1.4: Representaciones de números enteros en diferentes bases
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En esta sección, mostramos cómo se puede escribir cualquier entero positivo en términos de cualquier expansión de enteros base positiva de una manera única. Normalmente usamos notación decimal para representar enteros, mostraremos cómo convertir un entero de notación decimal en cualquier otra notación de enteros base positiva y viceversa. Usar la notación decimal en la vida diaria es simplemente mejor porque tenemos diez dedos lo que facilita todas las operaciones matemáticas.
Notación Un entero\(a\) escrito en\(b\) expansión base se denota por\((a)_b\).
Dejar\(b\) ser un entero positivo con\(b>1\). Entonces, cualquier entero positivo\(m\) puede escribirse de manera única como\[m=a_lb^l+a_{l-1}b^{l-1}+...+a_1b+a_0,\] donde\(l\) es un entero positivo,\(0\leq a_j<b\) para\(j=0,1,...,l\) y\(a_l\neq 0\).
Empezamos dividiendo\(m\) por\(b\) y obtenemos
\[m=bq_0+a_0, \ \ \ 0\leq a_0 <b.\]
Si\(q_0\neq 0\) entonces seguimos\(q_0\) dividiéndonos\(b\) y conseguimos
\[q_0=bq_1+a_1, \ \ \ 0\leq a_1<b.\]
Continuamos con este proceso y de ahí obtenemos
\[\begin{aligned} q_1&=&bq_2+a_2, \ \ \ 0\leq a_2<b,\\ &.&\\ &.&\\ &.&\\ q_{l-2}&=&bq_{l-1}+a_{l-1}, \ \ \ 0\leq a_{l-1}<b,\\ q_{l-1}&=&b\cdot 0+a_l, \ \ \ 0\leq a_l<b.\end{aligned}\]
Tenga en cuenta que la secuencia\(q_0,q_1,...\) es una secuencia decreciente de enteros positivos con un último término\(q_l\) que debe ser 0.
Ahora sustituyendo la ecuación\(q_0=bq_1+a_1\) en\(m=bq_0+a_0\), obtenemos\[m=b(bq_1+a_1)+a_0=b^2q_1+a_1b+a_0,\] Sucesivamente sustituyendo las ecuaciones en\(m\), obtenemos\[\begin{aligned} m&=&b^3q_2+a_2b^2+a_1b+a_0,\\ &.&\\ &.&\\ &.&\\ &=&b^lq_{l-1}+a_{l-1}b^{l-1}+...+a_1b+a_0,\\ &=& a_lb^l+a_{l-1}b^{l-1}+...+a_1b+a_0.\end{aligned}\] Lo que queda por probar es que la representación es única. Supongamos ahora que\[m=a_lb^l+a_{l-1}b^{l-1}+...+a_1b+a_0=c_lb^l+c_{l-1}b^{l-1}+...+c_1b+c_0\] donde si el número de términos es diferente en una expansión, agregamos cero coeficientes para que el número de términos esté de acuerdo. Restando las dos expansiones, obtenemos\[(a_l-c_l)b^l+(a_{l-1}-c_{l-1})b^{l-1}+...+(a_1-c_1)b+(a_0-c_0)=0.\] Si las dos expansiones son diferentes, entonces existe\(0\leq j\leq l\) tal que\(c_j\neq a_j\). Como resultado, obtenemos\[b^j((a_l-c_l)b^{l-j}+...+(a_{j+1}-c_{j+1})b+(a_j-c_j))=0\] y desde\(b\neq 0\),\[(a_l-c_l)b^{l-j}+...+(a_{j+1}-c_{j+1})b+(a_j-c_j)=0.\] obtenemos Ahora obtenemos\[a_j-c_j=(a_l-c_l)b^{l-j}+...+(a_{j+1}-c_{j+1})b,\] y como resultado,\(b\mid (a_j-c_j)\). Desde\(0\leq a_j<b\) y\(0\leq c_j<b\), lo conseguimos\(a_j=c_j\). Esto es una contradicción y de ahí que la expansión sea única.
Tenga en cuenta que la representación base 2 de enteros se llama representación binaria. La representación binaria juega un papel crucial en las computadoras. Las operaciones aritméticas se pueden llevar a cabo en enteros con cualquier base entera positiva pero no se abordarán en este libro. Ahora presentamos ejemplos de cómo convertir de representación de entero decimal a cualquier otra representación base y viceversa.
Para encontrar la expansión de 214 base 3:
hacemos lo siguiente\[\begin{aligned} 214&=&3\cdot 71+1\\ 71&=& 3\cdot 23+2\\ 23&=& 3\cdot 7+2\\ 7&=& 3\cdot 2+1\\ 2&=& 3\cdot 0+2\\\end{aligned}\] Como resultado, para obtener una expansión base 3 de 214, tomamos los restos de divisiones y lo conseguimos\((214)_{10}=(21221)_3\).
Para encontrar la expansión base 10, es decir, la expansión decimal, de\((364)_7\):
Hacemos lo siguiente:\(4\cdot 7^0+6\cdot 7^1+3\cdot 7^2=4+42+147=193\).
En algunos casos donde se necesita\(b>10\) expansión base, agregamos algunos caracteres para representar números mayores a 9. Se sabe usar las letras alfabéticas para denotar enteros mayores a 9 en base b expansión para\(b>10\). Por ejemplo\((46BC29)_{13}\) dónde\(A=10, B=11, C=12\).
Para convertir de una base a otra, la forma más sencilla es pasar por la base 10 y luego convertir a la otra base. Existen métodos que simplifican la conversión de una base a otra pero no se abordará en este libro.
Ejercicios
- Convertir\((7482)_{10}\) a notación base 6.
- Convertir\((98156)_{10}\) a notación base 8.
- Convertir\((101011101)_2\) a notación decimal.
- Convertir\((AB6C7D)_{16}\) a notación decimal.
- Convertir\((9A0B)_{16}\) a notación binaria.