1.1: Operaciones algebraicas con números enteros

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El conjunto\(\mathbb{Z}\) de todos los enteros, del que trata este libro, consiste en todos los enteros positivos y negativos así como 0. Así\(\mathbb{Z}\) es el conjunto dado por\[\mathbb{Z}=\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}.\] Mientras que el conjunto de todos los enteros positivos, denotado por\(\mathbb{N}\), se define por\[\mathbb{N}=\{1,2,3,4,...\}.\]

On\(\mathbb{Z}\), hay dos operaciones binarias básicas, a saber, suma (denotada por\(+\)) y multiplicación (denotada por\(\cdot\)), que satisfacen algunas propiedades básicas de las que\(\mathbb{Z}\) emerge cualquier otra propiedad para.

La propiedad de conmutatividad para suma y multiplicación\[\begin{aligned} a+b=b+a\\ a\cdot b=b\cdot a\end{aligned}\]
Propiedad de asociatividad para suma y multiplicación\[\begin{aligned} (a+b)+c&=&a+(b+c)\\ (a\cdot b)\cdot c&=& a\cdot (b\cdot c)\end{aligned}\]
La propiedad de distributividad de la multiplicación sobre la adición\[\begin{aligned} a\cdot (b+c)&=&a\cdot b+a\cdot c.\end{aligned}\]

En el conjunto\(\mathbb{Z}\) hay “elementos de identidad” para las dos operaciones\(+\) y\(\cdot\), y estos son los elementos\(0\) y\(1\) respectivamente, que satisfacen las propiedades básicas\[\begin{aligned} a + 0 =0+a=a\\ a\cdot 1 = 1\cdot a=a\end{aligned}\] para cada una\(a\in\mathbb{Z}\).
El conjunto\(\mathbb{Z}\) permite inversas aditivas para sus elementos, en el sentido de que para cada uno\(a\in\mathbb{Z}\) existe otro entero en\(\mathbb{Z}\), denotado por\(-a\), tal que\[a+(-a)=0.\] Mientras que para la multiplicación, solo el entero 1 tiene un inverso multiplicativo en el sentido de que 1 es el único entero\(a\) tal que existe otro entero, denotado por\(a^{-1}\) o por\(1/a\), (es decir, 1 mismo en este caso) tal que\[a\cdot a^{-1}=1.\]

A partir de las operaciones de suma y multiplicación se pueden definir otras dos operaciones sobre\(\mathbb{Z}\), a saber, resta (denotada por\(-\)) y división (denotada por\(/\)). La resta es una operación binaria\(\mathbb{Z}\) encendida, es decir, definida para dos enteros cualesquiera en\(\mathbb{Z}\), mientras que la división no es una operación binaria y por lo tanto se define solo para algún par específico de enteros en\(\mathbb{Z}\). La resta y la división se definen de la siguiente manera:

\(a-b\)se define por\(a+(-b)\), es decir,\(a-b=a+(-b)\) para cada\(a,b\in\mathbb{Z}\)
\(a/b\)se define por el entero\(c\) if y solo if\(a=b\cdot c\).

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