7.2: Una aplicación a la lógica
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Teorema\(\PageIndex{1}\): Validity of the Extended Law of Syllogism
La Ley Ampliada del Silogismo es un argumento válido.
- Prueba
-
Por inducción matemática.
Estuche base\(n=3\).
Esta es sólo la Ley ordinaria del silogismo.
Paso de inducción.
Dejar\(k \ge 3\text{.}\) Considerar la\(n = k\) versión (abajo a la izquierda) y la\(n = k+1\) versión (abajo a la derecha) de la Ley Extendida del Silogismo.
\ begin {array} {cc}
p_ {1}\ fila derecha p_ {2} &\ qquad p_ {1}\ fila derecha p_ {2}\
p_ {2}\ fila derecha p_ {3} &\ qquad p_ {2}\ fila derecha p_ {3}\
\ vdots &\ vdots\\
\ qquad p_ {k-1}\ fila derecha p_ {k}\\ p_ {k-1}\ fila derecha p_ {k}
&\ qquad p_ {k}\ fila derecha p_ {k+1}\\ hline {p_ {p_ {1}\ fila derecha p_ {k}} &\ hline\ qquad p_ {1}\ fila derecha p_ {k+1}
\ end {array}Supongamos que la\(n = k\) versión del argumento es válida. Queremos demostrar que la\(n = k + 1\) versión también es válida. Entonces supongamos que las premisas de esa última versión son todas verdaderas. Tenemos que demostrar que la conclusión\(p_1 \rightarrow p_{k+1}\) debe ser entonces también cierta.
Pero cada premisa de la\(n = k\) versión es también una premisa de la\(n = k + 1\) versión, por lo que podemos decir que hemos asumido que cada premisa de la\(n = k\) versión es cierta. Pero también hemos asumido que esa versión es válida, por lo que podemos tomar su conclusión\(p_1 \rightarrow p_k\) para que sea cierta.
Considera el siguiente silogismo.
\ (\ comenzar {alineado}
&p_ {1}\ fila derecha p_ {k}\\
&p_ {k}\ fila derecha p_ {k+1}\\
&\ hline p_ {1}\ fila derecha p_ {k+1}
\ final {alineado}\)Dado que esto es válido (caso base\(n=2\)) y sus premisas son todas verdaderas, la conclusión es cierta.