17.3.2: Computación

Nuestra definición de determinante se puede aplicar para estimar el peor de los casos para el momento de evaluar un\(n \times n\) determinante. Dejar\(M(n)\) ser el número de multiplicaciones para evaluar un\(n \times n\) determinante. Entonces tenemos\(M(2)=2\text{.}\) Para determinar el valor de\(M(3)\) observamos que esto requiere el cómputo de tres menores, cada uno una matriz de dos por dos, y luego una multiplicación de cada uno de ellos por las entradas en la fila 1. Por lo tanto,\(M(3)= 3 M(2) + 3 = 9\text{.}\) Usando la misma lógica en general, tenemos\(M(n)= n M(n-1) + n\text{.}\) La fórmula se puede derivar\(M(n) =n! \sum _{k=1}^n \frac{1}{k!}\text{.}\) para ser Para grandes\(n\) esto es aproximadamente\(e\cdot n!\text{.}\) Afortunadamente, hay formas de reducir el número de multiplicaciones usando propiedades de determinantes, que enumeramos aquí sin pruebas.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Properties of Determinants

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n \times n\) matrices, donde\(n \geq 2\text{.}\)

1. \(\lvert A \rvert\)se puede encontrar expandiendo a lo largo de cualquier fila o columna.
2. Si se\(A\) intercambian dos filas (o columnas) de,\(\lvert A \rvert\) cambia signo.
3. El valor de un determinante no cambia si un múltiplo de una fila (o columna) de\(A\) se agrega a otra fila (o columna) de\(A\).
4. Si una fila (o columna) de una matriz\(A\) se multiplica por una constante\(c\text{,}\), entonces el valor de\(\lvert A \rvert\) se multiplica por\(c\text{.}\)
5. \(\lvert A B \rvert = \lvert A \rvert \cdot \lvert B \rvert\text{.}\)
6. \(\lvert I \rvert = 1\)donde\(I\) está la matriz\(n \times n\) de identidad.

En base a estas propiedades, aquí hay algunos corolarios.

Corolario\(\PageIndex{1}\): Further Properties

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n \times n\) matrices, donde\(n \geq 2\text{.}\)

1. Si una fila (o columna) de\(A\) consiste completamente en ceros, entonces\(\lvert A \rvert = 0\text{.}\)
2. Si una matriz\(A\) tiene dos filas iguales (o columnas) entonces\(\lvert A \rvert = 0\text{.}\)
3. Si alguna fila (o columna) de\(A\) es un múltiplo escalar de cualquier otra fila (o columna) de\(A\text{,}\) entonces\(\lvert A \rvert = 0\text{.}\)
4. \(\lvert A^{-1} \rvert =\frac{1}{\lvert A \rvert}\), si\(A^{-1}\) existe.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Computation of a Determinant by Row Reduction

Aplicaremos algunas de estas propiedades, sobre todo la primera y tercera del Teorema\(\PageIndex{1}\), para calcular un determinante de cuatro por cuatro sin hacer tantas multiplicaciones como se esperaba. Usaremos SageMath para hacer los cálculos por nosotros. En SageMath, como en Python, la numeración comienza en cero, por lo que describiremos el proceso usando ese sistema de numeración. Let\(A=\left(\begin{array}{cccc}1&3&4&7\\1&3&4&4\\6&6&7&8\\3&3&7&5\end{array}\right)\)

Nuestra estrategia será crear una columna que sea mayormente cero para que podamos expandirnos a lo largo de esa columna y solo necesitamos calcular un cofactor. Esa será la columna 0. Para ello hacemos las siguientes operaciones de fila. Restamos la fila 0 de la fila 1, reemplazando la fila 1 con ese resultado. Después restamos seis filas de tiempo 0 de la fila 2, produciendo una nueva fila 2. Finalmente, se resta tres veces la fila 0 de la fila 3 para producir una nueva fila 3. El código de SageMath a continuación logra esto y produce una nueva matriz\(B\),, que tiene el mismo determinante.

A=matrix([[1,3,4,7],[2,3,4,4],[5,6,7,4],[3,3,7,5]])
B=matrix([A[0],A[1]-2*A[0],A[2]-5*A[0],A[3]-3*A[0]]);B

Al expandir esta matriz a lo largo de la columna cero, solo necesitamos calcular un solo cofactor de tres por tres. Vamos a ir un paso más allá y hacer operaciones de fila para obtener una matriz con ceros en las filas 2 y 3 de la columna 1. El código de SageMath a continuación nos dice lo que estamos haciendo.

C=matrix([B[0],B[1],B[2]-3*B[1],B[3]-2*B[1]]);C

Estamos en un punto en el que podemos hacer el cálculo final muy fácilmente.

\[|A|=|C|=1⋅(−3⋅(−1⋅4−3⋅(−1)))=3\nonumber\]

SageMath tiene una función determinante, det, que podemos usar para verificar este cálculo:

A=matrix([[1,3,4,7],[2,3,4,4],[5,6,7,4],[3,3,7,5]])
det(A)