2.1: Proposiciones

Las reglas de la lógica nos permiten distinguir entre argumentos válidos e inválidos. Además de las matemáticas, la lógica tiene numerosas aplicaciones en la informática, incluyendo el diseño de circuitos informáticos y la construcción de programas informáticos. Para analizar si un cierto argumento es válido, primero extraemos su sintaxis.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:prop-01}\)

Estos dos argumentos:

• Si\(x+1=5\), entonces\(x=4\). Por lo tanto, si\(x\neq4\), entonces\(x+1\neq5\).

• Si veo futbol el lunes por la noche, entonces me perderé la clase del martes siguiente a las 8 de la mañana. Por lo tanto, si no falto a mi clase del martes 8 de la mañana, entonces no vi fútbol la noche del lunes anterior.

utilizar el mismo formato:

Si p entonces q. Por lo tanto si\(q\) es falso entonces\(p\) es falso.

Si podemos establecer la validez de este tipo de argumentos, entonces hemos demostrado de inmediato que ambos argumentos son legítimos. De hecho, también hemos demostrado que cualquier argumento que utilice el mismo formato también es creíble.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:prop-01}\)

¿Se puede dar otro argumento que utilice el mismo formato en el último ejemplo?

En matemáticas, nos interesan declaraciones que puedan ser probadas o desmentidas. Definimos una proposición (a veces llamada declaración, o aserción) para que sea una oración que sea verdadera o falsa, pero no ambas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:prop-02}\)

Las siguientes frases:

• Barack Obama es el presidente de Estados Unidos.

• \(2+3=6\).

son proposiciones, porque cada una de ellas es verdadera o falsa (pero no ambas).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:prop-03}\)

Estas dos frases:

• ¡Ay!

• ¿Qué hora es?

no son proposiciones porque no proclaman nada; son exclamación y cuestionamiento, respectivamente.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:prop-04}\)

Explique por qué las siguientes frases no son proposiciones:

1. \(x+1 = 2\).
2. \(x-y = y-x\).
3. \(A^2 = 0\)implica\(A = 0\).

Solución

1. Esta ecuación no es una afirmación porque no podemos decir si es verdadera o falsa a menos que sepamos el valor de\(x\). Es cierto cuando\(x=1\); es falso para otros\(x\) -valores. Dado que la oración a veces es verdadera y a veces falsa, no puede ser una declaración.
2. Por la misma razón, como a veces\(x-y=y-x\) es cierto y a veces falso, no puede ser una declaración.
3. Esto parece una declaración porque parece ser cierto todo el tiempo. Sin embargo, esto no es una declaración, porque nunca decimos lo que\(A\) representa. El reclamo es verdadero si\(A\) es un número real, pero no siempre es cierto si\(A\) es una matriz ¹. Por lo tanto, no es una proposición.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:prop-02}\)

Explique por qué estas oraciones no son proposiciones:

1. Es el mariscal de campo de nuestro equipo de futbol.
2. \(x+y=17\).
3. \(AB=BA\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:prop-05}\)

Si bien la frase “\(x+1=2\)” no es una declaración, podemos cambiarla en una declaración agregando alguna condición sobre\(x\). Por ejemplo, la siguiente es una afirmación verdadera:

Para algún número real\(x\), tenemos\(x+1=2\).

y la declaración

Para todos los números reales\(x\), tenemos\(x+1=2\).

es falso. Las partes de estas dos declaraciones que dicen “para algún número real\(x\)” y “para todos los números reales\(x\)” se denominan cuantificadores. Los estudiaremos en la Sección 6.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:prop-06\)

Diciendo que

“Una declaración no es una proposición si no podemos decidir si es verdadera o falsa”.

es diferente de decir que

“Una declaración no es una proposición si no
sabemos verificar si es verdadera o falsa”.

El tema más importante es si el valor de verdad de la afirmación se puede determinar en teoría. Considerar la sentencia

Cada entero par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos primos.

Nunca nadie ha probado o desmentido esta afirmación, por lo que no sabemos si es verdadera o falsa, a pesar de que los datos computacionales sugieren que es verdad. Sin embargo, es una proposición porque es verdadera o falsa pero no ambas. Es imposible que esta frase sea cierta a veces, y falsa en otras ocasiones. Con el avance de las matemáticas, alguien puede ser capaz de probarlo o desacreditarlo en el futuro. El ejemplo anterior es la famosa Conjetura de Goldbach, que data de 1742.

