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LibreTexts Español

7.2: Propiedades de las funciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Propiedades

Considere las siguientes funciones:

DejarA={1,2,3,4}B={a,b,c,d}, y definirf:AB por

\ begin {ecuación*} f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c\ textrm {y} f (4) = d\ end {ecuación*}

DejarA={1,2,3,4}B={a,b,c,d}, y definirg:AB por

\ comenzar {ecuación*} g (1) = a, g (2) = b, g (3) = a\ textrm {y} g (4) = b.\ final {ecuación*}

La primera función, nosf, da más información sobre el conjuntoB que la segunda función,g. ya queA claramente tiene cuatro elementos, nosf dice queB contiene al menos cuatro elementos ya que cada elemento deA está mapeado sobre un elemento diferente de B.Las propiedades quef tiene, yg no tiene, son las propiedades más básicas que buscamos en una función. Las siguientes definiciones resumen el vocabulario básico para las propiedades de las funciones.

Definición7.2.1: Injective Function, Injection

Una funciónf:AB es inyectable si

\ comenzar {ecuación*}\ para todos a, b\ en A, a\ neq b\ fila derecha f (a)\ neq f (b)\ fin {ecuación*}

Una función inyectable se llama inyección, o función uno a uno.

Observe que la condición para una función de inyección es lógicamente equivalente a

\ begin {ecuación*} f (a) = f (b)\ Fila derecha a = b\ texto {.} \ end {ecuación*}

para todosa,bA. Esta suele ser una condición más conveniente de probar que lo que se da en la definición.

Definición7.2.2: Surjective Function, Surjection

Una funciónf:AB es suryectiva si su rango,f(A), es igual a su codominio,B. Una función suryectiva se llama una suryección, o una función onto.

Observe que la condición para una función suryectiva es equivalente a

\ begin {ecuación*}\ textrm {Para todos} b\ en B\ textrm {, existe} a\ en A\ textrm {tal que} f (a) =b\ text {.} \ end {ecuación*}

Definición7.2.3: Bijective Function, Bijection

Una funciónf:AB es biyectiva si es tanto inyectiva como suryectiva. Las funciones biyectivas también se llaman uno-a-uno, en funciones.

La función con laf que abrimos esta sección es biyectiva. La función nog es ni inyectable ni suryectiva.

Ejemplo7.2.1: Injective but Not Surjective Function

DejarA={1,2,3}B={a,b,c,d}, y definirf:AB porf(1)=b,f(2)=c, yf(3)=a. Entoncesf es inyectable pero no suryectiva.

Ejemplo7.2.2: Characteristic Functions

La función característica,χS, en el Ejercicio 7.1.4 es suryectiva siS es un subconjunto propio deA, pero nunca inyectable si|A|>2.

Contando

Ejemplo7.2.3: Seating Students

ASea el conjunto de alumnos que están sentados en un aula, queB sea el conjunto de asientos en el aula, y ques sea la función que mapee a cada alumno en la silla en la que está sentado. ¿Cuándo ess uno a uno? ¿Cuándo está en? En circunstancias normales, siempres sería inyectable ya que no habría dos estudiantes diferentes en la misma silla. sPara que sea suryectiva, necesitamos que se utilicen todas las butacas, asís es una sobrejección si el aula está llena al aforo.

Las funciones también se pueden utilizar para contar los elementos en conjuntos finitos grandes o en conjuntos infinitos. Digamos que quisimos contar a los ocupantes en un auditorio que contiene mil 500 asientos. Si cada asiento está ocupado, la respuesta es obvia, mil 500 personas. Lo que hemos hecho es establecer una correspondencia uno a uno, o bijección, de asientos a personas. Formalizamos en una definición.

Definición 7.2.4: Cardinality

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos. Si un conjunto tiene la misma cardinalidad que el conjunto{1,2,3,,n}, entonces decimos que su cardinalidad esn.

La funciónf que abrió esta sección sirve para mostrar que los dos conjuntosA={1,2,3,4} yB={a,b,c,d} tienen la misma cardinalidad. Observe al aplicar la definición de cardinalidad, en realidad no parecemos contar ninguno de los dos conjuntos, solo coincidimos con los elementos. Sin embargo, hacer coincidir las letrasB con los números 1, 2, 3 y 4 es precisamente como contamos las letras.

Definición7.2.5: Countable Set

Si un conjunto es finito o tiene la misma cardinalidad que el conjunto de enteros positivos, se denomina conjunto contable.

Ejemplo7.2.4: Counting the Alphabet

El alfabeto{A,B,C,...,Z} tiene cardinalidad 26 a través de la siguiente biyección en el conjunto{1,2,3,,26}.

