1.1: Operaciones algebraicas con números enteros
- Page ID
- 115019
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)El conjunto\(\mathbb{Z}\) de todos los enteros, del que trata este libro, consiste en todos los enteros positivos y negativos así como 0. Así\(\mathbb{Z}\) es el conjunto dado por\[\mathbb{Z}=\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}.\] Mientras que el conjunto de todos los enteros positivos, denotado por\(\mathbb{N}\), se define por\[\mathbb{N}=\{1,2,3,4,...\}.\]
On\(\mathbb{Z}\), hay dos operaciones binarias básicas, a saber, suma (denotada por\(+\)) y multiplicación (denotada por\(\cdot\)), que satisfacen algunas propiedades básicas de las que\(\mathbb{Z}\) emerge cualquier otra propiedad para.
- La propiedad de conmutatividad para suma y multiplicación\[\begin{aligned} a+b=b+a\\ a\cdot b=b\cdot a\end{aligned}\]
- Propiedad de asociatividad para suma y multiplicación\[\begin{aligned} (a+b)+c&=&a+(b+c)\\ (a\cdot b)\cdot c&=& a\cdot (b\cdot c)\end{aligned}\]
- La propiedad de distributividad de la multiplicación sobre la adición\[\begin{aligned} a\cdot (b+c)&=&a\cdot b+a\cdot c.\end{aligned}\]
En el conjunto\(\mathbb{Z}\) hay “elementos de identidad” para las dos operaciones\(+\) y\(\cdot\), y estos son los elementos\(0\) y\(1\) respectivamente, que satisfacen las propiedades básicas\[\begin{aligned} a + 0 =0+a=a\\ a\cdot 1 = 1\cdot a=a\end{aligned}\] para cada una\(a\in\mathbb{Z}\).
El conjunto\(\mathbb{Z}\) permite inversas aditivas para sus elementos, en el sentido de que para cada uno\(a\in\mathbb{Z}\) existe otro entero en\(\mathbb{Z}\), denotado por\(-a\), tal que\[a+(-a)=0.\] Mientras que para la multiplicación, solo el entero 1 tiene un inverso multiplicativo en el sentido de que 1 es el único entero\(a\) tal que existe otro entero, denotado por\(a^{-1}\) o por\(1/a\), (es decir, 1 mismo en este caso) tal que\[a\cdot a^{-1}=1.\]
A partir de las operaciones de suma y multiplicación se pueden definir otras dos operaciones sobre\(\mathbb{Z}\), a saber, resta (denotada por\(-\)) y división (denotada por\(/\)). La resta es una operación binaria\(\mathbb{Z}\) encendida, es decir, definida para dos enteros cualesquiera en\(\mathbb{Z}\), mientras que la división no es una operación binaria y por lo tanto se define solo para algún par específico de enteros en\(\mathbb{Z}\). La resta y la división se definen de la siguiente manera:
- \(a-b\)se define por\(a+(-b)\), es decir,\(a-b=a+(-b)\) para cada\(a,b\in\mathbb{Z}\)
- \(a/b\)se define por el entero\(c\) if y solo if\(a=b\cdot c\).