7.1: Definición y notación

Fundamentos

Definición \(\PageIndex{1}\): Function

Una función de un conjunto\(A\) en un conjunto\(B\) es una relación de\(A\) hacia\(B\) tal que cada elemento de\(A\) está relacionado con exactamente un elemento del conjunto\(B\text{.}\) El conjunto\(A\) se llama el dominio de la función y el conjunto\(B\) es llamado el codominio.

El lector debe tener en cuenta que una función\(f\) es una relación desde\(A\) dentro\(B\) con dos restricciones importantes:

• Cada elemento del conjunto\(A\text{,}\) del dominio\(f\text{,}\) debe estar relacionado con algún elemento\(B\text{,}\) del codominio.
• La frase “está relacionada exactamente con un elemento del conjunto\(B\)” significa que if\((a, b)\in f\) and\((a, c)\in f\text{,}\) then\(b = c\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Function as a List of Ordered Pairs

Let\(A = \{-2, -1,0, 1, 2\}\)\(B = \{0, 1, 2, 3, 4\}\text{,}\) y y si\(s = \{(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)\}\text{,}\) entonces\(s\) es una función de\(A\) en\(B\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A Function as a Set of Ordered Pairs in Set-Builder Notation

\(\mathbb{R}\)Dejen ser los números reales. Entonces\(L = \{(x, 3x) \mid x \in \mathbb{R}\}\) es una función desde\(\mathbb{R}\) dentro\(\mathbb{R}\text{,}\) o, más simplemente,\(L\) es una función en\(\mathbb{R}\text{.}\)

Se acostumbra usar un sistema de notación diferente para las funciones al que usamos para las relaciones. Si\(f\) es una función del conjunto\(A\) en el conjunto\(B\text{,}\) escribiremos\(f:A \rightarrow B\text{.}\)

El lector probablemente esté más familiarizado con la notación para describir funciones que se utilizan en cursos básicos de álgebra o cálculo. Por ejemplo,\(y =\frac{1}{x}\) o\(f(x) =\frac{1}{x}\) ambos definen la función\(\left\{\left.\left(x,\frac{1}{x}\right)\right| x\in \mathbb{R}, x\neq 0\right\}\text{.}\) Aquí se suponía que el dominio eran aquellos elementos de\(\mathbb{R}\) cuyas sustituciones para tener\(x\) sentido, los números reales distintos de cero, y se suponía que el codominio era\(\mathbb{R}\text{.}\) En la mayoría de los casos, haremos un punto de enumerar el dominio y codominio además de describir lo que hace la función para definir una función.

Los términos mapeo, mapa y transformación también se utilizan para las funciones.

Definición \(\PageIndex{2}\): The Set of Functions Between Two Sets

Dados dos conjuntos,\(A\) y\(B\text{,}\) el conjunto de todas las funciones de\(A\) a\(B\) se denota\(B^A\text{.}\)

La notación utilizada para conjuntos de funciones tiene sentido a la luz del Ejercicio\(\PageIndex{5}\).

Una forma de imaginar una función y lo que hace es pensarla como una máquina. La máquina podría ser mecánica, electrónica, hidráulica o abstracta. Imagínese que la máquina sólo acepta ciertos objetos como materia prima o entrada. Las posibles materias primas conforman el dominio. Dada alguna entrada, la máquina produce un producto terminado que depende de la entrada. Los posibles productos terminados que imaginamos podrían salir de este proceso conforman el codominio.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): A Definition Based on Images

Podemos definir una función basada en especificar el elemento codominio con el que se relaciona cada elemento de dominio. Por ejemplo,\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definido por\(f(x) = x^2\) es una descripción alternativa de\(f= \left\{\left.\left(x, x ^2\right)\right|x \in \mathbb{R}\right\}\text{.}\)

Definición \(\PageIndex{3}\): Image of an Element Under a Function

Let\(f:A \rightarrow B\text{,}\) read “Let\(f\) be a function from the set\(A\) into the set\(B\text{.}\)” If\(a \in A\text{,}\) then\(f(a)\) is used to denote that element of\(B\) to which\(a\) is related. \(f(a)\)se llama la imagen de\(a\text{,}\) o, más precisamente, la imagen de\(a\) debajo\(f\text{.}\) Escribimos\(f(a) = b\) para indicar que la imagen de\(a\) es\(b\text{.}\)

En Ejemplo\(\PageIndex{3}\), la imagen de 2 debajo\(f\) es 4; es decir,\(f(2) = 4\text{.}\) En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), la imagen de\(-1\) debajo\(s\) es 1; es decir,\(s(-1) = 1\text{.}\)

Definición \(\PageIndex{4}\): Range of a Function

El rango de una función es el conjunto de imágenes de su dominio. Si\(f:X \rightarrow Y\text{,}\) entonces el rango de\(f\) se denota\(f(X)\text{,}\) y

\ begin {ecuación*} f (X) =\ {f (a)\ mid a\ in X\} =\ {b\ in Y\ mid\ existe a\ en X\ textrm {tal que} f (a) = b\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Tenga en cuenta que el rango de una función es un subconjunto de su codominio. \(f(X)\)también se lee como “la imagen del conjunto\(X\) bajo la función\(f\)” o simplemente “la imagen de\(f\text{.}\)”

En Ejemplo\(\PageIndex{1}\),\(s(A)= \{0, 1, 4\}\text{.}\) Observe que 2 y 3 no son imágenes de ningún elemento de Además, tenga\(A\text{.}\) en cuenta que tanto 1 como 4 están relacionados con más de un elemento del dominio:\(s(1) = s(-1) = 1\) y\(s(2) = s(-2) = 4\text{.}\) Esto no viola la definición de una función. Vuelve atrás y lee la definición si esto no te queda claro.

