2.2: Conjunciones y Disyunciones

Dados dos números reales\(x\) y\(y\), podemos formar un nuevo número por medio de suma, resta, multiplicación, o división, denotado\(x+y\),\(x-y\),\(x\cdot y\), y\(x/y\), respectivamente. Los símbolos\(+\),\(-\),\(\cdot\), y\(/\) son operadores binarios porque todos trabajan en dos operandos. De hecho, el signo negativo\(-x\) puede considerarse como un operador unario que cambia el signo de\(x\).

De manera similar, a partir de una o más sentencias lógicas, podemos formar una declaración compuesta uniéndolas con operadores lógicos, que también se denominan conectivos lógicos porque se utilizan para conectar sentencias lógicas. Obviamente, la negación es una operación unaria.

Dado que una declaración compuesta es en sí misma una declaración, es verdadera o falsa. Por lo tanto, definimos una operación lógica describiendo el valor de verdad de la declaración compuesta resultante. Las dos primeras operaciones binarias que estudiaremos son conjunción y disyunción. Realizan las operaciones “y” y “o”, respectivamente.

nombre	significado	notación	valor de verdad
conjunción	\(p\)y\(q\)	\(p \wedge q\)	true si ambos\(p\) y\(q\) son verdaderos, false en caso contrario
disyunción	\(p\)o\(q\)	\(p \vee q\)	false si ambos\(p\) y\(q\) son falsos, true de lo contrario

Sus valores de verdad se resumen en la siguiente tabla de verdad:

\(p\)	\(q\)	\(p\wedge q\)	\(p\vee q\)
\ (p\)” style="text-align:center;” class="LT-MATH-8387">T	\ (q\)” style="text-align:center;” class="LT-MATH-8387">T	\ (p\ wedge q\)” style="text-align:center;” class="LT-MATH-8387">T	\ (p\ vee q\)” style="text-align:center;” class="LT-MATH-8387">T
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Ejemplo\(\PageIndex{1} \label{eg:conjdisj-01}\)

No usar notaciones matemáticas como abreviatura por escrito. Por ejemplo, no escribas “\(x \wedge y\)son números reales” si quieres decir “\(x\)y\(y\) son números reales”.

De hecho, la frase “\(x \wedge y\)son números reales” es sintácticamente incorrecta. Dado que\(\wedge\) es un operador lógico binario, se utiliza para conectar dos sentencias lógicas. Aquí, el “\(x\)” antes no\(\wedge\) es una afirmación lógica. Por lo tanto no podemos escribir “\(x \wedge y\)son números reales”.

Por cierto, la afirmación “\(x\)y\(y\) son números reales” es en realidad una conjunción. Significa “\(x\)es un número real y\(y\) es un número real”, o simbólicamente,\[(x\in\mathbb{R}) \wedge (y\in\mathbb{R}).\] Es incorrecto escribir “”\(x\wedge y\in\mathbb{R}\). ¿Puedes explicar por qué?

ejercicio práctico\(\PageIndex{1} \label{he:conjdisj-01}\)

Escribe “\(x\)y\(y\) son racionales” como conjunción, primero en palabras, luego en símbolos matemáticos.

Ejemplo\(\PageIndex{2} \label{eg:conjdisj-02}\)

La declaración “Nueva York es el estado más grande de Estados Unidos y la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York” es claramente una conjunción. Una conjunción de dos afirmaciones es cierta sólo cuando ambas declaraciones son verdaderas. Dado que Nueva York no es el estado más grande de Estados Unidos, la conjunción es falsa.

En general, en conjunción de dos afirmaciones, si la primera declaración es falsa, no es necesaria una mayor consideración de la segunda declaración ya que sabemos que la conjunción debe ser falsa. En informática, a esto se le conoce como la evaluación de cortocircuitos.

Ejemplo\(\PageIndex{3} \label{eg:conjdisj-03}\)

La declaración “\(\sqrt{30}\)es mayor que 6 o\(\sqrt{30}\) es menor que 5” puede expresarse simbólicamente como\[\big(\sqrt{30}>6\big) \vee \big(\sqrt{30}<5\big).\] Ambas declaraciones “\(\sqrt{30}>6\)” y “\(\sqrt{30}<5\)” son falsas. De ahí que su disyunción también sea falsa.

