1.6: La Base b Representación de n
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En este capítulo mostramos cómo el Algoritmo de División se relaciona con un concepto tocado desde las matemáticas de primaria.
Recordemos que la representación decimal de un entero positivo\(a\) viene dada por\(a =a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0\) donde\[\label{decimalrep} a = a_{n-1}10^{n-1} + a_{n-2}10^{n-2} + \cdots + a_110 + a_0\] y los dígitos\(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_1,a_0\) están en el conjunto\(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) con\(a_{n-1}\neq 0\). En este caso decimos que el entero\(a\) es un número\(n\) -dígito o que\(a\) es \(n\)dígitos largos.
Por ejemplo, se entiende que los números en “682” significan seiscientos ochenta y dos, porque las ubicaciones de 6, 8 y 2 (en el “lugar de los cien”, “lugar de diez” y “lugar de uno”) indican el número\(6 \cdot 100 + 8\cdot 10 + 2\).
En este capítulo justificaremos la afirmación de que cada entero positivo tiene una representación decimal. No obstante, lo haremos en un marco más general.
Dejar\(b\ge 2\) y\(n>0\). Escribimos\[\label{eq:base} n=\left[a_k,a_{k-1},\dotsc,a_1,a_0\right]_b\] si y solo si para algunos\(k\ge 0\)\[n=a_kb^k+a_{k-1}b^{k-1}+\dotsb+a_1b+a_0\nonumber \] donde\(a_i\in\{0,1,\dotsc,b-1\}\) para\(i=0,1,\dotsc,k\). \(\left[a_k,a_{k-1},\dotsc,a_1,a_0\right]\)se llama una\(b\) representación base de\(n\).
Base\(b\) se conoce como\[\begin{aligned} binary\quad & \text{if }b=2, \\ ternary\quad & \text{if }b=3, \\ octal\quad & \text{if }b=8, \\ decimal\quad & \text{if }b=10, \\ hexadecimal\quad & \text{if }b=16.\end{aligned}\] Si\(b\) se entiende, especialmente si\(b=10\), escribimos\(a_ka_{k-1}\dotsm a_1a_0\) en lugar de\(\left[a_k,a_{k-1},\dotsc,a_1,a_0\right]_{b}\). En el caso de\(b=16\), que se utiliza frecuentemente en informática, los “dígitos”\(10\),,\(11\),\(12\)\(13\),\(14\) y\(15\) se sustituyen por\(A\), \(B\),\(C\)\(D\),\(E\) y\(F\), respectivamente.
Para una base fija\(b\ge 2\), los números\(a_i\in\{0,1,2,\dotsc,b-1\}\) en la ecuación\(\eqref{eq:base}\) se denominan los dígitos de la\(b\) representación base de\(n\). En el caso binario\(a_i\in\{0,1\}\) y los\(a_i\)'s se llaman bits (bi nary digi ts).
Aquí hay algunos ejemplos:
- \(267=[5,3,1]_7\)ya que\(267 = 5 \cdot 7^2+3\cdot 7 +1\).
- \(147=[1,0,0,1,0,0,1,1]_2\)ya que\(147=1\cdot 2^7+0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2+1\).
- \(4879=[4,8,7,9]_{10}\)ya que\(4879 = 4\cdot 10^3+8\cdot 10^2 + 7\cdot 10 + 9\).
- \(10705679=[A,3,5,B,0,F]_{16}\)ya que\(10705679=10\cdot 16^5+3\cdot 16^4+5\cdot 16^3+11\cdot 16^2+0\cdot 16+15\).
- \(107056791=[107, 56, 791]_{1000}\)ya que\(107056791=107\cdot 1000^2+56\cdot 1000 +791\).
Si\(b\ge 2\), entonces cada uno\(n>0\) tiene una\(b\) representación base única de la forma\(n=\left[a_k,\dotsc,a_1,a_0\right]_b\) con\(a_k>0\).
Prueba
Aplicar repetidamente el Algoritmo de División de la siguiente manera:\[\begin{aligned} n &=bq_0+r_0,\quad 0\le r_0<b \\ q_0 &=bq_1+r_1,\quad 0\le r_1<b \\ q_1 &=bq_2+r_2,\quad 0\le r_2<b \\ &\qquad\vdots \\ q_{k-1} &=bq_k+r_k,\quad 0\le r_k<b \\ q_k &=bq_{k+1}+r_{k+1},\quad 0\le r_{k+1}<b.\end{aligned}\] Tenga en cuenta que en cada paso siempre dividimos por\(b\). En la primera línea, dividimos\(n\) por\(b\), y luego en cada línea después de la primera, lo que dividimos por\(b\) es el cociente de la línea anterior; luego usamos el cociente resultante para la siguiente línea.
