1.2: Axiomas Básicos para Z

Propiedades Básicas de\(\mathbb{Z}\)

Dado que la teoría de números se ocupa de las propiedades de los enteros, comenzamos por establecer alguna notación y revisar algunas propiedades básicas de los enteros que serán necesarias más adelante. Comenzamos con nuestros conjuntos fundamentales y su notación. Recordemos que eso\(x\in S\) significa que\(x\) es un elemento del conjunto\(S\), y\(S \subset T\) significa que el conjunto\(S\) es un subconjunto del conjunto\(T\).

\[\begin{aligned} \mathbb{N} &=\{1,2,3,\cdots\} \quad \text{(the set of }\textbf{natural numbers}\text{ or positive integers)} \\ \mathbb{Z} &=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} \quad\text{(the set of }\textbf{integers}) \\ \mathbb{Q} &=\left\{ \frac{n}{m} \mid n,m\in\mathbb{Z}\text{ and }m\neq 0\right\} \quad \text{(the set of }\textbf{rational numbers}) \\ \mathbb{R} &=\text{the set of }\textbf{real numbers}\\ \mathbb{C} &= \left\{a+bi \mid a,b \in \mathbb{R} \right\} \quad \text{(the set of }\textbf{complex numbers})\end{aligned}\]

En la última línea, recordar de clases de matemáticas anteriores que\(i\) es un número (no real, imaginario) satisfactorio\(i^2=-1\). Tenga en cuenta que\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).

Asumimos un conocimiento de las reglas básicas del álgebra de secundaria que se aplican a\(\mathbb{R}\) y por lo tanto a\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Q}\). Esto significa cosas como\(ab=ba\) y\(ab+ac=a(b+c)\). (La mayoría de estas propiedades también se aplican a los números en\(\mathbb{C}\).) No vamos a enumerar todas estas propiedades aquí. No obstante, a continuación enumeramos algunas propiedades particularmente importantes de las\(\mathbb{Z}\) que se necesitarán. A estos los llamamos axiomas ya que no los vamos a probar en este curso. \(^{1}\)

Algunos axiomas básicos para\(\mathbb{Z}\)

1. Si\(a\),\(b\in\mathbb{Z}\), entonces\(a+b\),\(a-b\) y\(ab\in\mathbb{Z}\). (\(\mathbb{Z}\)se cierra bajo suma, resta y multiplicación.)
2. Si\(a\in\mathbb{Z}\) entonces no hay\(x\in\mathbb{Z}\) tal que\(a<x<a+1\).
3. Si\(a\),\(b\in\mathbb{Z}\) y\(ab=1\), entonces cualquiera\(a=b=1\) o\(a=b=-1\).
4. Leyes de los Exponentes: Para\(n\),\(m\) en\(\mathbb N\) y\(a\),\(b\) en\(\mathbb{R}\) tenemos
   1. \(\left( a^n \right)^ m=a^{nm}\)
   2. \((ab)^n=a^nb^n\)
   3. \(a^na^m=a^{n+m}\).

   Estas reglas se mantienen para todos\(n,m \in \mathbb{Z}\) si\(a\) y no\(b\) son cero.

5. Propiedades de las Desigualdades: Para\(a\)\(b\),,\(c\) en\(\mathbb{R}\) la siguiente bodega:
   1. (Transitividad) Si\(a<b\) y\(b<c\), entonces\(a<c\).
   2. Si\(a<b\) entonces\(a+c<b+c\).
   3. Si\(a<b\) y\(0<c\) entonces\(ac<bc\).
   4. Si\(a < b\) y\(c < 0\) entonces\(bc < ac\).
   5. (Tricotomía) Dado\(a\) y\(b\), uno y sólo uno de los siguientes sostiene:\[a=b , \quad a<b , \quad b<a.\nonumber \]
6. La Propiedad Arquímedes: Por cada número real\(r\) existe un número natural\(n\) tal que\(n>r\). En otras palabras, el conjunto\(\mathbb{N}\) es un subconjunto del\(\mathbb{R}\) que no tiene límite superior.
7. El principio de ordenación correcta: Cada subconjunto no vacío de\(\mathbb{N}\) contiene un elemento mínimo.
8. El principio de inducción matemática: Let\(P(n)\) be a statement concerning the integer variable\(n\). Dejar\(n_0\) ser cualquier entero fijo. \(P(n)\)es true para todos los enteros\(n \ge n_0\) si se pueden establecer las dos declaraciones siguientes:
   1. \(P(n)\)es cierto si\(n=n_0\).
   2. Siempre que\(P(n)\) sea cierto para\(n_0\le n\le k\) entonces\(P(n)\) es cierto para\(n=k+1\).

El uso del Principio de Inducción Matemática en las pruebas se discutirá en el próximo capítulo. Ilustramos un uso de la Propiedad de Arquímedes momentáneamente.

Utilizamos las convenciones habituales:

1. \(a\leq b \text{ means } a<b \text{ or } a=b\),
2. \(a>b \text{ means } b<a\), y
3. \(a\geq b \text{ means } b\leq a\).

Pisos y techos de números reales

Dado que este capítulo discute las propiedades básicas de los enteros y sus relaciones con los números reales, aprovechamos esta oportunidad para definir las funciones floor, a.k.a., el mayor entero, y el techo, a.k.a., el mínimo entero, funciones. Según Donald Knuth [6], quien popularizó la notación que se presenta a continuación, Kenneth Iverson introdujo la notación, así como los términos piso y techo, a principios de la década de 1960. Desde entonces la notación se ha convertido en estándar en la mayoría de las áreas de las matemáticas.