Usualmente usamos las letras minúsculas\(p\),\(q\) y\(r\) para representar proposiciones. Esto se puede comparar con el uso de variables\(x\),\(y\) y\(z\) para denotar números reales. Dado que los valores de verdad de\(p\)\(q\),, y\(r\) varían, se denominan variables proposicionales. Una proposición tiene sólo dos valores posibles: es verdadero o falso. A menudo abreviamos estos valores como T y F, respectivamente.

Ante una proposición\(p\), formamos otra proposición cambiando su valor de verdad. El resultado se llama la negación de\(p\), y se denota\(\neg p\) o\(\altneg p\), ambos se pronuncian como “no”\(p\). La similitud entre las notaciones\(\neg p\) y\(-x\) es obvia.

También podemos escribir la negación de\(p\) as\(\overline{p}\), que se pronuncia como “\(p\)bar”. El valor de verdad\(\overline{p}\) es opuesto al de\(p\). De ahí\(p\) que si es verdad, entonces\(\overline{p}\) sería falso; y si\(p\) es falso, entonces\(\overline{p}\) sería verdad. Resumimos estos resultados en una tabla de verdad:

\(p\)	\(\overline{p}\)
T	F
F	T

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:prop-07}\)

Encuentra la negación de las siguientes afirmaciones:

1. George W. Bush es el presidente de Estados Unidos.
2. No es cierto que Nueva York sea el estado más grande de Estados Unidos.
3. \(x\)es un número real tal que\(x=4\).
4. \(x\)es un número real tal que\(x<4\).

Si es necesario, puede reformular las declaraciones negadas y cambiar una notación matemática por una más apropiada.

Contestar

1. George W. Bush no es el presidente de Estados Unidos.
2. Es cierto que Nueva York es el estado más grande de Estados Unidos.
3. La frase “\(x\)es un número real” describe qué tipo de números estamos considerando. La parte principal de la proposición es la proclamación que\(x=4\). De ahí que sólo necesitamos negar “\(x=4\)”. La respuesta es:\[\mbox{$x$ is a real number such that $x\neq4$}.\]
4. \(x\)es un número real tal que\(x\geq4\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:prop-03}\)

1. \(x\)es un número entero mayor que 7. 0.4in
2. Podemos facturar 144 en un producto de números primos. 0.4in
3. El número 64 es un cuadrado perfecto.

Ya que estaremos estudiando números a lo largo de este curso, es conveniente introducir algunas anotaciones para facilitar nuestra discusión. Let

\[\begin{aligned} \mathbb{N} &=& \mbox{the set of natural numbers (positive integers),} \\ \mathbb{Z} &=& \mbox{the set of integers,} \\ \mathbb{R} &=& \mbox{the set of real numbers, and} \\ \mathbb{Q} &=& \mbox{the set of rational numbers.} \end{aligned}\]

Recordemos que un número racional es un número que se puede expresar como una relación de dos enteros. De ahí que se pueda escribir un número racional como\(\frac{m}{n}\) para algunos enteros\(m\) y\(n\), donde\(n\neq0\). Si usa un procesador de textos, y no puede encontrar, por ejemplo\(\mathbb{N}\), el símbolo, puede usar negrita N como reemplazo.

Usualmente usamos letras mayúsculas como\(A\),,\(B\)\(C\),\(S\) y\(T\) para representar conjuntos, y denotar sus elementos por las letras minúsculas correspondientes\(a\),\(b\),\(c\),\(s\), y\(t\), respectivamente. Para indicar que\(b\) es un elemento del conjunto\(B\), adoptamos la notación

\[b \in B \qquad\mbox{[pronounced as ``$b$ belongs to $B$'']}.\]

Ocasionalmente, también usamos la notación

\[B \ni b \qquad\mbox{[pronounced as ``$B$ contains $b$'']}.\]

En consecuencia, decir\(x\in\R\) es otra forma de decir\(x\) es un número real.

Denote el conjunto de números reales positivos, el conjunto de números reales negativos y el conjunto de números reales distintos de cero, insertando el signo apropiado en el superíndice:

\[\begin{aligned} \mathbb{R}^+ &=& \mbox{the set of all positive real numbers}, \\ \mathbb{R}^- &=& \mbox{the set of all negative real numbers}, \\ \mathbb{R}^* &=& \mbox{the set of all nonzero real numbers}. \end{aligned}\]

La misma convención se aplica a\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Q}\). Observe que\(\mathbb{Z}^+\) es lo mismo que\(\N\).

