9.8: Actividades
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Para cada miembro de tu grupo, considera el conjunto de todos los cursos de matemáticas y ciencias de la computación que has cursado hasta ahora en la universidad. ¿Cuál es la intersección de estos conjuntos para su grupo?
¿Es posible tener dos juegos\(A\) y\(B\) con\(A \cup B = A \cap B\text{?}\)
Rellenar el espacio en blanco con un concepto de la lectura.
Romper a los alumnos de una clase en grupos es un ejemplo de\(\underline{\qquad}\).
- Escribir una definición en notación de condición de candidato para el conjunto de todos los puntos en la gráfica de la parábola\(f(x) = x^2\text{.}\)
- Escriba una definición en notación de parámetros de forma para el conjunto de todos los números que son uno menos que una potencia de dos.
Recordemos que\(M_n(\mathbb{R})\) es el conjunto de todas las\(n \times n\) matrices. Dejar\(V\) ser el subconjunto de\(n \times n\) matrices invertibles, y\(S\) el conjunto de\(n \times n\) matrices escalares. Escribir\(0\) para la matriz\(n \times n\) cero.
- Recordar.
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Matriz escalar significa un múltiplo escalar de la matriz de identidad.
Matriz singular significa no invertible.
Exprese cada una de las siguientes declaraciones usando los símbolos de la teoría de conjuntos:
\ begin {ecuación*}\ in,\;\;\;\ subseteq,\;\;\;\ copa,\;\;\;\;\ cap,\;\;\;\ varnothing,\;\;\;\ texto {etc.} \ end {ecuación*}
- \(0\)es una matriz escalar.
- \(0\)es escalar y singular.
- \(0\)es la única matriz escalar y singular.
- Cada matriz escalar además\(0\) es invertible.
- Cada matriz es invertible o singular.
Elige otro grupo en la clase y lista los elementos del producto cartesiano de tu grupo con ese otro grupo. Si ese grupo pasara a elegir también a tu grupo para esta tarea, ¿su respuesta sería la misma que la tuya?
Enumere los elementos del conjunto de poder de su grupo. Asegúrate de tener todos los\(\{\ \}\) pares que necesitas en todos los lugares correctos.
Para alfabeto\(\Sigma = \{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\}\text{,}\) describir los elementos de\(\Sigma ^{\ast}\) y\((\Sigma ^{\ast})^{\ast}\text{:}\)
Elementos de\(\Sigma ^{\ast}\) son.
Elementos de\((\Sigma ^{\ast})^{\ast}\) son.
¿Es\((\Sigma ^{\ast})^{\ast} = \Sigma ^{\ast}\) verdad la igualdad de conjuntos?
La igualdad de conjuntos
\ begin {ecuación*} A\ times (B\ setmenos C) = (A\ times B)\ setless (A\ times C)\ end {equation*}
es true en general.
Escribir una prueba formal de esta igualdad, utilizando la Prueba para Establecer Igualdad.
La igualdad de conjuntos\((A \times B) \cup (C \times D) = (A \cup C) \times (B \cup D)\) es falsa en general.
Anote definiciones, por ejemplo, conjuntos\(A,B,C,D\) que forman un contraejemplo.
¿Se puede llegar a algunas condiciones sobre\(A,B,C,D\) que hagan que esta igualdad sea cierta?
Escribir una prueba formal de la igualdad
\ begin {ecuación*}\ mathscr {P} (A\ cap B) =\ mathscr {P} (A)\ cap\ mathscr {P} (B)\ end {ecuación*}
usando la Prueba para Establecer Igualdad.
¡Ten en cuenta la Advertencia 9.7.1 mientras haces esto!
Explicar informalmente por qué la igualdad establecida no\(\mathscr{P}(A \cup B) = \mathscr{P}(A) \cup \mathscr{P}(B)\) es cierta en general.