De la división repetida no es difícil ver eso mientras\(q_k>0\), es cierto que\[n>q_0>q_1>\dotsm>q_k.\nonumber \] Dado que esto no puede continuar para siempre finalmente obtenemos\(q_\ell=0\) para algunos\(\ell\). Entonces tenemos\[q_{\ell-1}=b\cdot 0+r_\ell.\nonumber \] Afirmamos que\(n=\left[r_\ell,r_{\ell-1},\dotsc,r_0\right]_b\) si\(\ell\) es el entero más pequeño tal que\(q_\ell=0\). Para ver esto, tenga en cuenta que\[n=bq_0+r_0\nonumber \] y\[q_0=bq_1+r_1.\nonumber \] De ahí\[\begin{aligned} n &=b\left(bq_1+r_1\right)+r_0 \\ n &=b^2q_1+br_1+r_0.\end{aligned}\] Continuando de esta manera nos encontramos con eso\[n=b^{\ell+1}q_{\ell}+b^\ell r_\ell+\dotsb+br_1+r_0.\nonumber \] Y, ya\[\label{eq: base b again} n=b^\ell r_\ell+\dotsb+br_1+r_0,\] que\(q_\ell=0\) tenemos lo que demuestra que\[n=\left[r_\ell,\dotsc,r_1,r_0\right]_b.\nonumber \] Para ver que esta representación es única, señalar que a partir de la ecuación\(\eqref{eq: base b again}\) tenemos\[n=b\left(b^{\ell-1}r_\ell+\dotsb+r_1\right)+r_0,\quad 0\le r_0<b.\nonumber \] Por el Algoritmo de División se deduce que\(r_0\) está determinado de manera única por\(n\), como es el cociente\(q=b^{\ell-1}r_\ell+\dotsb+r_1\). Un argumento similar muestra que\(r_1\) está determinado de manera única. Continuando de esta manera vemos que todos los dígitos\(r_\ell,r_{\ell-1},\dotsc,r_0\) están determinados de manera única.
Podemos utilizar la idea de la prueba del Teorema\(\PageIndex{1}\), aplicaciones repetidas del Algoritmo de División, para expresar números en una base arbitraria. A continuación se presentan algunos ejemplos.
- Encontramos la\(7\) representación base de\(1\),\(749\). \[\begin{aligned} 1749 &=249\cdot 7+6 \\ 249 &=35\cdot 7+4 \\ 35 &=5\cdot 7+0 \\ 5 &=0\cdot 7+5\end{aligned}\]De ahí\(1749=[5,0,4,6]_7\).
- Encontramos la\(12\) representación base de\(19\),\(151\). \[\begin{aligned} 19,151 &=1595\cdot 12+11 \\ 1,595 &=132\cdot 12+11 \\ 132 &=11\cdot 12+0 \\ 11 &=0\cdot 12+11\end{aligned}\]\(\therefore 19,151=[11,0,11,11]_{12}\).
- Encuentra la\(10\) representación base de\(1\),\(203\). \[\begin{aligned} 1203 &=120\cdot 10+3 \\ 120 &= 12\cdot 10+0 \\ 12 &=1\cdot 10+2 \\ 1 &=0\cdot 10+1\end{aligned}\]\(\therefore 1203=[1,2,0,3]_{10}\).
- Encuentra la representación base\(2\) (binaria) de\(137\). \[\begin{aligned} 137 &=2\cdot 68+1 \\ 68 &=2\cdot 34+0 \\ 34 &=2\cdot 17+0 \\ 17 &=2\cdot 8+1 \\ 8 &=2\cdot 4+0 \\ 4 &=2\cdot 2+0 \\ 2 &=2\cdot 1+0 \\ 1 &=2\cdot 0+1\end{aligned}\]\(\therefore 137=[1,0,0,0,1,0,0,1]_2\).