Ejemplo\(\PageIndex{4} \label{eg:conjdisj-04}\)

Determinar los valores de verdad de las siguientes afirmaciones:

• \(\big(\sqrt{30}>5\big) \wedge \big(\sqrt{30}>7\big)\)
• \(\big(\sqrt{30}<5\big)\)O bien\(\big(\sqrt{30}>7\big)\)

Solución

(a) Puesto que\(\sqrt{30}>5\) es cierto, pero\(\sqrt{30}>7\) es falso, su conjunción es falsa.

b) Puesto que\(\sqrt{30}<5\) es falso, y también\(\sqrt{30}>7\) es falso, su disyunción es falsa.

ejercicio práctico\(\PageIndex{2} \label{he:conjdisj-02}\)

Determinar los valores de verdad de las siguientes afirmaciones:

• \(\big(\sqrt{30}<5\big)\)y\(\big(\sqrt{30}>7\big)\).
• \(\big(\sqrt{30}>5\big) \vee \big(\sqrt{30}<7\big)\).

Asegúrate de mostrar tus razones.

ejemplo\(\PageIndex{5} \label{eg:twoleg}\)

¿Qué significa realmente “\(0 \leq x \leq 1\)”, lógicamente?

Solución

Significa la conjunción “\((0 \leq x) \wedge (x \leq 1)\).” De ahí que, dado un número real\(x\), para probar si\(0\leq x\leq 1\), tenemos que comprobar si\(0\leq x\) y\(x\leq 1\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{3} \label{he:conjdisj-03}\)

Escribir\(5<x<8\) como una conjunción.

ejercicio práctico\(\PageIndex{4} \label{he:conjdisj-04}\)

Muchos estudiantes asumen que pueden negar “\(0 \leq x \leq 1\)” invirtiendo las señales. Sin embargo, ni “\(0\geq x\geq 1\)” ni “\(0 > x > 1\)” es la negación correcta. Por ejemplo, ¿qué significa realmente “\(0\geq x\geq 1\)”? En realidad, la afirmación “\(0\geq x\geq 1\)” es sintácticamente correcta, y siempre es falsa. ¿Puedes explicar por qué?

En el uso cotidiano de la mayoría de los idiomas, cuando decimos “\(p\)o”\(q\), normalmente nos referimos a exclusivo o, lo que significa cualquiera\(p\) o\(q\) es cierto, pero no ambos. Un ejemplo es “o apruebo o repruebo este curso”, lo que realmente significa

O apruebo este curso o repruebo este curso.

A veces, como se ilustra en el comunicado

O apruebas este curso, o yo paso este curso.

el conectivo “o” puede interpretarse como un inclusivo o. El significado real de “o” en las lenguas humanas depende del contexto. En matemáticas, sin embargo, “o” siempre significa inclusivo o.

Resumen y revisión

• La conjunción “\(p\)y\(q\)” se denota “\(p\wedge q\)”. Es cierto sólo cuando ambos\(p\) y\(q\) son ciertos.
• La disyunción “\(p\)o\(q\)” se denota “\(p\vee q\)”. Es falso sólo cuando ambos\(p\) y\(q\) son falsos.
• La desigualdad “\(a<x<b\)” es en realidad una conjunción, significa “\((a<x) \wedge (x<b)\)”.
• De igual manera, la frase “\(x\)y\(y\) son racionales” también es una conjunción, significa “\(x\)es racional y\(y\) es racional”. Simbólicamente, podemos escribir”\(x\in\mathbb{Q} \wedge y\in\mathbb{Q}\).”

Ejercicio\(\PageIndex{1} \label{ex:conjdisj-01}\)

Dejar\(p\),\(q\), y\(r\) representar las siguientes declaraciones:

\(p\):	Sam tuvo pizza anoche.
\(q\):	Chris terminó su tarea.
\(r\):	Pat vio las noticias esta mañana.

Dar una fórmula (usando los símbolos apropiados) para cada una de estas declaraciones:

• Sam comió pizza anoche y Chris terminó su tarea.
• Chris no terminó su tarea y Pat vio las noticias esta mañana.
• Sam no tenía pizza anoche o Chris no terminó su tarea.
• O Chris terminó su tarea o Pat vio las noticias esta mañana, pero no ambas.