En Ejemplo\(\PageIndex{2}\), el rango de\(L\) es igual a su codominio,\(\mathbb{R}\text{.}\) Si\(b\) es cualquier número real, podemos demostrar que pertenece al\(L(\mathbb{R})\) encontrar un número real\(x\) para el cual\(L(x) = b\text{.}\) Por\(L\text{,}\)\(L(x) = 3x\text{,}\) cuya definición nos lleva a la ecuación \(3x = b\text{.}\)Esta ecuación siempre tiene una solución,\(\frac{b}{3}\text{;}\) así\(L(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\text{.}\)

La fórmula que usamos para describir la imagen de un número real bajo\(L\text{,}\)\(L(x) = 3x\text{,}\) es la preferida sobre la notación establecida\(L\) debido a su brevedad. Cada vez que se pueda describir una función con una regla o fórmula, utilizaremos esta forma de descripción. En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), la imagen de cada elemento de\(A\) es su cuadrado. Para describir ese hecho, escribimos\(s(a) = a^2\) (\(a \in A\)), o\(S:A \rightarrow B\) definido por\(S(a) = a^2\text{.}\)

Hay muchas maneras en las que se puede describir una función. Muchos factores, como la complejidad de la función, dictan su representación.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Data as a Function

Supongamos que se hace una encuesta a mil personas preguntando cuántas horas de televisión cada una ve al día. Considere la función\(W: \{0,1,\ldots , 24\} \rightarrow \{0,1,2,\ldots ,1000\}\) definida por

\ begin {equation*} W (t) =\ textrm {el número de personas que dieron una respuesta de} t\ textrm {horas}\ end {ecuación*}

Esta función probablemente no tendrá ninguna fórmula como las de\(s\) y\(L\) superiores.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Conditional Definition of a Function

Considere la función\(m:\mathbb{P} \rightarrow \mathbb{Q}\) definida por el conjunto

\ comenzar {ecuación*} m =\ {(1, 1), (2, 1/2), (3, 9), (4, 1/4), (5, 25),.\}\ final {ecuación*}

Ninguna fórmula simple podría describir\(m\text{,}\) pero si asumimos que el patrón dado continúa, podemos escribir

\ begin {ecuation*} m (x) =\ left\ {\ begin {array} {cc} x^2 &\ textrm {if} x\ textrm {es impar}\\ 1/x &\ textrm {if} x\ textrm {es par}\\\ end {array}\ derecho. \ end {ecuación*}

Funciones de dos variables

Si el dominio de una función es el producto cartesiano de dos conjuntos, entonces nuestra notación y terminología cambian ligeramente. Por ejemplo, consideremos la función\(G:\mathbb{N} \times \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) definida por\(G\left(\left(n_1,n_2\right)\right)=n_1^2+n_2^2- n_1n_2+10\text{.}\) Para esta función, soltaríamos un conjunto de paréntesis y\(G((4, 2)) = 22\text{.}\) escribiríamos\(G(4, 2) = 22\text{,}\) no Llamamos a\(G\) una función de dos variables. Desde un punto de vista, esta función no es diferente de ninguna otra que hayamos visto. Los elementos del dominio resultan ser un poco más complicados. Por otro lado, podemos ver los componentes individuales de los pares ordenados como separados. Si interpretamos\(G\) como darnos el costo de producir cantidades de dos productos, podemos imaginarnos variando\(n_1\) mientras\(n_2\) sea fijo, o viceversa.

Se pueden hacer las mismas observaciones para la función de tres o más variables.

Nota de SagoMath

Hay varias formas de definir una función en Sage. La forma más sencilla de implementar\(f\) es la siguiente.

f(x)=x^2
f

[f(4), f(1.2)]

Sage se basa en el lenguaje de programación Python, que es un lenguaje fuertemente mecanografiado y por lo que no se pueden evaluar expresiones como f ('Hola'). Sin embargo una función\(f\text{,}\) como la definida anteriormente, aceptará cualquier tipo de número, por lo que se necesita un poco más de trabajo para restringir las entradas de\(f\) a los enteros.

