7.4: Actividades

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A continuación se muestra una versión más detallada del Procedimiento 7.1.1. Siga los pasos de Procedimiento\(\PageIndex{1}\) para crear una prueba por inducción para cada una de las pruebas solicitadas en este conjunto de actividades.

Procedimiento\(\PageIndex{1}\): Mathematical induction, step-by-step

Escribir el comunicado con\(n\) reemplazado por\(k\text{.}\)
Escribir el comunicado con\(n\) reemplazado por\(k+1\text{.}\)
Identificar la conexión entre la\(k^{th}\) declaración y la\((k+1)^{th}\) declaración.
Complete el paso de inducción asumiendo que la\(n = k\) versión de la declaración es verdadera, y utilizando esta suposición para probar que la\(n = k + 1\) versión de la declaración es verdadera.
Completar la prueba de inducción probando el caso base.

Actividad\(\PageIndex{1}\)

Una cadena binaria es una “palabra” en la que cada “letra” solo puede ser\(0\) o\(1\text{.}\)

Demostrar que hay\(2^n\) diferentes cadenas binarias de longitud\(n\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que por cada entero positivo\(n\text{,}\) el binomio\(1-x^n\) puede ser factorizado como\((1-x)(1+x+x^2+\dotsb + x^{n-1})\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que el siguiente argumento es válido para todos los enteros positivos\(n\text{.}\)

\ begin {alineado}
\ izquierda (p_ {1}\ cuña q_ {1}\ derecha) &\ fila derecha r_ {1}\\
\ izquierda (p_ {2}\ cuña q_ {2}\ derecha) &\ fila derecha r_ {2}\\
&\ vdots\
\ izquierda (p_ {n}\ cuña q_ {n}\ derecha) y\ fila derecha r_ {n}\\
p_ {1}\ cuña p_ {2}\ cuña y\ cdots\ cuña p_ {n}\\ hline\ izquierda (q_ {1}\ fila derecha r_ {1}\ derecha) &\ cuña\ izquierda (q_ {2}\ fila derecha r_ {2}\ derecha)\ cuña\ cdots\ cuña\ izquierda (q_ {n}\ fila derecha r_ {n}\ derecha)
\ final {alineado}

Cuidado.
Recordemos que en este contexto, las palabras válido y verdadero no tienen el mismo significado.

Actividad\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que una tabla de verdad que involucra variables de\(n\) instrucción requiere\(2^n\) filas.

Actividad\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que un caballero puede ser movido de cualquier cuadrado a cualquier otro cuadrado en un tablero de\(n \times n\) ajedrez por alguna secuencia de movimientos permitidos, por cada\(n\ge 4\text{.}\)