23.4: Ejercicios

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escoge números\(x,y\) para que la igualdad en el Teorema Binomial se convierta

\ begin {ecuación*}\ suma_ {k=0} ^n\ binom {n} {k}\, 2^k = 3^n\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Escoge números\(x,y\) para que la igualdad en el Teorema Binomial se convierta

\ begin {ecuación*}\ binom {n} {0}\;\;\; -\;\ binom {n} {1}\;\; +\;\;\ binom {n} {2}\;\;\; -\;\ binom {n} {3}\;\;\; +\;\;\ cdots\;\;\; +\; (-1) ^n\ binom {n} {n}\;\; =\;\; 0\ texto {.} \ end {ecuación*}

La igualdad de Tarea a se puede reorganizar para ceder

\ comenzar {reunir*}\ binom {n} {0}\;\; +\;\;\ binom {n} {2}\;\; +\;\;\ binom {n} {4}\;\; +\;\;\ cdots\;\; +\;\;\ binom {n} {m_1}\\;\;\;\; =\;\ binom {n} {1}\;\; +\;\;\ binom {n} {3}\;\; +\;\;\ binom {n} {5}\;\;\; +\;\ cdots\;\;\; +\;\ binom {n} {m_2}\ text {,}\ end {reunir*}
donde

\ begin {align*} m_1 & =\ begin {cases} n, & n\ text {even},\\ n-1, & n\ text {odd},\\ end {cases} & m_2 & =\ begin {cases} n-1, & n\ text {even},\\ n, & n\ text {odd}.\\ end {cases}\ end {align*}
¿Qué hace esto fórmula reordenado informarle sobre los subconjuntos de un conjunto de tamaños \(n\text{?}\)

Pista.: ¿Cuál es la suma de la izquierda contando? ¿Cuál es la suma en el conteo correcto?