Definición\(\PageIndex{1}\)

Si\(x\) es algún número real definimos\[\lfloor x\rfloor =\text{ the greatest integer less than or equal to }x\text{, and}\nonumber\]\[\lceil x\rceil =\text{the least integer greater than or equal to }x.\nonumber\]

Aquí\(\lfloor x\rfloor \) se llama el piso de\(x\) y\(\lceil x\rceil \) se llama el techo de\(x\). (Nota: el suelo\(\lfloor x\rfloor \) está en algunos textos denotado\([x]\) y llamado la mayor función entera.) Aquí hay algunos ejemplos simples:

1. \(\lfloor 3.1\rfloor =3\text{ and }\lceil 3.1\rceil =4\)
2. \(\lfloor 3\rfloor =3\text{ and }\lceil 3\rceil =3\)
3. \(\lfloor -3.1\rfloor =-4\text{ and }\lceil -3.1\rceil =-3\)

Para un tratamiento más detallado tanto del piso como del techo ver el libro Matemáticas Concretas [5].
Por las definiciones, tenemos\[\lfloor x\rfloor =\max\{n\in\mathbb{Z}|n\leq x\}\text{ and }\lceil x\rceil =\min\{n\in\mathbb{Z}|n\geq x\}.\nonumber\]

El hecho que\(\lfloor x\rfloor \) existe para cada número real se\(x\) desprende de la Propiedad de Arquímedes y del Principio de Ordenación del Bien. Por un argumento similar (ver Ejercicio\(\PageIndex{6}\)),\(\lfloor x\rfloor\) también existe para cada número real\(x\).

Por definición,\(\lfloor x\rfloor\leq x\) para todos\(x\). Yendo más allá, tenga en cuenta que para un entero\(n\),\[\lfloor x\rfloor =n\iff n\leq x<n+1.\label{eq:1}\] Por Basic Axiom 2 anterior también tenemos que\[\lfloor x\rfloor =x\iff x\in\mathbb{Z} .\nonumber\]

El siguiente lema es útil para probar hechos que involucran pisos.

Lema \(\PageIndex{1}\)

Para todos\(x\in\mathbb{R}\)\[x-1<\lfloor x\rfloor\leq x.\nonumber\]

Prueba

Vamos\(n =\lfloor x\rfloor\). Entonces por\(\eqref{eq:1}\) nosotros tenemos\(n\leq x<n+1\). Esto da inmediatamente eso\(\lfloor x\rfloor\leq x\), como ya se señaló anteriormente. También da lo\(x < n + 1\) que implica eso\(x-1<n\), es decir,\(x-1<\lfloor x\rfloor\).

Convención Importante

Dado que en este curso nos ocuparemos casi exclusivamente de los enteros asumiremos a partir de ahora, a menos que se indique lo contrario, que todas las letras romanas minúsculas\(a,b,\ldots ,z\) denotan enteros.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Usando solo las propiedades de las desigualdades enumeradas en este capítulo, y declarando cuáles usas (en otras palabras, no asuma nada más sobre cómo se comportan las desigualdades cuando operas sobre ellas), demuestre cuidadosamente que si\(x\) y\(y\) son números reales positivos y \(x < y\), luego

1. \(x^2<y^2;\)
2. \(x<y+5;\)
3. \(x^3+2x+3<y^3+2y+4.\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encontrar\(\lfloor\pi\rfloor\),\(\lceil\pi\rceil\),\(\lfloor\sqrt{2}\rfloor\)\(\lceil\sqrt{2}\rceil\),\(\lfloor -\pi\rfloor\),\(\lceil -\pi\rceil\),\(\lfloor -\sqrt{2}\rfloor\), y\(\lceil -\sqrt{2}\rceil\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Esbozar la gráfica de la función\(f(x) = \lfloor x\rfloor\) para\(-3.5\leq x\leq 3.5\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Esboce la gráfica de\(y=\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor\) for\(-3.5\leq x\leq 3.5\), y describa en palabras cómo\(f(x) = \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor\) se comporta la función para todos\(x\in\mathbb{R}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Si\(x\) es un número real, ¿son\(\lfloor 2x\rfloor\) y\(2\lfloor x\rfloor\) siempre son los mismos? Si no, entonces ¿cuál es más grande que el otro? ¿La respuesta depende de si\(x\) es positiva, negativa o cero? Una vez que creas que conoces la respuesta, declara tu respuesta como una desigualdad, y demuéstrala cuidadosamente usando Lema\(\PageIndex{1}\) y propiedades de desigualdades o ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que\(\lfloor x\rfloor\), como se ha definido en este capítulo, existe para cada número real\(x\).
(Pista: o pensar en lo que sucedería si\(\lfloor x\rfloor\) no existiera, y explicar por qué esto viola uno o más de los Axiomas Básicos en este capítulo, o demostrar que\(\lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil\) para todos los números reales\(x\) y confiar en el hecho de que los techos siempre existen, como se explica en este capítulo.)

Notas al pie

[1] Estos no son los axiomas más simples que podríamos usar. En efecto, la Propiedad Arquímedea se deriva de una propiedad más fuerte de\(\mathbb{R}\), y estrictamente hablando, el Principio de Ordenación del Bien y el Principio de Inducción Matemática no deberían ser ambos axiomas, ya que cada uno puede derivarse del otro.