12.6: Ejercicios

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118307

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar: Si\(B\) es finito y\(A \subseteq B\text{,}\) luego\(A\) es finito y\(\vert A \vert \le \vert B \vert\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) son subconjuntos finitos de un conjunto universal\(U\text{.}\)

Demostrar: Si\(A\) y\(B\) son disjuntos, entonces\(\vert A \sqcup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert\text{.}\)
Demostrar:\(\vert A \cup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert\text{.}\)

Pista.: Ver Ejercicio 9.9.5, y utilizar la igualdad de la Tarea a.

Determine una fórmula similar para\(\vert A \cup B \cup C \text{.}\)

Pista.: Dibuja primero un diagrama de Venn.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice la inducción para demostrar directamente que si\(\vert A \vert = n\) entonces\(\vert \mathscr{P}(A) \vert = 2^n\text{.}\) Use el Ejemplo Trabajado 12.2.1 como modelo para su prueba del paso de inducción.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar: Si\(\vert A \vert = \infty\) y\(A \subseteq B\text{,}\) entonces\(\vert B \vert = \infty\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dato Demostrar 12.3.2.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Combine el Ejemplo 12.3.3 y el Ejemplo 12.3.10 para verificar que el intervalo de la unidad\((0,1)\) y\(\mathbb{R}\) tengan el mismo tamaño.

Pista.: Primero mapee el círculo\(\hat{S}\) perforado en algún intervalo abierto en el\(x\) eje “desenrollando”\(\hat{S}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Utilice el Ejemplo 12.3.3 y la función\(f(x) = \tan x\) para demostrar que el intervalo\((-\pi/2,\pi/2)\) y\(\mathbb{R}\) tienen el mismo tamaño.

Pista.: La función no\(f(x) = \tan x\) es uno a uno, sino que se convierte en uno a uno si restringe su dominio a un intervalo apropiado

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que si\(A\) y\(B\) tienen el mismo tamaño, entonces hazlo\(\mathscr{P}(A)\) y\(\mathscr{P}(B)\text{.}\)

Pista.: Ver Ejercicio 10.7.19.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos que\(A\) es un conjunto con\(\vert A \vert = n\text{.}\) Entonces podemos enumerar sus elementos como\(A = \{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}\text{.}\)

Construir una bijección desde el conjunto de potencia de\(A\) hasta el conjunto de palabras en el alfabeto\(\Sigma = \{T,F\}\) de longitud\(n\text{.}\)

Tenga en cuenta que aquí se requieren dos tareas.

Describir explícitamente una función\(f: \mathscr{P}(A) \rightarrow \Sigma^\ast_n\) describiendo la regla input-output: dar una descripción detallada de cómo, dado un subconjunto, se\(f(B)\) debe producir\(B \subseteq A\text{,}\) la palabra.
Demuestra que tu función\(f\) es una biyección.

Pista.: Al determinar la regla de entrada y salida para su función,\(f: \mathscr{P}(A) \rightarrow \Sigma^\ast_n\text{,}\) piense en cómo se podría construir un subconjunto arbitrario de\(A\text{,}\) y luego relacionar ese proceso con una secuencia de respuestas a preguntas\(n\) verdaderas/falsas.

Utilice la Tarea a para determinar la cardinalidad de\(\mathscr{P}(A)\text{.}\) Explicar.

Pista: Ver Nota 1.3.1.

Supongamos que\(k\) es algún entero fijo (pero desconocido), con\(0 \le k \le n\text{.}\) Let\(\mathscr{P}(A)_k\) representar el subconjunto de\(\mathscr{P}(A)\) que consiste en todos los subconjuntos de\(A\) que tienen exactamente\(k\) elementos. Describe cómo tu biyección de la Tarea a, podría ser utilizada para contar los elementos de\(\mathscr{P}(A)_k\text{.}\)

Pista.: Considera cómo restringir el dominio podría ayudar.