5.3: Leyes del Álgebra Matricial

Leyes

A continuación se presenta un resumen de las leyes básicas de las operaciones matriciales. Supongamos que se definen las operaciones indicadas; es decir, que los órdenes de las matrices\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\) son tales que las operaciones tengan sentido.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Leyes del álgebra matricial

(1) Ley Conmutativa de Adición	\(A + B = B + A\)
(2) Ley Asociativa de Adición	\(A + (B + C) = (A + B) + C\)
(3) Ley Distributiva de un Escalar sobre Matrices	\(c(A + B) = c A + c B\text{,}\)donde\(c \in \mathbb{R}\text{.}\)
(4) Ley Distributiva de Escalares sobre Matriz	\(\left(c_1 + c_2 \right)A = c_1A +c_2 A\text{,}\)donde\(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\text{.}\)
(5) Ley asociativa de la multiplicación escalar	\(c_1 \left(c_2 A\right) =\left(c_1 \cdot c_2 \right)A\text{,}\)donde\(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\text{.}\)
(6) Matriz Cero Aniquila todos los Productos	\(\pmb{0}A = \pmb{0}\text{,}\)donde\(\pmb{0}\) está la matriz cero.
(7) Zero Scalar aniquila todos los productos	\(0 A =\pmb{0}\text{,}\)donde 0 a la izquierda es el cero escalar.
(8) La matriz cero es una identidad para la adición	\(A + \pmb{0} = A\text{.}\)
(9) La negación produce inversas aditivas	\(A + (-1)A = \pmb{0}\text{.}\)
(10) Derecho Derecho Derecho Derecho Derecho de la Multiplicación Matricial	\((B + C)A = B A + C A\text{.}\)
(11) Ley distributiva izquierda de multiplicación matricial	\(A(B + C) = A B + A C\text{.}\)
(12) Ley asociativa de la multiplicación	\(A(B C) = (A B)C\text{.}\)
(13) Matriz de Identidad es una Identidad Multiplicativa	\(I A = A\)y\(A I = A\text{.}\)
(14) Involución Propiedad de Inversa	Si\(A^{-1}\) existe,\(\left(A^{-1} \right)^{-1} = A\text{.}\)
(15) Regla inversa de producto	Si\(A^{-1}\) y\(B^{-1}\) existen,\((A B)^{-1}= B^{-1}A^{-1}\)

Comentario

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): More Precise Statement of One Law

Si quisiéramos escribir cada una de las leyes anteriores de manera más completa, especificaríamos los órdenes de las matrices. Por ejemplo, la Ley 10 debe decir:

Let\(A\)\(B\),, y\(C\) be\(m\times n\),\(n\times p\), y\(n\times p\) matrices, respectivamente, entonces\(A(B+C)=AB+AC\)

Observaciones:

• Notar la ausencia de la “ley”\(A B = B A\text{.}\) ¿Por qué?
• ¿Es realmente necesario contar con una ley distributiva tanto de derecho (número 11) como de izquierda (número 10)? ¿Por qué?

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Reescribir las leyes anteriores especificando como en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) los órdenes de las matrices.

