2.1: Equivalencia
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declaraciones\(A,B\) tales que\(A \leftrightarrow B\) es una tautología
Definición:\(A \Leftrightarrow B\)
declaraciones\(A\) y\(B\) son equivalentes
Test\(\PageIndex{1}\): Equivalence of Logical Statements
Las declaraciones\(A\) y\(B\) son lógicamente equivalentes si\(A\) y\(B\) siempre tienen el mismo valor de verdad de salida siempre que los mismos valores de verdad de entrada se sustituyan por las variables de subdeclaración en cada una. Es decir,\(A \Leftrightarrow B\) si\(A\) y\(B\) tienen la misma tabla de verdad.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Testing Logical Equivalence
Demostrar que las siguientes son declaraciones equivalentes.
| \(A\text{:}\) | Si es agradable afuera, montaré en mi bicicleta. |
| \(B\text{:}\) | No es agradable afuera, o voy a andar en bicicleta. |
Solución
Vamos a\(p\) representar el subenunciado “es agradable afuera”, y vamos a\(q\) representar el subenunciado “Voy a andar en bicicleta”. Entonces la equivalencia que queremos establecer es
\ comenzar {ecuación*} p\ fila derecha q\ Izquierda fila\ neg p\ lor q\ texto {.} \ end {ecuación*}
Podemos analizar las tablas de verdad de ambas declaraciones en una misma tabla.
| \(p\) | \(q\) | \(\neg p\) | \(\neg p \lor q\) | \(p \rightarrow q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) |
Vemos que las dos afirmaciones siempre tienen el mismo valor de verdad en todas las filas de la tabla de verdad, por lo que son equivalentes.
Nota\(\PageIndex{1}\)
Ejemplo Trabajado\(\PageIndex{1}\) muestra que el conectivo condicional básico “si... entonces...” se puede construir a partir de los conectivos básicos “no” y “o”.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Testing Logical Equivalence
Demostrar la equivalencia\(p \leftrightarrow q \Leftrightarrow \neg p \leftrightarrow \neg q\text{.}\)
Solución
Nuevamente construimos una tabla de verdad, y vemos que las columnas de “salida” para las dos declaraciones son idénticas.
| \(p\) | \(q\) | \(\neg p\) | \(\neg q\) | \(p \leftrightarrow q\) | \(\neg p \leftrightarrow \neg q\) |
| \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) |
| \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(F\) | \(F\) | \(F\) |
| \(F\) | \(F\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) | \(T\) |
Proposición\(\PageIndex{1}\)
La equivalencia lógica tiene las siguientes propiedades.
- Es reflexivo. Es decir, siempre\(A \Leftrightarrow A\) es cierto.
- Es simétrico. Es decir, siempre que\(A \Leftrightarrow B\text{,}\) entonces también\(B \Leftrightarrow A\text{.}\)
- Es transitivo. Es decir, cuando\(A \Leftrightarrow B\) y\(B \Leftrightarrow C\text{,}\) luego también\(A \Leftrightarrow C\text{.}\)
- Cada par de tautologías es un par equivalente de declaraciones lógicas.
- Cada par de contradicciones es un par equivalente de declaraciones lógicas.
Verifica tu comprensión. Pensando en términos de tablas de verdad, considere por qué cada uno de los enunciados de Proposición\(\PageIndex{1}\) sostiene.