebra elemental

Hemos visto que el álgebra matricial es similar en muchos aspectos al álgebra elemental. En efecto, si queremos resolver la ecuación matricial\(A X = B\) para\(X\text{,}\) lo desconocido imitamos el procedimiento utilizado en álgebra elemental para resolver la ecuación\(a x = b\text{.}\) Una suposición que necesitamos es que\(A\) es una matriz cuadrada que tenga una inversa. Observe cómo se utilizan exactamente las mismas propiedades en las siguientes soluciones detalladas de ambas ecuaciones.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Ecuación en el Álgebra de Números Reales		Ecuación en Álgebra Matricial
\(ax=b\)		\(AX=B\)
\(a^{-1}(ax)=a^{-1}b\)si\(a\neq 0\)		\(A^{-1}(AX)=A^{-1}B\)si\(A^{-1}\) existe
\((a^{-1}a)x=a^{-1}b\)	Propiedad asociativa	\((A^{-1}A)X=A^{-1}B\)
\(1x=a^{-1}b\)	Inverse (propiedad)	\(IX=A^{-1}B\)
\(x=a^{-1}b\)	Propiedad Identidad	\(X=A^{-1}B\)

Ciertamente, el proceso de solución para resolver\(A X = B\) es el mismo que el de resolver\(a x = b\text{.}\)

La solución de\(x a = b\) es\(x = b a^{-1} = a^{-1}b\text{.}\) De hecho, solemos escribir la solución de ambas ecuaciones como\(x =\frac{b}{a}\text{.}\) En álgebra matricial, la solución de\(X A = B\) is\(X = B A^{-1}\), que no es necesariamente igual a\(A^{-1} B\text{.}\) Así en álgebra matricial, ya que la ley conmutativa (bajo multiplicación) no es cierta, nosotros hay que tener más cuidado en los métodos que utilizamos para resolver ecuaciones.

De lo anterior queda claro que si escribimos la solución de\(A X = B\) como no\(X=\frac{B}{A}\text{,}\) sabríamos interpretar\(\frac{B}{A}\text{.}\) ¿Significa\(A^{-1} B\) o\(B A^{-1}\text{?}\) por ello, nunca\(A^{-1}\) se escribe como\(\frac{I}{A}\text{.}\)

Observación\(\PageIndex{1}\): Matrix Oddities

Algunas de las principales diferencias entre álgebra matricial y álgebra elemental son las del álgebra matricial:

1. \(A B\)puede ser diferente de\(B A\text{.}\)
2. Existen matrices\(A\) y\(B\) tal que\(A B = \pmb{0}\text{,}\) y sin embargo\(A\neq \pmb{0}\) y\(B\neq \pmb{0}\text{.}\)
3. Existen matrices\(A\) donde\(A \neq \pmb{0}\text{,}\) y sin embargo\(A^2 = \pmb{0}\text{.}\)
4. Existen matrices\(A\) donde\(A^2=A\) con\(A\neq I\) y\(A\neq \pmb{0}\)
5. Existen matrices\(A\) donde\(A^2=I\text{,}\) donde\(A\neq I\) y\(A\neq -I\)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Discutir cada una de las “Rarezas Matrix” con respecto al álgebra elemental.

Responder

En álgebra elemental (el álgebra de números reales), cada una de las rarezas dadas no existe.

• \(AB\)puede ser diferente de\(BA\text{.}\) No así en álgebra elemental, ya que\(a b = b a\) por la ley conmutativa de la multiplicación.
• Existen matrices\(A\) y\(B\) tal que\(AB = \pmb{0}\text{,}\) todavía\(A\neq \pmb{0}\) y\(B\neq \pmb{0}\text{.}\) en álgebra elemental, la única manera\(ab = 0\) es si cualquiera\(a\) o\(b\) es cero. No hay excepciones.
• Existen matrices\(A\text{,}\)\(A\neq \pmb{0}\text{,}\) todavía\(A^2=\pmb{0}\text{.}\) En álgebra elemental,\(a^2=0\Leftrightarrow a=0\text{.}\)
• Existen matrices\(A^2=A\text{.}\) donde\(A\neq \pmb{0}\) y\(A\neq I\text{.}\) En álgebra elemental,\(a^2=a\Leftrightarrow a=0 \textrm{ or } 1\text{.}\)
• Existen matrices\(A\) donde\(A^2=I\) pero\(A\neq I\) y\(A\neq -I\text{.}\) En álgebra elemental,\(a^2=1\Leftrightarrow a=1\textrm{ or }-1\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Determinar\(2\times 2\) matrices que muestran que cada una de las “Rarezas Matrix” son verdaderas.

Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

Demostrar o desmentir las siguientes implicaciones.

1. \(A^2= A\)y\(\det A \neq 0 \Rightarrow A =I\)
2. \(A^2 = I \textrm{ and } \det A \neq 0 \Rightarrow A = I \textrm{ or } A = -I\text{.}\)

Responder

1. \(\det A \neq 0\Rightarrow A^{-1}\)existe, y si multiplicas la ecuación\(A^2=A\) en ambos lados por\(A^{-1}\), obtienes\(A=I\text{.}\)
2. Contraejemplo:\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(M_{n\times n}(\mathbb{R})\)Dejen ser el conjunto de\(n\times n\) matrices reales. Dejar\(P \subseteq M_{n\times n}(\mathbb{R})\) ser el subconjunto de matrices definido por\(A \in P\) si y solo si\(A^2 = A\text{.}\) Let\(Q \subseteq P\) ser definido por\(A\in Q\) si y solo si\(\det A \neq 0\text{.}\)

1. Determinar la cardinalidad de\(Q\text{.}\)
2. Considerar el caso especial\(n = 2\) y demostrar que una condición suficiente para\(A \in P \subseteq M_{2\times 2}(\mathbb{R})\) es que\(A\) tenga un determinante cero (es decir,\(A\) es singular) y\(tr(A) = 1\) donde\(tr(A) = a_{11}+ a _{22}\) está la suma de los elementos diagonales principales de\(A\text{.}\)
3. ¿La condición de la parte b es una condición necesaria?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Escribe cada uno de los siguientes sistemas en el formulario\(A X = B\text{,}\) y luego resuelve los sistemas usando matrices.

1. \(\displaystyle \begin{array}{c}2x_1+x_2=3\\ x_1-x_2= 1\\ \end{array}\)
2. \(\displaystyle \begin{array}{c}2x_1-x_2=4\\ x_1 -x_2= 0\\ \end{array}\)
3. \(\displaystyle \begin{array}{c}2x_1+x_2=1\\ x_1 -x_2= 1\\ \end{array}\)
4. \(\displaystyle \begin{array}{c}2x_1+x_2=1\\ x_1 -x_2= -1\\ \end{array}\)
5. \(\displaystyle \begin{array}{c}3x_1+2x_2=1 \\ 6 x_1 +4x_2= -1\\ \end{array}\)

Responder

1. \(A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & -2/3 \\ \end{array} \right)\)\(x_1=4/3\text{,}\)y\(x_2=1/3\)
2. \(A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -2 \\ \end{array} \right)\)\(x_1=4\text{,}\)y\(x_2=4\)
3. \(A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & -2/3 \\ \end{array} \right)\)\(x_1=2/3\text{,}\)y\(x_2=-1/3\)
4. \(A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & -2/3 \\ \end{array} \right)\)\(x_1=0\text{,}\)y\(x_2=1\)
5. La matriz de coeficientes para este sistema tiene un determinante cero; por lo tanto, no tiene inversa. El sistema no puede ser resuelto por este método. De hecho, el sistema no tiene solución.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Recordemos que\(p(x) = x^2- 5x + 6\) se llama polinomio, o más específicamente, un polinomio sobre\(\mathbb{R}\text{,}\) donde los coeficientes son elementos de\(\mathbb{R}\) y\(x \in \mathbb{R}\text{.}\) También, pensar en el método de resolución, y soluciones de,\(x^2- 5x + 6= 0\text{.}\) Nos gustaría definir la situación análoga para\(2\times 2\) matrices. Primero definir dónde\(A\) está una\(2\times 2\) matriz\(p(A) = A^2 - 5A + 6I\text{.}\) Discutir el método de resolución y las soluciones de\(A^2 - 5A + 6I=\pmb{0}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para los que conocen el cálculo:

1. Escribe la expansión de la serie para\(e^a\) centrado alrededor\(a=0\text{.}\)
2. Usa la idea de Ejercicio\(\PageIndex{6}\) para escribir lo que sería una definición plausible de\(e^A\) dónde\(A\) es una\(n \times n\) matriz.
3. Si\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\) y\(B =\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\), use la serie de la parte (b) para mostrar eso\(e^A= \left( \begin{array}{cc} e & e-1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) y\(e^B= \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\text{.}\)
4. Demostrar que\(e^Ae^B\neq e^Be^A\text{.}\)
5. Demostrar que\(e^{A+B}= \left( \begin{array}{cc} e & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\text{.}\)
6. Es\(e^Ae^B=e^{A+B}\text{?}\)