12.1: Conjuntos finitos

Recordar.

Porque\(m\in\mathbb{N}\) hemos definido el conjunto de conteo

\ begin {ecuación*}\ mathbb {N} _ {<m} =\ {n\ in\ mathbb {N}\ vert n\ lt m\} =\ {0,\, 1,\,\ ldots,\, m-1\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Claramente,\(\mathbb{N}_{<m}\) contiene exactamente\(m\) elementos. De hecho, hemos definido el número\(m\) para que sea el conjunto\(\mathbb{N}_{<m}\text{.}\) (Ver Ejemplo 11.4.2.)

Como implica la terminología, utilizaremos estos conjuntos para contar los elementos de otros conjuntos. En particular, dado un conjunto\(A\text{,}\) si podemos hacer coincidir los elementos de\(A\) con los elementos de\(\mathbb{N}_{<m}\text{,}\) uno por uno, entonces también\(A\) debemos contener exactamente\(m\) elementos.

Definición: Conjunto finito

un conjunto\(A\) para el que existe una bijección\(\mathbb{N}_{<m} \to A\) para algunos\(m \in \mathbb{N}\text{,}\)\(m \gt 0\)

Hecho\(\PageIndex{1}\): Uniqueness of counting number

Para el conjunto finito\(A\) existe un número natural único\(m\) para el cual\(\mathbb{N}_{<m} \to A\) existe una biyección.

Comentario\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(A\) es finito. Si bien solo hay un número\(m\) para el que\(\mathbb{N}_{<m} \to A\) existe una bijección, puede haber muchas de esas bijecciones, y el número de biyecciones aumenta a medida que\(m\) aumenta.

Checkpoint\(\PageIndex{1}\)

Demostrar hecho\(\PageIndex{1}\).

Definición: Cardinalidad (de un conjunto finito\(A\))

\(\mathbb{N}_{<m} \to A\)existe el número natural único\(m\) para con una bijección

Definición:\(\vert A \vert\)

la cardinalidad del conjunto finito\(A\)

Definición:\(\text{card} A\)

notación alternativa para la cardinalidad del conjunto finito\(A\)

Definición:\(\#\{\dots\}\)

notación alternativa para la cardinalidad del conjunto definido por\(\{\dots\}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Porque\(\Sigma = \{a, b, \ldots, z\} \text{,}\) tenemos\(\vert \Sigma \vert = 26\text{.}\) a continuación dos bijecciones de ejemplo\(\varphi,\psi: \mathbb{N}_{<26} \rightarrow \Sigma\) que verifican este número de cardinalidad.

Bijecciones\(\varphi,\psi: \mathbb{N}_{<26} \rightarrow \Sigma\) definidas por una tabla de valores.

\(\sigma\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(\cdots\)	\(24\)	\(25\)
\(\varphi(\sigma)\)	\(\text{a}\)	\(\text{b}\)	\(\text{c}\)	\(\text{d}\)	\(\cdots\)	\(\text{y}\)	\(\text{z}\)
\(\psi(\sigma)\)	\(\text{a}\)	\(\text{z}\)	\(\text{b}\)	\(\text{y}\)	\(\cdots\)	\(\text{m}\)	\(\text{n}\)

Cardinalidad de un conjunto vacío.

¿Y el set vacío? Claramente deberíamos haber\(\vert \varnothing \vert = 0\text{.}\) Pero, ¿es esto congruente con nuestra definición de cardinalidad?

Definición: Función vacía

una función con dominio\(\varnothing\)

Si aceptamos la existencia de funciones vacías\(\varnothing \to X\) para cada conjunto\(X\text{,}\) entonces las propiedades de tales funciones que necesitamos para establecer\(\vert \varnothing \vert = 0\) serán vacuamente ciertas.

Proposición\(\PageIndex{1}\): Properties of empty functions.

1. Por cada conjunto\(X\text{,}\) una función vacía\(\varnothing \to X\) es inyectora.
2. Una función vacía\(\varnothing \to \varnothing\) es una biyección.

Prueba

Se le pidió verificar estas declaraciones en el Ejercicio 10.7.12.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

La cardinalidad del conjunto vacío es\(0\text{.}\)

Prueba.

Estamos obligados a demostrar un ejemplo de una bijección\(\mathbb{N}_{<0} \to \varnothing\text{.}\) Pero

\ begin {ecuation*}\ mathbb {N} _ {<0} =\ {n\ in\ mathbb {N}\ vert n\ lt 0\} =\ varnothing\ text {,}\ end {equation*}
así que la Declaración 2 de Proposición\(\PageIndex{1}\) dice que la función vacía\(\mathbb{N}_{<0} \to \varnothing\) es efectivamente una biyección.