Una segunda forma de definir una función en Sage se basa en la sintaxis de Python.

def fa(x)
    return x^2

#end of definition - now we test it:
[fa(2),fa(1.2)]

No-Funciones

Cerramos esta sección con dos ejemplos de relaciones que no son funciones.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): A Non-Function

Dejar\(A = B = \{1, 2, 3\}\) y dejar\(f= \{(1, 2), (2, 3)\}\text{.}\) Aquí no\(f\) es una función desde\(A\) dentro\(B\) ya que\(f\) no actúa sobre, o “usa”, todos los elementos de\(A\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Another Non-Function

Dejar\(A = B = \{1,2, 3\}\) y dejar\(g = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1),(3, 2)\}\text{.}\) Observamos que\(g\) actúa sobre todos\(A\text{.}\) Sin embargo, todavía no\(g\) es una función ya\((2, 3) \in g\)\((2, 1) \in g\) y se viola la condición en que cada dominio esté relacionado con exactamente un elemento del codominio.

Ejercicios

Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

Dejar\(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y\(B = \{a, b, c, d\}\text{.}\) Determinar cuáles de las siguientes son funciones. Explique.

1. \(f \subseteq A \times B\text{,}\)donde\(f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)\}\text{.}\)
2. \(g\subseteq A\times B\text{,}\)donde\(g = \{(1, a), (2, a), (3,b), (4,d)\}\text{.}\)
3. \(h \subseteq A \times B\text{,}\)donde\(h = \{(1, a), (2, b), (3, c)\}\text{.}\)
4. \(k \subseteq A\times B\text{,}\)donde\(k = \{(1, a), (2, b), (2, c), (3, a), (4, a)\}\text{.}\)
5. \(L\subseteq A\times A\text{,}\)donde\(L = \{(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)\}\text{.}\)

Contestar

1. Sí
2. Sí
3. No
4. No
5. Sí

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentre los rangos de las siguientes funciones en\(\mathbb{Z}\text{:}\)

1. \(g = \{(x, 4x +1)|x \in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
2. \(h(x) = \textrm{the least integer that is greater than or equal to } \sqrt{|x|}\text{.}\)
3. \(P(x) = x + 10\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra los rangos de cada una de las relaciones que son funciones en Ejercicio\(\PageIndex{1}\).

Contestar

1. Rango de\(f=f(A)=\{a,b,c,d\}=B\)
2. Rango de\(g=g(A)=\{a,b,d\}\)
3. \(h\)no es una función.
4. \(k\)no es una función.
5. Rango de\(L=L(A)=\{1\}\)

Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

Dejar\(A\) ser un conjunto y dejar\(S\) ser cualquier subconjunto de\(A\text{.}\) Let\(\chi_S: A\to \{0,1\}\) ser definido por

\ begin {ecuation*}\ Chi_s (x) =\ left\ {\ begin {array} {cc} 1 &\ textrm {if} x\ in S\\ 0 &\ textrm {if} x\ notin S\\ end {array}\ right. \ end {ecuación*}

La función\(\chi_S\) se llama la función característica de\(S\text{.}\)

1. Si\(A = \{a, b, c\}\) y\(S = \{a, b\}\text{,}\) enumere los elementos de\(\chi_S\).
2. Si\(A = \{a, b, c, d, e\}\) y\(S = \{a, c, e\}\text{,}\) enumerar los elementos de\(\chi_S\text{.}\)
3. Si\(A = \{a, b, c\}\text{,}\) lo que son\(\chi_{\emptyset}\) y\(\chi_A\text{?}\)

Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos finitos, cuántas funciones diferentes hay desde\(A\)\(B\text{?}\)

Contestar

Para cada uno de los\(\lvert A \rvert \) elementos de\(A\text{,}\) hay\(\lvert B \rvert\) posibles imágenes, por lo que hay\(\lvert B \rvert\cdot \lvert B \rvert\cdot \ldots \cdot \lvert B \rvert=\left\lvert B \rvert^{\lvert A \rvert}\right.\) funciones de\(A\) a\(B\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(U\) ser un conjunto con subconjuntos\(A\) y\(B\text{.}\)

1. Demostrar que\(g:U\to \{0,1\}\) se define por\(g(a)=\min \left(C_A(a),C_B(a)\right)\) es la función característica de\(A\cap B\text{.}\)
2. Qué función característica se\(h:U\to \{0,1\}\) define por\(h(a)=\max \left(C_A(a),C_B(a)\right)\text{?}\)
3. ¿Cómo son las funciones características de\(A\) y\(A^c\) relacionadas?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\(f\) ser una función con dominio\(A\) y codominio\(B\text{.}\) Considerar la relación\(K \subseteq A \times A\) definida en el dominio de\(f\) por\((x, y) \in K\) si y solo si\(f(x) = f(y)\text{.}\) La relación\(K\) se llama el núcleo de\(f\text{.}\)

1. Demostrar que\(K\) es una relación de equivalencia.
2. Para el caso específico de\(A = \mathbb{Z}\text{,}\) donde\(\mathbb{Z}\) está el conjunto de enteros,\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) déjese definir por\(f(x) = x^2\text{.}\) Describe las clases de equivalencia del kernel para esta función específica.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Let\(f:\mathbb{P}\to \mathbb{P}\text{,}\) donde\(f(a)\) es el mayor poder de dos que divide uniformemente por\(a\text{;}\) ejemplo,\(f(12)=4,f(9)=1\), y\(f(8)=8\text{.}\) Describa las clases de equivalencia del kernel de\(f\text{.}\)