Responder

1. Dejar\(A\) y\(B\) ser\(m\) por\(n\) matrices. Entonces\(A+B=B+A\text{,}\)
2. Dejar\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) ser\(m\) por\(n\) matrices. Entonces\(A+(B+C)=(A+B)+C\text{.}\)
3. Dejar\(A\) y\(B\) ser\(m\) por\(n\) matrices, y dejar\(c\in \mathbb{R}\text{.}\) Entonces\(c(A+B)=cA+cB\text{,}\)
4. Dejar\(A\) ser una\(n\) matriz\(m\) por, y dejar\(c_1,c_2\in \mathbb{R}\text{.}\) Entonces\(\left(c_1+c_2\right)A=c_1A+c_2A\text{.}\)
5. Dejar\(A\) ser una\(n\) matriz\(m\) por, y dejar\(c_1,c_2\in \mathbb{R}\text{.}\) Entonces\(c_1\left(c_2A\right)=\left(c_1c_2\right)A\)
6. Dejar\(\pmb{0}\) ser la matriz cero, de tamaño\(m \textrm{ by } n\text{,}\) y dejar\(A\) ser una matriz de tamaño\(n \textrm{ by } r\text{.}\) Entonces\(\pmb{0}A=\pmb{0}=\textrm{ the } m \textrm{ by } r \textrm{ zero matrix}\text{.}\)
7. Dejar\(A\) ser una\(m \textrm{ by } n\) matriz, y\(0 = \textrm{ the number zero}\text{.}\) luego\(0A=0=\textrm{ the } m \textrm{ by } n \textrm{ zero matrix}\text{.}\)
8. Dejar\(A\) ser una\(m \textrm{ by } n\) matriz, y dejar\(\pmb{0}\) ser la matriz\(m \textrm{ by } n\) cero. Entonces\(A+\pmb{0}=A\text{.}\)
9. \(A\)Déjese ser una\(m \textrm{ by } n\) matriz. Entonces\(A+(- 1)A=\pmb{0}\text{,}\) donde\(\pmb{0}\) esta la matriz\(m \textrm{ by } n\) cero.
10. Let\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) be\(m \textrm{ by } n\text{,}\)\(n \textrm{ by } r\text{,}\) y\(n \textrm{ by } r\) matrices respectivamente. Entonces\(A(B+C)=AB+AC\text{.}\)
11. Let\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) be\(m \textrm{ by } n\text{,}\)\(r \textrm{ by } m\text{,}\) y\(r \textrm{ by } m\) matrices respectivamente. Entonces\((B+C)A=BA+CA\text{.}\)
12. Let\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) be\(m \textrm{ by } n\text{,}\)\(n \textrm{ by } r\text{,}\) y\(r \textrm{ by } p\) matrices respectivamente. Entonces\(A(BC)=(AB)C\text{.}\)
13. \(A\)Sea una\(m \textrm{ by } n\) matriz,\(I_m\) la matriz de\(m \textrm{ by } m\) identidad y\(I_n\) la matriz de\(n \textrm{ by } n\) identidad. Entonces\(I_mA=AI_n=A\)
14. \(A\)Déjese ser una\(n \textrm{ by } n\) matriz. Entonces si\(A^{-1}\) existe,\(\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\text{.}\)
15. Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n \textrm{ by } n\) matrices. Entonces si\(A^{-1}\) y\(B^{-1}\) existen,\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Verifica cada una de las Leyes del Álgebra Matricial usando ejemplos.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Let\(A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\text{,}\)\(B= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 7 & 6 \\ 2 & -1 & 5 \\ \end{array} \right)\text{,}\) y\(C= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 4 \\ 7 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\text{.}\) Calcula lo siguiente de la manera más eficiente posible mediante el uso de cualquiera de las Leyes del Álgebra Matriz:

1. \(\displaystyle A B + A C\)
2. \(\displaystyle A^{-1}\)
3. \(\displaystyle A(B + C)\)
4. \(\displaystyle \left(A^2\right)^{-1}\)
5. \(\displaystyle (C + B)^{-1}A^{-1}\)

Responder

1. \(\displaystyle AB+AC=\left( \begin{array}{ccc} 21 & 5 & 22 \\ -9 & 0 & -6 \\ \end{array} \right)\)
2. \(\displaystyle A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)=A\)
3. \(A(B+C)=A B+ B C\text{,}\)que se da en la parte a).
4. \(\left(A^2\right)^{-1}=(AA)^{-1}=(A^{-1}A)=I^{-1}=I \quad \)por parte c

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Let\(A =\left( \begin{array}{cc} 7 & 4 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right)\) y\(B =\left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right)\text{.}\) Calcula lo siguiente de la manera más eficiente posible mediante el uso de cualquiera de las Leyes del Álgebra Matriz:

1. \(\displaystyle A B\)
2. \(\displaystyle A + B\)
3. \(\displaystyle A^2 + A B + B A + B ^2\)
4. \(\displaystyle B^{-1}A^{-1}\)
5. \(\displaystyle A^2 + A B\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n\times n\) matrices de números reales. Es\(A^2-B^2= (A-B)(A+B)\text{?}\) Explicar.