1.1: ¿Qué es la teoría de números?

¡Bienvenido a la teoría de números!

En este capítulo veremos un poco de qué trata la teoría de números y por qué podrías disfrutar estudiándola. Carl Friedrich Gauss (1777—1855), uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, tenía esto que decir sobre la teoría de números (a la que llamó aritmética):

Las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas.

- Citado por Sartorius von Waltershausen en Gauss zum Gedachtniss (1856)

Entonces, ¿qué es “aritmética”, o teoría de números?

En pocas palabras, la teoría de números se ocupa de preguntas y propiedades de los números enteros\[\dots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots\nonumber \] y números estrechamente relacionados. Ya que llevas casi toda tu vida tratando con números enteros de un tipo u otro, algo de lo que veremos en el texto te resultará familiar, y mucho puede parecer simple y fácil a primera vista. Aún así, la teoría de números es un tema sorprendentemente profundo, y aunque este texto solo profundiza en lo que se conoce como teoría de números elemental, verás nuevos y diferentes lados de algunas cosas que quizás hayas pensado que ya sabías.

Abrotar el apetito

Para darte una idea de cómo es la teoría de números, mira las siguientes tres preguntas:

Escribir números como sumas de cuadrados

Un cuadrado perfecto es un número obtenido al cuadrar un número entero. Por ejemplo, los cuatro cuadrados perfectos más pequeños son\[0=0^2, \qquad 1 = 1^2 = (-1)^2, \qquad 4 = 2^2 = (-2)^2, \qquad 9 = 3^2 = (-3)^2.\nonumber \] Una lista de 21 cuadrados perfectos se encuentra en el Apéndice B.

Como puedes ver, no todos los enteros son un cuadrado perfecto, y de hecho los cuadrados perfectos se separan más cuanto más grandes se hacen. Sin embargo, se pueden hacer más números sumando cuadrados perfectos juntos, que es de lo que trata esta pregunta.

¿Qué números se pueden escribir como la suma de dos cuadrados perfectos? Si intentamos\(0, 1, 4, 9\) juntar en pares (posiblemente tomando dos del mismo número), podemos crear\(0,1,2,4,5,8,9,10,13,18\). Como usamos cuadrados posteriores para hacer el edificio, vemos que la lista completa de números que se pueden escribir como cuadrados perfectos comienza con ¿\[0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, \dots.\nonumber \]Hay algún patrón al que aparezcan o no números enteros en la lista?

De igual manera, ¿qué números se pueden escribir como la suma de tres cuadrados perfectos? La lista comienza con\[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, \dots.\nonumber \] Parece que la mayoría de los números enteros no negativos aparecen aquí, pero 7, 15, y 23 no. ¿Es una coincidencia que estos números que no aparecen estén separados por 8, sería 31 el siguiente número que no aparece?

¿Qué números se pueden escribir como la suma de cuatro cuadrados perfectos? Permitir un cuadrado extra nos permite producir algunos números que antes no podíamos; por ejemplo,\(23 = 9 + 9 + 4 + 1\). Al hacer una lista de esos números que se pueden escribir con cuatro cuadrados, comenzamos con de\[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,\dots;\nonumber \] hecho, comprobando todos los números entre 0 y 100 muestra que cada uno se puede escribir como una suma de 4 cuadrados perfectos. ¿Es cierto que cada entero positivo es la suma de cuatro cuadrados? Si es así, ¿por qué es esto?

Encontrar una fórmula para números primos

Probablemente recuerdes que un número primo es un número mayor que 1 para el cual los únicos enteros positivos que lo dividen uniformemente son él mismo y 1. Los primeros números primos varios, comenzando con\(2,3,5,7,11,13,\dots\), se enumeran en el Apéndice A.

Como veremos en el texto, entender los números primos es una parte muy importante para entender muchas de las propiedades de los enteros. ¿Hay una buena manera de generar números primos? ¿Quizás una fórmula?

Considera la función\(f(n) = n^3 + n^2 + 17\). Conectando algunos valores enteros de\(n\), encontramos\[f(0)=17, \qquad f(1)=19, \qquad f(2) = 29, \quad \text{and} \quad f(3) = 53.\nonumber \] Cada uno de estos es primo, y de hecho, enchufar cada uno de los números del 0 al 10 siempre produce un número primo. ¿Podría\(f(n)\) ser un número primo para todos\(n\)? ¿Y hay otras funciones o técnicas para producir números primos?

Soluciones enteras a ecuaciones

¿Se puede encontrar un par de enteros\(x,y\) tal que\(3x+17y = 10\)? Un poco de prueba y error podría llevarte a\(x=-8\) y\(y=2\), pero ¿es este el único par de enteros que funciona? ¿Y hay alguna manera además del ensayo y error que pueda producir sistemáticamente una o todas las soluciones?

Otras ecuaciones, como\(154x - 33y = 10\), parecen no tener solución donde\(x\) y\(y\) son ambas enteros. ¿Por qué es esto, y podemos reconocer ecuaciones como esta a partir de patrones en los números involucrados?

¿Qué pasa con las ecuaciones un poco más complicadas, como\(x^2 + 3y = 1\)? ¿Por qué esto tiene varias soluciones en los enteros (como\(x=1,y=0\), y\(x=2,y=-1\), y\(x=4,y=-5\)), mientras que\(x^2 + 3y = 2\) parece no tener ninguna?

Aquí hay una famosa ecuación en la misma línea: ¿Se pueden encontrar enteros positivos\(x,y,z,n\) con\(n\) mayores de 2 tal manera que\(x^n + y^n = z^n\)?