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {ccccc} A & B & C &\ cdots &\ cdots & Z\\ downarrow &\ downarrow &\ downarrow &\ cdots &\ downarrow\\ 1 & 2 & 3 &\ cdots & 26\\ end {array}\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo7.2.5: As Many Evens as All Positive Integers

Recordemos que2P={bPb=2k for some kP}. Paradójicamente,2P tiene la misma cardinalidad que el conjuntoP de enteros positivos. Para probar esto, debemos encontrar una bijección deP a2P. Tal función no es única, pero esta es la más simple:f:P2P dondef(m)=2m. Dos afirmaciones deben probarse para justificar nuestra afirmación quef es una bijección:

  • fes uno a uno.
    Prueba: Dejemosa,bP y supongamos quef(a)=f(b). debemos probar quea=b.
    \ comenzar {ecuación*} f (a) = f (b)\ Longrightarrow 2a = 2b\ Longrightarrow a = b.\ end {ecuación*}
  • festá en.
    Prueba: Vamosb2P. Queremos mostrar que existe un elementoaP tal quef(a)=b. sib2P,b=2k para algunoskP por la definición de2P. Así tenemosf(k)=2k=b. De ahí que cada elemento de 2P es la imagen de algún elemento deP.

Otra forma de ver cualquier función conP como su dominio es crear una lista del formulariof(1),f(2),f(3),. En el ejemplo anterior, la lista es2,4,6,. Esta lista infinita claramente no tiene entradas duplicadas y cada entero par positivo aparece en la lista eventualmente.

Una funciónf:PA es una bijección si la lista infinita nof(1),f(2),f(3), contiene duplicados, y cada elemento deA aparece en la lista. En este caso, decimos que elA es contablemente infinito, o simplemente contable.

Los lectores que han estudiado análisis reales deben recordar que el conjunto de números racionales es un conjunto contable, mientras que el conjunto de números reales no es un conjunto contable. Consulte los ejercicios al final de esta sección para ver otro ejemplo de tal conjunto.

Cerramos esta sección con un teorema llamado Principio de Pigeonhole, que tiene numerosas aplicaciones a pesar de que es una afirmación obvia, de sentido común. Nunca subestimes la importancia de las ideas simples. El Principio Paloma establece que si hay más palomas que palomas, entonces dos o más palomas deben compartir el mismo palomillo. Sigue una declaración matemática más rigurosa del principio.

Teorema7.2.1: The Pigeonhole Principle

Dejarf ser una función de un conjunto finitoX a un conjunto finitoY. Sin1 y|X|>n|Y|, entonces existe un elemento deY eso es la imagen bajof de al menosn+1 elementos de X.

Prueba

Supongamos que no existe tal elemento. Para cadayY, letAy={xXf(x)=y}. Entonces debe ser que|Ay|n. Además, el conjunto de no vacíosAy forman una partición deX. Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}\ lvert X\ rvert =\ suma_ {y\ in Y} {\ lvert a_Y\ rvert}\ leq n\ lvert Y\ rvert\ rvert\ end {ecuación*}

lo cual es una contradicción.

Ejemplo7.2.6: A Duplicate Name is Assured

Supongamos que una habitación contiene cuatro estudiantes con los nombres de pila John, James y Mary. Demostrar que dos alumnos tienen el mismo nombre de pila. Podemos visualizar un mapeo desde el conjunto de alumnos hasta el conjunto de nombres; cada alumno tiene un nombre. El principio del casillero se aplica conn=1, y podemos concluir que al menos dos de los alumnos tienen el mismo nombre.

Ejercicios

Ejercicio7.2.1

Determinar cuáles de las funciones en el Ejercicio 7.1.1 de la Sección 7.1 son uno a uno y cuáles están en.

Responder

La única función uno a uno y la única función on esf.

Ejercicio7.2.2

  1. Determine todas las biyecciones desde{1,2,3}{a,b,c}.
  2. Determine todas las biyecciones desde{1,2,3}{a,b,c,d}.

Ejercicio7.2.3

¿Cuáles de los siguientes son uno a uno, a, o ambos?

  1. f1:RRdefinido porf1(x)=x3x.
  2. f2:ZZdefinido porf2(x)=x+2.
  3. f3:N×NNdefinido porf3(j,k)=2j3k.
  4. f4:PPdefinido porf4(n)=n/2, dondex es el techox, del entero más pequeño mayor que o igual ax.
  5. f5:NNdefinido porf5(n)=n2+n.
  6. f6:NN×Ndefinido porf6(n)=(2n,2n+1).
Responder
  1. f1está en pero no uno a uno:f1(0)=f1(1).
  2. f2es uno a uno y en.
  3. f3es uno a uno pero no a.
  4. f4está sobre pero no uno a uno.
  5. f5es uno a uno pero no a.
  6. f6es uno a uno pero no a.

Ejercicio7.2.4

¿Cuáles de las siguientes son inyecciones, sobreyecciones o biyecciones enR, el conjunto de números reales?

  1. f(x)=2x.
  2. g(x)=x21.
  3. h(x)={xx<0x2x0
  4. q(x)=2x
  5. r(x)=x3
  6. s(x)=x3x

Ejercicio7.2.5

Supongamos quem pares de calcetines están mezclados en el cajón de tus calcetines. Usa el Principio de Pigeonhole para explicar por qué, si eligesm+1 calcetines al azar, al menos dos formarán un par a juego.

