Prefacio

Prefacio

El siguiente texto es una extensa actualización de un manuscrito original del profesor W. Edwin Clark (ahora emérito) de la Universidad del Sur de Florida, escrito en 2002 y puesto a disposición gratuitamente en su sitio web. El amable uso del profesor Clark de lo que denominó estado de “copyleft” para su libro, en el que yo y otros instructores hemos podido distribuir su texto libremente a nuestros alumnos y editarlo para adaptarlo a nuestras necesidades, ha sido de gran ayuda para muchos.

Como he enseñado fuera del texto del profesor Clark durante múltiples semestres, he realizado varios cambios en mi propia presentación del material, y debido al generoso permiso del profesor Clark, me he comprometido a adaptar el libro para reflejar estos cambios.

El texto está diseñado para un curso de un semestre y para autoestudio. Como lo hizo Clark, he asumido que los estudiantes tienen cierta familiaridad con la teoría de conjuntos básica y el álgebra a nivel de secundaria (incluidos los números imaginarios, si se va a enseñar el capítulo sobre los enteros gaussianos), así como la noción de un límite en un capítulo. Como escribió Clark en su prefacio original,

El texto requiere sólo una cierta cantidad de madurez matemática. Y, ojalá, el nivel de madurez matemática del alumno aumente a medida que avance el curso.

He tratado de mantener el mismo foco.

El libro de Clark era en gran parte autónomo, y he tratado de mantener esa calidad ya que he hecho cambios y agregado material al texto. A continuación se presenta una breve descripción de la mayoría de los cambios realizados en el texto.

• Se agregaron cambios textuales para mejorar el flujo a diversos capítulos.
• He movido partes del prefacio del libro original a varias ubicaciones en texto.
• Se agregó al texto un capítulo introductorio (que aparece como Capítulo 1) para atraer el interés de los estudiantes y transmitir la emoción de la experimentación en la teoría de números.
• Algunos ejercicios fueron reordenados, y se cambió la redacción dentro y alrededor de varios ejercicios para corregir errores gramaticales y/o aclarar la intención. Se recogieron ejercicios al final de los capítulos, con ejercicios adicionales incluidos, en varios capítulos del texto.
• Se hicieron grandes cambios a lo que hoy es Capítulo en un intento de motivar y mejorar la presentación sobre la inducción matemática.
• El material en las funciones de piso y techo se ha trasladado al capítulo inicial discutiendo los enteros, donde se menciona su relación con el Principio de Ordenación del Bien. He sustituido una prueba alterna del Algoritmo de División en Capítulo y reducido el uso de la función floor en ese capítulo a una mención y un ejercicio.
• El capítulo sobre\(b\) representaciones base de se\(n\) ha movido anteriormente en el texto (ahora es Capítulo) para aparecer justo después del capítulo sobre el Algoritmo de División. De esta manera los alumnos ven dos usos distintos del Algoritmo de División en los capítulos que siguen (siendo el Algoritmo Euclideano el otro).
• El concepto de múltiplo menos común se introdujo junto con el mayor denominador común y se desarrolló a través de algunos ejercicios de capítulos.
• El capítulo sobre el Lema de Bezout (actualmente Capítulo) se complementó con motivación y ejercicios adicionales.
• El capítulo sobre el Método de Blankinship (actualmente Capítulo) fue retitulado y ahora incluye una breve descripción del Algoritmo Euclídeo Extendido; los ejercicios fueron modificados para adoptar este cambio.
• Como medio para comentar las factorizaciones primos y proporcionar algún contexto para la discusión de las sumas de cuadrados al final del texto, se dedica un nuevo capítulo a los enteros gaussianos.
• El capítulo sobre los primos de Fermat y Mersenne tiene un tema más amplio, con una nueva introducción sobre las funciones que generan números primos (incluyendo una mención del Teorema Verde-Tao sobre las progresiones aritméticas en los primos).
• La información sobre la función de conteo de primos y primos de Mersenne encontrados se ha actualizado para incluir los registros más recientes a julio de 2021.
• El material sobre la función totiente de Euler se ha ampliado y trasladado al capítulo con otras funciones teóricas de números.
• La introducción de los números perfectos se movió del capítulo sobre funciones teóricas de números a Capítulo.
• En aras del ritmo, he comprimido tres capítulos del texto original de Clark en uno (actualmente Capítulo), omitiendo la noción de un sistema completo de residuos, ya que no era necesario en ningún otro lugar del texto.
• El texto original de Clark tenía la virtud de distinguir entre\(\mathbb{Z}_m\) y los conjuntos\(\{0,1,\dots,m-1\}\) mediante el uso de la notación\(J_m\),\(\oplus\), y\(\odot\). Sin embargo, a la luz de las dificultades de los estudiantes debido a la notación en competencia utilizada en otras clases de matemáticas (notablemente clases de álgebra abstracta), y debido a que el formalismo no se construye mucho en los capítulos siguientes, he difuminado las líneas entre estos dos anillos al cambiar el nombre de Clark \(J_m\)as\(Z_m\) (sin la fuente negrita de pizarra) y no dando vueltas a los símbolos de las operaciones binarias asociadas.
• Un nuevo capítulo discute el teorema del resto chino.
• Se agregó una discusión sobre el Teorema de Wilson a los Capítulos y, y se reordenó el contenido en Capítulo.
• Se ha reorganizado el capítulo sobre RSA (Capítulo), con la adición de ejemplos de apoyo y texto y varios ejercicios.
• Un nuevo capítulo discute la representación de enteros por sumas de cuadrados, conectando el final del curso con el Capítulo 1 y señalando a los estudiantes interesados hacia resultados sobre residuos cuadráticos.
• Se han eliminado las referencias a las hojas de trabajo suplementarias de Clark en Maple (por ejemplo, en Capítulo). Recomiendo que los instructores complementen el texto con experimentos computacionales utilizando la tecnología que mejor se adapte a las necesidades de sus alumnos.

Mis metas para los estudiantes se identifican como “tres deseos” en el Capítulo 1. Me complace escuchar comentarios sobre el texto (incluida la corrección de errores); puede que me contacten por correo electrónico a barrus@uri.edu. De acuerdo con los términos del estado copyleft que Clark impuso originalmente, este texto, incluyendo mis cambios, podrá ser utilizado bajo la licencia Creative Commons BY-NC-SA 4.0. Como tal se puede modificar libremente y distribuir con atribución (por favor mencione tanto a W. Edwin Clark como a mí mismo), y posteriormente se espera que los adaptadores licencien sus ediciones los mismos permisos que han encontrado con esta.

Michael D. Barrus

Universidad de Rhode Island

Agosto 2021