1.22: Los Grupos Um

Definición\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(m>0\). Una clase de residuo\([a]\in\mathbb{Z}_m\) se llama unidad si hay otra clase de residuo\([b]\in\mathbb{Z}_m\) tal que\([a][b]=[1]\). En este caso\([a]\) y\([b]\) se dice que son inversos el uno del otro en\(\mathbb{Z}_m\).

Teorema \(\PageIndex{1}\)

Vamos\(m>0\). Una clase de residuo\([a]\in\mathbb{Z}_m\) es una unidad si y solo si\(\gcd(a,m)=1\).

Prueba

Dejar\([a]\) ser una unidad. Entonces hay algunos\([b]\) tales que\([a][b]=[1]\). De ahí\([ab]=[1]\) que así\(ab\equiv 1\pmod m\). Así que por Teorema 1.20.2,\(\gcd(a,m)=1\).

Para probar lo contrario, vamos\(\gcd(a,m)=1\). Entonces por Teorema 1.20.1, hay un entero\(a^\ast\) tal que\(aa^{\ast}\equiv 1\pmod m\). De ahí,\([aa^\ast]=[1]\). Entonces\([a][a^\ast]=[aa^\ast]=[1]\), y podemos tomar\(b=a^\ast\).

Vemos del Teorema 1.20.6 que si\([a]=[b]\) (es decir,\(a\equiv b\pmod m\)) entonces\(\gcd(a,m)=1\Leftrightarrow\gcd(b,m)=1\). Entonces, al verificar si una clase de residuo es o no una unidad, podemos usar cualquier representante de la clase.

Los elementos\([1]\) y siempre\([m-1]\) son unidades en\(\mathbb{Z}_m\) (ver Ejercicio\(\PageIndex{1}\)). La colección en todas las unidades\(\mathbb{Z}_m\) será nuestro próximo enfoque.

Definición\(\PageIndex{2}\)

El conjunto de todas las unidades en\(\mathbb{Z}_m\) se denota por\(U_m\) y se llama el grupo de unidades de\(\mathbb{Z}_m\). Véase el Apéndice C para la definición de grupo.

Teorema \(\PageIndex{2}\)

Vamos\(m>0\), entonces\[U_m=\{[i]\mid 1\le i\le m\text{ and }\gcd(i,m)=1\}.\nonumber \]

Prueba

Sabemos que si\([a]\in\mathbb{Z}_m\) entonces\([a]=[i]\) donde\(0\le i\le m-1\). Si\(m=1\) entonces\(\mathbb{Z}_m=\mathbb{Z}_1=\{[0]\}=\{[1]\}\) y desde entonces\([1][1]=[1]\),\([1]\) es una unidad,\(U_1=\{[1]\}\) y el teorema sostiene. Si\(m\ge 2\), entonces sólo\(\gcd(i,m)=1\) puede suceder si\(1\le i\le m-1\), ya que\(\gcd(0,m)=\gcd(m,m)=m\ne 1\). Entonces el teorema se desprende del Teorema\(\PageIndex{1}\) y de las observaciones anteriores.

Teorema \(\PageIndex{3}\)

(\(U_m\)es un grupo \(^{1}\)bajo multiplicación.)

1. Si\([a],[b]\in U_m\) entonces\([a][b]\in U_m\).
2. Para todos\([a]\),\([b]\),\([c]\) en\(U_m\) tenemos\(([a][b])[c]=[a]([b][c])\).
3. \([1][a]=[a][1]=[a]\)para todos\([a]\in U_m\).
4. Para cada uno\([a]\in U_m\) hay\([b]\in U_m\) tal que\([a][b]=[1]\).
5. Por todo\([a],[b]\in U_m\) lo que tenemos\([a][b]=[b][a]\).

Prueba

Ver Ejercicio\(\PageIndex{2}\).

Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

Usando Teorema\(\PageIndex{2}\) vemos que\[\begin{split} U_{15} &=\{[1],[2],[4],[7],[8],[11],[13],[14]\} \\ &=\{[1],[2],[4],[7],[-7],[-4],[-2],[-1]\}. \end{split}\]

Tenga en cuenta que el uso de representantes para el módulo de clases de residuo\(15\) con el menor valor absoluto posible simplifica un poco la multiplicación. (Es más fácil multiplicar por uno de\(-1\),\(-2\),\(-4\) o\(-7\), generalmente, que multiplicar por uno de\(14\),\(13\),\(11\), o\(8\).) En lugar de escribir toda la tabla de multiplicación, solo encontramos la inversa de cada elemento de\(U_{15}\):\[\begin{aligned} [1][1] &=[1] \\ [2][-7] &=[2][8]=[1] \\ [4][4] &=[1] \\ [7][-2] &=[7][13]=[1] \\ [-4][-4] &=[11][11]=[1] \\ [-1][-1] &=[14][14]=[1].\end{aligned}\]

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si\(m>0\),\[|U_m|=\phi(m),\nonumber \] donde\(\phi\) denota la función totiente de Euler.

Recordemos que\(\phi\) se introdujo en la Sección 1.15. Observe que

\(U_1\)	\(=\)	\(\{[1]\}\)	y	\(\phi(1)\)	\(=\)	\(1\)
\(U_2\)	\(=\)	\(\{[1]\}\)	y	\(\phi(2)\)	\(=\)	\(2-1=1\)
\(U_3\)	\(=\)	\(\{[1],[2]\}\)	y	\(\phi(3)\)	\(=\)	\(3-1=2\)
\(U_4\)	\(=\)	\(\{[1],[3]\}\)	y	\(\phi(4)\)	\(=\)	\(2^2-2^1 = 2\)
\(U_5\)	\(=\)	\(\{[1],[2],[3],[4]\}\)	y	\(\phi(5)\)	\(=\)	\(5-1=4\)
\(U_6\)	\(=\)	\(\{[1],[5]\}\)	y	\(\phi(6)\)	\(=\)	\((2-1)(3-1)=2\)
\(U_7\)	\(=\)	\(\{[1],[2],[3],[4],[5],[6]\}\)	y	\(\phi(7)\)	\(=\)	\(7-1=6\).

Ejercicios

Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

Dado\(m \geq 2\), mostrar eso\([1]\) y siempre\([m-1]\) son unidades en\(\mathbb{Z}_m\).

(Pista: Usa el hecho de que\([m-1]=[-1]\).)

Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Enumere los elementos de\(U_7\) al menos dos formas diferentes (es decir, usando dos conjuntos diferentes de representantes para los nombres) y encuentre la inversa de cada elemento, como en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los conjuntos\(U_m\), para\(8\le m\le 20\). Tenga en cuenta que\(|U_m|=\phi(m)\). Use Teorema 1.15.6 para calcular\(\phi(m)\) y verificar que tenga el número correcto de elementos para cada conjunto\(U_m\),\(8\le m\le 20\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Utilizando el hecho de que\([3]\) y\([19]\) son elementos de\(U_{20}\), utilizar la suma y multiplicación de clases de residuos (NO resta o división, que no hemos definido) para resolver las congruencias para\([x]\) abajo. Supongamos que el módulo es\(m=20\).

1. \([3][x] + [11] = [4]\)
2. \([19][x] + [2] = [7]\)

Notas al pie

[1] En realidad (1) {(4) son todo lo que se requiere para\(U_n\) to be a group. Property (5) says that \(U_n\) is an Abelian group. See Appendix C.