Responder

DejarX={socks selected}Y={pairs of socks} y definirf:XY dónde estáf(x)= el par de calcetinesx al que pertenece. Por el principio Pigeonhole, existen dos calcetines que fueron seleccionados del mismo par.

Ejercicio7.2.6

En sus propias palabras explica la afirmación “Los conjuntos de enteros e incluso enteros tienen la misma cardinalidad”.

Ejercicio7.2.7

LetA= {1,2,3,4,5}. Find funciones, si existen que tienen las propiedades especificadas a continuación.

  1. Una función que es uno a uno y sobre.
  2. Una función que no es ni uno a uno ni on.
  3. Una función que es uno a uno pero no sobre.
  4. Una función que está sobre pero no uno a uno.
Responder
  1. f(n)=n,por ejemplo
  2. f(n)=1,por ejemplo
  3. Ninguno existe.
  4. Ninguno existe.

Ejercicio7.2.8

  1. Definir funciones, si existen, sobre los enteros positivos,P, con las mismas propiedades que en Ejercicio7.2.7 (si es posible).
  2. DejarA yB ser conjuntos finitos donde ¿|A|=|B|.Es posible definir una funciónf:AB que sea uno a uno pero no sobre? ¿Es posible encontrar una funcióng:AB que esté sobre pero no uno a uno?

Ejercicio7.2.9

  1. Demostrar que el conjunto de números naturales es contable.
  2. Demostrar que el conjunto de enteros es contable.
  3. Demostrar que el conjunto de números racionales es contable.
Responder
  1. Usos:NP definido pors(x)=x+1.
  2. Utilice la funciónf:NZ definida porf(x0=x/2 ifx es par yf(x)=(x+1)/2 ifx es impar.
  3. La prueba se debe a Georg Cantor (1845-1918), e implica enumerar los racionales a través de un procedimiento definido para que no se omita ninguno y se eviten duplicaciones. En la primera fila listan todos los racionales no negativos con denominador 1, en la segunda todos los racionales no negativos con denominador 2, etc. En este listado, por supuesto, hay duplicaciones, por ejemplo,0/1=0/2=0,1/1=3/3=1,6/4=9/6=3/2, etc. Para obtener una lista sin duplicaciones siga las flechas de la Figura 7.2.1, enumerando solo los números con un círculo.
    Obtenemos:0,1,1/2,2,3,1/3,1/4,2/3,3/2,4/1, Cada racional no negativo aparece en esta lista exactamente una vez. Ahora debemos insertar en esta lista los racionales negativos, y seguir el mismo esquema para obtener:
    \ begin {equation*} 0,1, -1,1/2, -1/2,2, -2,3, -3,1/3, -1/3,\ ldots\ end {equation*} los
    cuales se pueden emparejar con los elementos deN.

clipboard_ef24965abd4b36efa668a99d42285c7d8.png

Figura7.2.1: Enumeración de los números racionales.

Ejercicio7.2.10

  1. Demostrar que el conjunto de cadenas finitas de 0 y 1 es contable.
  2. Demostrar que el conjunto de enteros impares es contable.
  3. Demostrar que el conjuntoN×N es contable.

Ejercicio7.2.11

Usa el Principio de Agujero Paloma para probar que una inyección no puede existir entre un conjunto finitoA y un conjunto finitoB si la cardinalidad deA es mayor que la cardinalidad deB.

Responder

Letf be any function fromA intoB. By the Pigeonhole principle withn=1, there exist a element ofB that is the image of at least two elements ofA. Therefore, nof es una inyección.

Ejercicio7.2.12

Las propiedades importantes de las relaciones generalmente no son de interés para las funciones. La mayoría de las funciones no son reflexivas, simétricas, antisimétricas o transitivas. ¿Se pueden dar ejemplos de funciones que sí tienen estas propiedades?

Ejercicio7.2.13

Demostrar que el conjunto de todas las secuencias infinitas de 0 y 1 no es un conjunto contable.

Responder

La prueba es indirecta y sigue una técnica llamada proceso diagonal Cantor. Supongamos al contrario que el conjunto es contable, entonces los elementos pueden ser listados:n1,n2,n3, donde cada unoni es una secuencia infinita de 0s y 1s. Considere la matriz:

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} n_1=n_ {11} n_ {12} n_ {13}\ cdots\\ n_2=n_ {21} n_ {22} n_ {23}\ cdots\\ n_3=n_ {31} n_ {32} n_ {33}\ cdots\\ cuádruple\ vdots\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Suponemos que esta matriz contiene todas las secuencias infinitas de 0s y 1s. Considere la secuencias definida porsi={0 if nii=11 if nii=0

Observe ques difiere de cada unoni en la posicióni th y así no puede estar en la lista. Esto es una contradicción, que completa nuestra prueba.

Ejercicio7.2.14

Demostrar que el conjunto de todas las funciones en los enteros es un conjunto incontable.

Ejercicio7.2.15

Dados cinco puntos en la plaza unitaria,{(x,y)0x,y1}, demostrar que hay dos de los puntos a una distancia de no más que uno22 del otro.


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