Ejercicio\(\PageIndex{2} \label{ex:conjdisj-02}\)

Definir las variables proposicionales\(p\)\(q\), y\(r\) como en el Problema 1. Expresar, en palabras, las declaraciones representadas por las siguientes fórmulas:

• \(p\vee q\)
• \(q\wedge r\)
• \((p\wedge q)\vee r\)
• \(\overline{p}\vee r\)

Ejercicio\(\PageIndex{3} \label{ex:conjdisj-03}\)

Considera las siguientes afirmaciones:

\(p\):	Niagara Falls está en Nueva York.
\(q\):	La ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
\(r\):	La ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.

El enunciado\(p\) es cierto, pero el enunciado\(q\) es falso. Representar cada una de las siguientes declaraciones mediante una fórmula. ¿Cuáles son sus valores de verdad si\(r\) es verdad? ¿Y si\(r\) es falso?

• Niagara Falls se encuentra en Nueva York y la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
• Niagara Falls se encuentra en Nueva York o la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
• O las Cataratas del Niágara están en Nueva York y la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York, o la ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.
• La ciudad de Nueva York no es la capital del estado de Nueva York y la ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.

Ejercicio\(\PageIndex{4} \label{ex:conjdisj-04}\)

Determinar los valores de verdad de estas afirmaciones:

(a)\((0\in\mathbb{Q}) \wedge (-4\in\mathbb{Z})\)

b)\((-4\in\mathbb{N}) \vee (3\in2\mathbb{Z})\)

Ejercicio\(\PageIndex{5} \label{ex:conjdisj-05}\)

Determinar los valores de verdad de estas afirmaciones:

(a)\((-3>-2) \wedge (\sqrt{3}>2)\)

b)\((4^2-5^2\leq0) \vee (\sqrt{3^2+4^2}=3+4)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6} \label{ex:conjdisj-06}\)

Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:

(a)\(p\wedge\overline{q}\)

b)\(\overline{p}\vee q\)

c)\(\overline{p\wedge q}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7} \label{ex:conjdisj-07}\)

Vuelva a escribir las siguientes expresiones como conjunción:

(a)\(4\leq x\leq 7\)

b)\(4 < x\leq 7\)

c)\(4\leq x < 7\)

Ejercicio\(\PageIndex{8} \label{ex:conjdisj-08}\)

En palabras, la desigualdad\(0<x<1\) significa “\(x\)está entre 0 y 1”. Su medio de negación\(x\) está fuera de este rango. De ahí que la negación sea “\(x\leq 0\)o”\(x\geq1\). Encuentra la negación de las siguientes desigualdades:

(a)\(0\leq x\leq 4\)

b)\(-2 < x\leq 5\)

c)\(1.76\leq x<\sqrt{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9} \label{ex:conjdisj-09}\)

En voleibol es importante saber qué equipo está sirviendo, porque un equipo anota un punto sólo si ese equipo está sirviendo y gana una volea. Si el equipo que sirve pierde la volea, entonces el otro equipo llega a servir. Así, para mantener la puntuación en un juego de voleibol entre equipos\(A\) y\(B\), puede ser útil definir variables proposicionales\(p\) y\(q\), donde\(p\) es cierto si el equipo\(A\) está sirviendo (de ahí falso si el equipo\(B\) está sirviendo); y\(q\) es cierto si equipo\(A\) gana la volea actual (de ahí falso si el equipo la\(B\) gana).

• Dar una fórmula que sea verdadera si el equipo\(A\) anota un punto y es falso de lo contrario.
• Dar una fórmula que sea verdadera si el equipo\(B\) anota un punto y es falso de lo contrario.
• Dar una fórmula que sea cierta si el equipo que sirve pierde la volea actual y es falsa de lo contrario.
• Dar una fórmula cuyo valor de verdad determine si el equipo servidor volverá a servir.

Ejercicio\(\PageIndex{10} \label{ex:conjdisj-10}\)

El exclusivo u operación, denotado\(p\veebar q\), significa “\(p\)o\(q\), pero no ambos”.

Expresar\(p\veebar q\) como una declaración lógica.

Construye la tabla de la verdad para\(p\veebar q\).