17.3.1: Definición

Asociado a cada matriz cuadrada hay un número llamado su determinante. La información más importante que nos proporciona es si la matriz es invertible. Una matriz tiene una inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero. Si\(A\) es una matriz cuadrada, entonces el determinante de\(A\) se denota comúnmente cualquiera\(\det(A)\) o\(\lvert A \rvert\text{.}\) Estrictamente hablando, solo necesitamos definir el determinante de una\(1 \times 1\) matriz aquí y luego definir los de orden superior recursivamente, pero por conveniencia también recordamos la definición del determinante de una\(2 \times 2\) matriz.

Definición\(\PageIndex{1}\): Determinant of \(1\times 1\) and a \(2\times 2\) Matrices

• Si\(A\) es una\(1 \times 1\) matriz, entonces\(\lvert A \rvert = A_{1,1}\)
• Si\(A\) es una\(2 \times 2\) matriz, entonces\(\lvert A \rvert = A_{1,1} A_{2,2} - A_{1,2} A_{2,1}\)

Ahora se procede a definir el determinante de una\(n \times n\) matriz donde\(n > 2\text{.}\) Esta definición requiere de dos definiciones preliminares las de menores y cofactores.

Definición \(\PageIndex{2}\): Matrix Minor

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz,\(n \geq 2\text{.}\) El determinante de la\((n-1) \times (n-1)\) matriz formada al eliminar la\(i^{th}\) fila y\(j^{th}\) columna de\(A\) es la menor denotada por\(M(A)_{i,j}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \) entonces\(A\) tiene nueve menores, uno de los cuales es

\ begin {ecuación*} M (A) _ {1,1} =\ begin {vmatrix} 3 & 4\\ 1 & 3\ end {vmatrix} = 3\ cdot 3 - 4\ cdot 1 =5\ end {ecuación*}

Para nuestros fines en computación solo\(\lvert A \rvert\text{,}\) necesitamos menores correspondientes a una fila o columna cualquiera. Completando los menores en la primera fila tenemos\(M(A)_{1,2} = -13 \) y\(M(A)_{1,3} = -11 \)

Definición \(\PageIndex{3}\): Cofactor

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz,\(n \geq 2\text{.}\) La\(i^{th}\) fila,\(j^{th}\) columna cofactor de\(A\text{,}\) denotado\(C(A)_{i,j}\text{,}\) se define por

\ begin {ecuación*} C (A) _ {i, j} = (-1) ^ {i+j} M (A) _ {i, j}\ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Usando los valores de menores calculados en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), tenemos\(C(A)_{1,1} = (-1)^2 M(A)_{1,1} = 5\text{,}\)\(C(A)_{1,2} = (-1)^3 M(A)_{1,2} = 13\text{,}\) y\(C(A)_{1,3} = (-1)^4 M(A)_{1,3} = -11\text{.}\)

Finalmente, definiremos el determinante de una matriz cuadrada. Nuestra definición es práctica ya que puedes aplicarla fácilmente a cualquier matriz. No es el más general, ni tampoco es el mejor definitón a los efectos de probar propiedades de determinantes. La definición más general está más allá de nuestro alcance actual, pero se puede afirmar fácilmente con antecedentes en grupos de permutación.

Definición \(\PageIndex{4}\): Determinant of a Square Matrix

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz,\(n \geq 2\text{.}\) El determinante de\(A\) es igual a

\ comenzar {ecuación*}\ suma_ {j = 1} ^ {n} A_ {1, j}\ cdot C (A) _ {1, j}\ final {ecuación*}

Nuestra definición de determinante implica lo que se llama expansión a lo largo de la primera fila de la matriz A. Ciertamente no es obvio, pero es cierto, que el determinante de una matriz se puede encontrar expandiendo a lo largo de cualquier fila o cualquier columna.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Hemos calculado los cofactores para la fila 1 de\(A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \) arriba y así el determinante está a solo unas pocas operaciones de distancia.

\ begin {equation*}\ begin {split}\ lvert A\ rvert &= A_ {1,1}\ cdot C (A) _ {1,1} +A_ {1,2}\ cdot C (A) _ {1,2} +A_ {1,3}\ cdot C (A) _ {1,3}\\ &= 3\ cdot 5 + 4\ cdot 13 + 1\ cdot (-11)\\ &= 56\ end {split}\ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Asociado a cualquier matriz cuadrada\(A\),, es un polinomio característico el cual se define como el\(|A−λI|\). Las raíces de este polinomio son los valores propios de la matriz. Aquí, calculamos el polinomio característico de\(A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&1\\1&3&4\\4&1&3\end{array}\right)\).

Para calcular el determinante nos expandimos a lo largo de la primera fila.

\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
\ det {(A -\ lambda I)} &=\ begin {vmatrix}
3 -\ lambda & 4 & 1\\
1 & 3 -\ lambda & 4\\
4 & 1 & 3 -\ lambda
\ end {vmatrix}\\
&= (3-\ lambda)\ cdot \ begin {vmatrix}
3 -\ lambda & 4\\
1 & 3 -\ lambda
\ end {vmatrix}
+ 4\ cdot (-1)\ cdot\ begin {vmatrix}
1 & 4\\
4 & 3 -\ lambda
\ end {vmatrix}
+ 1\ cdot\ begin {vmatrix}
1 & 3 -\ lambda\\
4 & 1
\ end {vmatrix}\\
& =( 3-\ lambda) ((3-\ lambda) ^2-4) - 4 ((3-\ lambda) -16) + (1-4 (3-\ lambda))\\
&=-\ lambda ^3+9\ lambda ^2-15\ lambda +56
\ end {split}
\ end {ecuación* }