22.1: Motivación

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuántos diferentes grupos de estudio de cuatro miembros podrían formarse a partir de una clase de veinte alumnos?

Solución

Utilizaremos la Regla de División, imponiendo primero una estructura adicional a cada posible grupo de estudio. Dentro de un grupo de estudio, crear cargos de Presidente, Vicepresidente, Secretario, y Conserje (¿alguien?). Luego están\(P(20, 4)\) esos grupos estructurados.

Pero un verdadero grupo de estudio no tiene esta estructura, por lo que consideraremos que dos grupos estructurados son equivalentes cuando tienen la misma membresía, independientemente de las posiciones. ¿Cuántos grupos estructurados equivalentes con una membresía determinada hay? Dentro de un grupo de cuatro, la estructura adicional es solo un orden, y el número de pedidos de un grupo dado es\(4!\) So

\ begin {align*}\ #\ {\ text {grupos de estudio}\} & =\ dfrac {\ #\ {\ text {\ text {grupos estructurados}\} {\ #\ {\ text {grupos equivalentes con una membresía determinada}\}\\ & =\ dfrac {P (20, 4)} {4!} \\ & =\ dfrac {20} {4! (20 - 4) 1}\ texto {.} \ end {alinear*}

Nota

Lo que hemos contado en Ejemplo Trabajado\(\PageIndex{1}\) es el número de subconjuntos de tamaño\(4\) en el conjunto de alumnos matriculados en la clase hipotética.