Para encontrar la representación binaria de un número pequeño, el siguiente método suele ser más fácil que el método anterior:
Dado\(n>0\) dejó\(2^{n_1}\) ser el mayor poder de\(2\) satisfacción\(2^{n_1}\le n\). Que\(2^{n_2}\) sea el mayor poder de\(2\) satisfacer\[2^{n_2}\le n-2^{n_1}.\nonumber \] Dejemos\(2^{n_3}\) ser el mayor poder de\(2\) satisfacción\[2^{n_3}\le n-2^{n_1}-2^{n_2}.\nonumber \] Tenga en cuenta que en este punto tenemos\[0\le n-\left(2^{n_1}+2^{n_2}+2^{n_3}\right)<n-\left(2^{n_1}+2^{n_2}\right)<n-2^{n_1}<n.\nonumber \] Continuando de esta manera, eventualmente obtenemos\[0=n-\left(2^{n_1}+2^{n_2}+\dotsb+2^{n_k}\right).\nonumber \] Entonces \(n=2^{n_1}+2^{n_2}+\dotsb+2^{n_k}\), y esto da la representación binaria de\(n\).
Tomar\(n=137\). Tenga en cuenta que\(2^1=2\)\(2^2=4\),\(2^3=8\),\(2^4=16\),\(2^5=32\),\(2^6=64\),,\(2^7=128\), y\(2^8=256\). Usando el método anterior calculamos:\[\begin{aligned} 137-2^7 &=137-128=9, \\ 9-2^3 &=1, \\ 1-2^0 &=0.\end{aligned}\] Así que tenemos\[\begin{gathered} 137=2^7+9=2^7+2^3+1, \\ \therefore 137=2^7+0\cdot2^6+0\cdot2^5+0\cdot2^4+2^3+0\cdot2^2+0\cdot 2+1.\end{gathered}\] So\(137=[1,0,0,0,1,0,0,1]_2\).
Ejercicios
Generaliza las siguientes observaciones\[\begin{aligned} 1 &=[1]_2 \\ 3 &=[1,1]_2 \\ 7 &=[1,1,1]_2 \\ 15 &=[1,1,1,1]_2 \\ 31 &=[1,1,1,1,1]_2 \\ 63 &=[1,1,1,1,1,1]_2\end{aligned}\] notando un patrón en los números en los lados izquierdos y conjeturando una fórmula para el número que tiene\(n\) 1's en su representación binaria. Demuestra tu generalización.
(Pista: Ver Ejercicio 1.3.8.)
Generalizar la siguiente observación:\[\begin{aligned} 2 &=[2]_3\\ 8 &=[2,2]_3 \\ 26 &=[2,2,2]_3 \\ 80 &=[2,2,2,2]_3 \\ 242 &=[2,2,2,2,2]_3\end{aligned}\] notando un patrón en los números en los lados izquierdos y conjeturando una fórmula para el número que tiene\(n\) 2's en su representación ternaria. Demuestra tu generalización.
(Pista: Ver Ejercicio 1.3.8.)
Generalizar Ejercicios\(\PageIndex{1}\) y \(\PageIndex{2}\)a una base arbitraria\(b\ge 2\).
Mostrar cómo usar ambos métodos para encontrar la representación binaria de\(455\).
Hacer una lista vertical de la representación binaria de los enteros 1 a 16.
Encuentra la representación decimal de cada uno de los siguientes números.
- \([5,3,6,2]_7\);
- números hexadecimales FEEDAFACE y BADBEEF.
Siguiendo la técnica del Ejemplo\(\PageIndex{1}\), encuentra las representaciones de 12345 en (i) base 3 y (ii) base 8. Para ambas partes (i) y (ii), muestre su trabajo con el mismo nivel de detalle que Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
Encuentra la representación de base 7 del número\([1,2,3,4,5,6,7,8]_9\).
Demostrar que si\(a\in\mathbb{N}\) es un número\(n\) -dígito, entonces\(n={\mbox{\) (a)\(}}+1\). Aquí\(\log\) significa logaritmo a la base 10. Así\({\mbox{\) (a)\(}}+1\) es una fórmula para el número de dígitos en\(a\).
(Pista: para probar la ecuación, mostrar que si la ecuación se\(\eqref{decimalrep}\) mantiene con\(a_{n-1}\neq 0\) entonces\(10^{n-1}\le a<10^n\). Entonces aplicar el\(\log\) a todos los términos de esta desigualdad. Esto está permitido ya que\(\log\) es una función creciente en el conjunto de números reales positivos.)
Utilice el ejercicio anterior para determinar el número de dígitos en la representación decimal del número\(2^{3321928}\).
(Pista: recuerda que\(\log(x^y)=y\log(x)\) cuando\(x\) y\(y\) son positivos.)
Recordemos que\(\log_b(a)\) significa el logaritmo de\(a\) con base\(b\). ¿Se pueden adaptar las ideas de Ejercicio\(\PageIndex{9}\) para encontrar una fórmula para el número de dígitos en la\(b\) representación base de\(a\)?