9.7: Juegos de juegos
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Los sets pueden estar compuestos por cualquier tipo de objetos, ¡incluso otros conjuntos! (Pero ahora hay que tener cuidado con el uso de la frase “contenida en”.)
Considerar
\ begin {align*}\ mathscr {T} & =\ {3n\ vert n\ in\ mathbb {N}\}\ text {,} & X & =\ {A\ subconjunto\ mathbb {N}\ vert A\ cap\ mathscr {T} =\ varnothing\}\ texto {,} & Y & = X\ copa\ mathscr {T}\ texto {.} \ end {alinear*}
Elementos de\(\mathscr{T}\) son números. Elementos de\(X\) son subconjuntos de\(\mathbb{N}\) — es decir,\(X\) es un conjunto de subconjuntos de\(\mathbb{N}\text{,}\) pero no es en sí mismo un subconjunto de\(\mathbb{N}\text{.}\) Elementos de\(Y\) son\(X\) o de,\(\mathscr{T}\text{,}\) por lo que algunos elementos de\(Y\) son números, y algunos elementos de\(Y\) son conjuntos de números.
dado un conjunto\(A\text{,}\) el conjunto de potencia de\(A\) es el conjunto\(\{ B \subseteq A \}\) de todos los subconjuntos de\(A\)
el conjunto de potencia del conjunto\(A\)
Advertencia\(\PageIndex{1}\)
Los elementos de un conjunto de potencia son subconjuntos del conjunto en cuestión.
Para cada juego\(A\text{,}\)\(\mathscr{P}(A) \ne \emptyset\text{.}\)
- Prueba
-
Ambos\(\emptyset\) y\(A\) son subconjuntos de\(A\text{,}\) así que ambos son elementos de\(\mathscr{P}(A)\text{.}\) Incluso si todavía\(A = \emptyset\text{,}\) tenemos
\ begin {ecuación*}\ mathbb {P} {\ emptyset} =\ {\ emptyset\}\ ne\ emptyset\ text {.} \ end {ecuación*}
Para\(A = \{a,b,c\}\text{,}\) nosotros tenemos
\ begin {ecuación*}\ mathscr {P} (A) =\ izquierda\ {\;\ emptyset,\;\;\ {a\},\;\ {b\},\;\ {c\},\;\ {a, b\},\;\ {a, c\},\;\ {b, c\},\;\ {a, b, c\}\;\ derecha\}\ texto {.} \ end {equation*}
Tenga en cuenta el uso de llaves aquí. En particular, tenga en cuenta que no se\(\emptyset\) ha colocado en su propio conjunto de llaves rizadas porque ya es un conjunto en sí.
Porque\(X\) como en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), tenemos\(X \subseteq \mathscr{P}{\mathbb{N}}\text{.}\)
No somos completamente libres de definir conjuntos de la manera que queramos.
Let
\ begin {ecuación*} R =\ {\ text {cualquier conjunto} X\ vert X\ text {no es un elemento en sí mismo.}\}\ texto {.} \ end {ecuación*}
Primero tenga en cuenta que existen conjuntos que satisfacen la condición de pertenencia,\(R\text{;}\) por ejemplo, al conjunto vacío. Así que no\(R\) debería estar vacío. Si\(R\) es un conjunto, ¡entonces es un “candidato” a la membresía en sí mismo! Romper en casos.
Caso\(R \in R\).
Entonces\(R\notin R\text{,}\) lo que contradice la suposición del caso.
Caso\(R \notin R\).
Entonces\(R\in R\text{,}\) lo que contradice la suposición del caso.
Ya que todos los casos llevan a una contradicción,\(R\) ¡no puede ser un conjunto! Esto se llama Paradoja de Russell, y es una de las razones por las que nos basamos en la “teoría de conjuntos ingenua” en este curso.
Una de las formas de evitar la paradoja de Russell es requiriendo que cada objeto, incluidos los conjuntos, tenga un tipo, similar a como se puede declarar que las variables en un lenguaje informático tienen un tipo. En tal esquema, un conjunto nunca es solo un conjunto —siempre es un conjunto de cierto tipo de objeto. Entonces una operación como no\(\mathbb{N} \cup \mathscr{P}{\mathbb{N}}\) estaría permitida, como\(\mathbb{N}\) es un conjunto de números mientras que\(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) es un conjunto de conjuntos de números, y tenemos un desajuste de tipo. Y, lo que es más importante, hacer una pregunta como “Is\(R \in R\text{?}\)” se vuelve sin sentido, ya que a la izquierda del\({} \in {}\) símbolo\(R\) se requiere que haya algún tipo de objeto mientras que a la derecha\(R\) se requiere que sea un conjunto de ese tipo de objeto, y nuevamente tenemos un desajuste de tipo.