12.5: Actividades

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Actividad\(\PageIndex{1}\)

Utilizar la definición de cardinalidad para verificar que\(\vert A \vert = 8\) para

\ begin {ecuación*} A =\ {1,2,4,8,16,32,64,128\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Actividad\(\PageIndex{2}\)

Los pasos a continuación le guiarán a través de una prueba de la siguiente declaración.

Si\(B\) es finito y\(A \subseteq B\text{,}\) entonces también\(A\) es finito.

Comienza asumiendo que eso\(B\) es finito. Escribe lo que esto significa. (Puede hacer esto usando la definición técnica de conjunto finito, o puede hacerlo usando la caracterización de secuencia de finitud en Fact 12.2.1.)
Ahora agregue la suposición de que\(A \subseteq B\text{.}\) Trate de usar su expresión técnica de la suposición “\(B\)es finita” de la Tarea a para determinar una expresión técnica similar de la conclusión deseada “\(A\)es finita”.

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Utilizar la caracterización secuencial de finitud en Fact 12.2.1 para probar la siguiente afirmación.

Si\(A\) y\(B\) son finitos y no se cruzan, entonces\(\vert A \sqcup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert \text{.}\)

Pista: Use secuencias finitas separadas para “contar” los elementos de\(A\) y\(B\text{.}\) Luego use estas dos secuencias para construir una secuencia que “cuente” los elementos de\(A \sqcup B\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{4}\)

En cada una de las siguientes, demostrar que los dos conjuntos satisfacen la definición técnica del mismo tamaño al describir explícitamente una biyección entre ellos.

El conjunto de números naturales y el conjunto de números naturales positivos.
El conjunto de números naturales y el conjunto de números naturales que son mayores que\(9,999,999\text{.}\)
El conjunto de números naturales pares y el conjunto de números naturales impares.
El conjunto de números naturales pares y el conjunto de números naturales.
El conjunto de números naturales y el conjunto de potencias enteras de\(2\text{.}\)

Actividad\(\PageIndex{1}\)

Set

\ begin {align*} A & =\ {\ mathrm {a},\ mathrm {b},\ mathrm {c},\ mathrm {d},\ mathrm {e}\}, &\ Sigma & =\ {\ mathrm {Y},\ mathrm {N}\}\ text {.} \ end {alinear*}

\(\Sigma^\ast_5\)Demuéstralo\(\mathscr{P}(A)\) y tener el mismo tamaño. (Recordemos que\(\Sigma^{\ast}_5\) significa el conjunto de palabras en\(\Sigma^\ast\) de longitud exactamente\(5\text{.}\)) Haga esto no determinando la cardinalidad de cada uno de los dos conjuntos, sino mostrando que los conjuntos satisfacen la definición técnica del mismo tamaño. Al igual que en Actividad\(\PageIndex{4}\), esto requerirá que describas explícitamente una biyección entre los dos conjuntos.

Pista: Piense en una palabra\(5\) de letra en el alfabeto\(\Sigma\) como las respuestas a cinco preguntas de sí o no. ¿Cómo corresponde tal cadena de respuestas a algún subconjunto de\(A\text{?}\)

Describe cómo podrías usar la biyección que configuraste en la Tarea a para convertir el problema de contar el número de subconjuntos de\(A\) que tienen exactamente\(3\) elementos en un problema de contar una colección relacionada de palabras en el alfabeto\(\Sigma\text{.}\)

(Nota: No se le pide que determine realmente el número de dichos subconjuntos. Sólo se le pide que describa cómo se puede adaptar el resultado de Tarea a a este problema de conteo.)