Además, si\(S\) es un conjunto de números, y\(k\) es un número, a veces usamos la notación\(kS\) para indicar el conjunto de números obtenidos multiplicando\(k\) por cada número en\(S\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:kS}\)

La notación\(2\Z\) denota el conjunto de todos los enteros pares. Toma nota que un entero par puede ser positivo, negativo o incluso cero.

Resumen y revisión

• Una proposición (declaración o aserción) es una oración que es siempre verdadera o siempre falsa.
• Se denota la negación\(p\) de la declaración\(\neg p\),\(\altneg p\), o\(\overline{p}\).
• Podemos describir el efecto de una operación lógica mostrando una tabla de verdad que cubre todas las posibilidades (en términos de valores de verdad) involucradas en la operación.
• Las notaciones\(\mathbb{R}\),\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{Z}\), y\(\mathbb{N}\) representan el conjunto de números reales, números racionales, enteros y números naturales (enteros positivos), respectivamente.
• Si\(S\) denota un conjunto de números,\(S^+\) significa el conjunto de números positivos en\(S\),\(S^-\) significa el conjunto de números negativos en\(S\), y\(S^*\) significa el conjunto de números distintos de cero en\(S\).
• Si\(S\) denota un conjunto de números, y\(k\) es un número real, entonces\(kS\) significa el conjunto de números obtenidos multiplicando\(k\) por cada número en\(S\).

Ejercicios\(\PageIndex{}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:prop-01}\)

Indicar cuáles de las siguientes son proposiciones (supongamos que\(x\) y\(y\) son números reales).

1. El entero 36 es par.
2. ¿Es\(3^{15}-8\) par el entero?
3. El producto de 3 y 4 es 11.
4. La suma de\(x\) y\(y\) es 12.
5. Si\(x>2\), entonces\(x^2\geq3\).
6. \(5^2-5+3\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:prop-02}\)

¿Cuáles de las siguientes son proposiciones (supongamos que\(x\) es un número real)?

1. \(2\pi+5\pi = 7\pi\).
2. El producto de\(x^2\) y\(x^3\) es\(x^6\).
3. No es posible que sea\(3^{15}-7\) a la vez par y impar.
4. Si el entero\(x\) es impar, ¿es\(x^2\) impar?
5. El entero\(2^{524287}-1\) es primo.
6. \(1.7+.2 = 4.0\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:prop-03}\)

Determinar los valores de verdad de estas afirmaciones:

1. El producto de\(x^2\) y\(x^3\) es\(x^6\) para cualquier número real\(x\).
2. \(x^2>0\)para cualquier número real\(x\).
3. El número\(3^{15}-8\) es par.
4. La suma de dos enteros impares es par.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:prop-04}\)

Determinar los valores de verdad de estas afirmaciones:

1. \(\pi\in\Z\).
2. \(1^3+2^3+3^3 = 3^2\cdot4^2/4\).
3. \(u\)es una vocal.
4. Esta afirmación es a la vez verdadera y falsa.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:prop-05}\)

Negar las afirmaciones en Problema [ex:prop-04].

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:prop-06}\)

Determinar los valores de verdad de estas afirmaciones:

1. \(\sqrt{2}\in\Z\)
2. \(-1\notin\Z^+\)
3. \(0\in\N\)
4. \(\pi\in\R\)
5. \(\frac{4}{2}\in\Q\)
6. \(1.5\in\Q\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:prop-07}\)

Determine si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. \(0\in\Q\)
2. \(0\in\Z\)
3. \(-4\in\Z\)
4. \(-4\in\N\)
5. \(2\in3\Z\)
6. \(-18\in3\Z\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:prop-08}\)

Negar las siguientes afirmaciones sobre el número real\(x\):

1. \(x>0\)
2. \(x\leq-5\)
3. \(7\leq x\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:prop-09}\)

Explique por qué\(7\Q=\Q\). ¿Sigue siendo cierto eso\(0\Q = \Q\)?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:prop-10}\)

Encuentra el (los) número (s)\(k\) tal que\(k\Z=\Z\).