1: Introducción
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Los enteros son los bloques de construcción de la teoría de los números. Este capítulo contiene observaciones algo muy simples y obvias comenzando con propiedades de enteros y sin embargo las pruebas detrás de esas observaciones no son tan simples. En este capítulo introducimos operaciones básicas sobre enteros y algunas definiciones algebraicas que serán necesarias para entender conceptos básicos en este libro. Luego introducimos el principio de ordenamiento de pozos que establece básicamente que cada conjunto de enteros positivos tiene un elemento más pequeño. La prueba por inducción también se presenta como un método eficiente para probar varios teoremas a lo largo del libro. Se procede a definir el concepto de divisibilidad y el algoritmo de división. A continuación, se introduce el concepto elemental pero fundamental de un mayor divisor común (gcd) de dos enteros, y el algoritmo euclidiano para encontrar el gcd de dos enteros. Terminamos este capítulo con Lema de Lame sobre una estimación del número de pasos en el algoritmo euclidiano necesarios para encontrar el gcd de dos enteros.
- 1.1: Operaciones algebraicas con números enteros
- Mientras que el conjunto de todos los enteros positivos, denotados por N, se define por N= {1,2,3,4,...}. En Z, hay dos operaciones binarias básicas, a saber, suma (denotada por +) y multiplicación (denotada por ⋅), que satisfacen algunas propiedades básicas de las que emerge cualquier otra propiedad para Z.
- 1.2: El principio de ordenación de pozos y la inducción matemática
- En esta sección, presentamos tres herramientas básicas que a menudo se utilizarán para probar las propiedades de los enteros. Comenzamos con una propiedad muy importante de enteros llamada principio de ordenamiento de pozos. Luego declaramos lo que se conoce como el principio del encasillamiento, y luego se procede a presentar un importante método llamado inducción matemática.
- 1.3: La divisibilidad y el algoritmo de división
- Ahora discutimos el concepto de divisibilidad y sus propiedades.
- 1.4: Representaciones de números enteros en diferentes bases
- En esta sección, mostramos cómo se puede escribir cualquier entero positivo en términos de cualquier expansión de enteros base positiva de una manera única. Normalmente usamos notación decimal para representar enteros, mostraremos cómo convertir un entero de notación decimal en cualquier otra notación de enteros base positiva y viceversa. Usar la notación decimal en la vida diaria es simplemente mejor porque tenemos diez dedos lo que facilita todas las operaciones matemáticas.
- 1.5: El mayor divisor común
- En esta sección definimos el mayor divisor común (gcd) de dos enteros y discutimos sus propiedades. También demostramos que el mayor divisor común de dos enteros es una combinación lineal de estos enteros.
- 1.6: El Algoritmo Euclidiana
- En esta sección describimos un método sistemático que determina el mayor divisor común de dos enteros. Este método se llama el algoritmo euclidiano.
- 1.7: Teorema de Lame
- En esta sección, damos una estimación del número de pasos necesarios para encontrar el mayor divisor común de dos enteros usando el algoritmo euclidiano. Para ello, tenemos que introducir los números de Fibonacci con el fin de probar un lema que dé una estimación sobre el crecimiento de los números de Fibonacci en la secuencia de Fibonacci. El lema que probemos será utilizado en la prueba del teorema de Lame.