12.6: Ejercicios
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Demostrar: Si\(B\) es finito y\(A \subseteq B\text{,}\) luego\(A\) es finito y\(\vert A \vert \le \vert B \vert\text{.}\)
Supongamos que\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) son subconjuntos finitos de un conjunto universal\(U\text{.}\)
- Demostrar: Si\(A\) y\(B\) son disjuntos, entonces\(\vert A \sqcup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert\text{.}\)
- Demostrar:\(\vert A \cup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert\text{.}\)
- Pista.
-
Ver Ejercicio 9.9.5, y utilizar la igualdad de la Tarea a.
- Determine una fórmula similar para\(\vert A \cup B \cup C \text{.}\)
- Pista.
-
Dibuja primero un diagrama de Venn.
Utilice la inducción para demostrar directamente que si\(\vert A \vert = n\) entonces\(\vert \mathscr{P}(A) \vert = 2^n\text{.}\) Use el Ejemplo Trabajado 12.2.1 como modelo para su prueba del paso de inducción.
Demostrar: Si\(\vert A \vert = \infty\) y\(A \subseteq B\text{,}\) entonces\(\vert B \vert = \infty\text{.}\)
Dato Demostrar 12.3.2.
Combine el Ejemplo 12.3.3 y el Ejemplo 12.3.10 para verificar que el intervalo de la unidad\((0,1)\) y\(\mathbb{R}\) tengan el mismo tamaño.
- Pista.
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Primero mapee el círculo\(\hat{S}\) perforado en algún intervalo abierto en el\(x\) eje “desenrollando”\(\hat{S}\text{.}\)
Utilice el Ejemplo 12.3.3 y la función\(f(x) = \tan x\) para demostrar que el intervalo\((-\pi/2,\pi/2)\) y\(\mathbb{R}\) tienen el mismo tamaño.
- Pista.
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La función no\(f(x) = \tan x\) es uno a uno, sino que se convierte en uno a uno si restringe su dominio a un intervalo apropiado
Demostrar que si\(A\) y\(B\) tienen el mismo tamaño, entonces hazlo\(\mathscr{P}(A)\) y\(\mathscr{P}(B)\text{.}\)
- Pista.
-
Ver Ejercicio 10.7.19.
Supongamos que\(A\) es un conjunto con\(\vert A \vert = n\text{.}\) Entonces podemos enumerar sus elementos como\(A = \{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}\text{.}\)
- Construir una bijección desde el conjunto de potencia de\(A\) hasta el conjunto de palabras en el alfabeto\(\Sigma = \{T,F\}\) de longitud\(n\text{.}\)
Tenga en cuenta que aquí se requieren dos tareas.
- Describir explícitamente una función\(f: \mathscr{P}(A) \rightarrow \Sigma^\ast_n\) describiendo la regla input-output: dar una descripción detallada de cómo, dado un subconjunto, se\(f(B)\) debe producir\(B \subseteq A\text{,}\) la palabra.
- Demuestra que tu función\(f\) es una biyección.
- Pista.
-
Al determinar la regla de entrada y salida para su función,\(f: \mathscr{P}(A) \rightarrow \Sigma^\ast_n\text{,}\) piense en cómo se podría construir un subconjunto arbitrario de\(A\text{,}\) y luego relacionar ese proceso con una secuencia de respuestas a preguntas\(n\) verdaderas/falsas.
- Utilice la Tarea a para determinar la cardinalidad de\(\mathscr{P}(A)\text{.}\) Explicar.
- Pista
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Ver Nota 1.3.1.
- Supongamos que\(k\) es algún entero fijo (pero desconocido), con\(0 \le k \le n\text{.}\) Let\(\mathscr{P}(A)_k\) representar el subconjunto de\(\mathscr{P}(A)\) que consiste en todos los subconjuntos de\(A\) que tienen exactamente\(k\) elementos. Describe cómo tu biyección de la Tarea a, podría ser utilizada para contar los elementos de\(\mathscr{P}(A)_k\text{.}\)
- Pista.
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Considera cómo restringir el dominio podría ayudar.