Tocaremos al menos brevemente cada una de estas preguntas a lo largo del texto. Específicamente:

• Las pistas sobre las respuestas a las preguntas de las sumas de cuadrados serán respondidas en algunos lugares, culminando en una respuesta completa en la Sección 1.28.
• Los números primos se estudiarán en profundidad en las Secciones 1.11, 1.14, 1.24 y 1.25, y en los ejercicios de la Sección 1.24 se presentará un ejemplo de una fórmula generadora de primos válida. Por cierto, la función\(f(n)\) anterior no siempre puede generar números primos, ¿qué pasa si\(n=17\)?
• Las claves para encontrar soluciones enteras a ecuaciones lineales con constantes enteras se desarrollarán en el texto y ejercicios de las Secciones 1.8, 1.9 y 1.10. No podremos presentar técnicas de solución a algunas de las ecuaciones más complicadas mencionadas anteriormente, pero con un poco de trabajo bibliotecario o buscando en línea, podrás averiguarlo y, quizás con un poco de paciencia y esfuerzo, digerir y apreciar lo que se ha resuelto. (Podrías comenzar leyendo un poco sobre el último teorema de Fermat.)

Una aplicación práctica

Además de responder a estas curiosidades teóricas, desarrollaremos las herramientas utilizadas en el criptosistema RSA, un esquema moderno ampliamente utilizado para cifrar información digital sensible.

Como ejemplo simplificado, un vendedor en línea podría instruir públicamente a un navegador web usando RSA para cifrar parte de un número de tarjeta de crédito, digamos, el número '1234' (tal vez parte de un número de tarjeta de crédito) elevándolo al exponente\(43\) y encontrando el resto cuando la respuesta se divide por \(1517\). (Abreviamos la instrucción “encontrar el resto después de dividir por” por “mod”.) El navegador calcula\[1234^{43} \bmod 1517 = 1253\nonumber \] y, en lugar de transmitir el número sensible '1234', transmite el número encriptado '1253'. El vendedor en línea utiliza entonces un exponente secreto de descifrado (67) y el mismo “proceso de resto” para cambiar el mensaje cifrado de nuevo al original:\[1253^{67} \bmod 1517= 1234.\nonumber \] Entonces, ¿cómo funciona esto? ¿Cómo se eligen los números 1517, 43 y 67? Y ¿cómo encontramos los restos de la división cuando los exponentes involucrados producen números tan grandes? \(^{1}\)Estas preguntas se responden en las Secciones 1.26 y 1.27, utilizando resultados desarrollados a lo largo del texto. Como veremos, las fortalezas del sistema RSA (y los ataques de codebreaking que pueden romperlo si los números no se eligen sabiamente) tienen todo que ver con las propiedades teóricas numéricas de los números utilizados para hacer el cifrado y descifrado.

Los temas

Las preguntas y la aplicación de arriba ilustran algunos temas con los que nos encontraremos a lo largo del texto. Veremos diversas formas en las que a veces se pueden escribir números enteros. Veremos varias veces producir o identificar números primos. Buscaremos soluciones enteras a ecuaciones, y usaremos propiedades de los enteros para diseñar algoritmos para realizar muchas tareas diferentes. A medida que hojeas la tabla de contenido ahora, y tal vez vuelvas a este capítulo ocasionalmente a medida que avanzas por el texto, verás estos temas (y otros) reproducidos una y otra vez.

Hay otra característica feliz de la teoría de números: muchos de los resultados que discutiremos no serán necesariamente difíciles de reconocer cuando los veas en acción; de hecho, varios de los resultados aparecerán con bastante facilidad ya que buscamos patrones entre múltiples ejemplos. (Por supuesto, como matemáticos nunca estamos satisfechos hasta que podamos justificar rigurosamente nuestras observaciones a través de pruebas, pero espero que las pruebas en este texto también sean agradables de digerir.)

Debido a que la teoría de números trata de patrones en los enteros, estarás bien servido para elaborar varios ejemplos numéricos de ideas que encuentres en el texto y ejercicios. Si está familiarizado con la escritura de programas simples en un sistema de álgebra computacional (por ejemplo, CoCalc, Maple, Mathematica, MATLAB) o en un lenguaje de programación, intente a menudo convertir lo que ve en sus estudios en programas. Podrás ver muchos más ejemplos de esta manera, y los procesos de pensamiento involucrados en la redacción de tus programas mejorarán tu comprensión de la teoría de números. Como ha dicho el teórico contemporáneo de números William Stein,

Una computadora es para un teórico de números, como un telescopio lo es para un astrónomo. Sería una pena dar una clase de astronomía sin tocar un telescopio; de igual manera, sería una pena impartir esta clase sin decirte cómo mirar los enteros a través de la lente de una computadora.

Debido a que existe una gran variedad en los entornos de programación/computación con los que los estudiantes pueden estar familiarizados, este libro no se centrará en ningún sistema computacional; sin embargo, se le anima de todo corazón a elegir uno y profundizar en la teoría de números con él.

Tres deseos

Este libro habrá tenido éxito si te ayuda a hacer lo siguiente (no necesariamente en orden de importancia):

• apreciar la belleza de los patrones que se encuentran en los números enteros;
• apreciar algunas de las aplicaciones prácticas de la teoría de números;
• continuar su crecimiento en madurez matemática y habilidad.

Por nuestro éxito... ¡Empecemos!

Notas al pie

[1] El número\(1253^{67}\) tiene\(208\) dígitos, ¡y los números utilizados en este ejemplo son mucho
más pequeños que los utilizados en la práctica!