2.6: Cuantificadores lógicos

La expresión no\[x>5 \nonumber\] es ni verdadera ni falsa. De hecho, ni siquiera podemos determinar su valor de verdad a menos que sepamos el valor de\(x\). Este es un ejemplo de una función proposicional, porque se comporta como una función de\(x\), se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico\(x\). Las funciones proposicionales también se llaman predicados.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Denotar la función proposicional “\(x > 5\)” por\(p(x)\). Muchas veces escribimos\[p(x): \quad x>5. \nonumber\] No es una proposición porque su valor de verdad es indecidible, sino\(p(6)\),\(p(3)\) y\(p(-1)\) son proposiciones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:quant-02}\)

Definir\[q(x,y): \quad x+y=1. \nonumber\] ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones; cuáles no lo son?

1. \(q(x,y)\)
2. \(q(x,3)\)
3. \(q(1,1)\)
4. \(q(5,-4)\)

Para los que lo son, determinar sus valores de verdad.

Responder

Tanto (a) como (b) no son proposiciones, porque contienen al menos una variable. Tanto (c) como (d) son proposiciones;\(q(1,1)\) es falso, y\(q(5,-4)\) es cierto.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:quant-01}\)

Determinar los valores de verdad de estas afirmaciones, donde\(q(x,y)\) se define en el Ejemplo 2.6.2.

1. \(q(5,-7)\)
2. \(q(-6,7)\)
3. \(q(x+1,-x)\)

Aunque una función proposicional no es una proposición, podemos formar una proposición por medio de la cuantificación. La idea es especificar si la función proposicional es verdadera para todos o para algunos valores que las variables subyacentes puedan asumir.

Definición

La cuantificación universal de\(p(x)\) es la proposición en cualquiera de las siguientes formas:

• \(p(x)\)es cierto para todos los valores de\(x\).
• Para todos\(x\),\(p(x)\).
• Para cada uno\(x\),\(p(x)\).
• Para cada\(x\),\(p(x)\).
• Dado alguno\(x\),\(p(x)\).

Todos ellos se denotan simbólicamente por\[\forall x \, p(x), \nonumber\] lo que se pronuncia como

“para todos\(x\)\(p(x)\)”.

El símbolo\(\forall\) se llama cuantificador universal, y se puede extender a varias variables.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:quant-03}\)

El comunicado

“Para cualquier número real\(x\), siempre tenemos\(x^2\geq0\)”

es verdad. Simbólicamente, podemos escribir

\[\forall x \in \mathbb{R} \, (x^2 \geq 0), \qquad\mbox{or}\qquad \forall x \, (x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^2 \geq 0).\label{eg:forallx}\]

La segunda forma es un poco prolija, pero podría ser útil en algunas situaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:quant-04}\)

El enunciado\[\forall x\in\mathbb{R}\, (x > 5) \nonumber\] es falso porque no siempre\(x\) es mayor que 5. Para desmentir un reclamo, basta con proporcionar un solo contraejemplo. Podemos usar\(x=4\) como contraejemplo.

Sin embargo, los ejemplos no pueden ser utilizados para probar una afirmación universalmente cuantificada. Considera la afirmación\[\forall x\in\mathbb{R}\, (x^2\geq0). \nonumber\] Por cálculos directos, uno puede demostrar que\(x^2\geq0\) es cierto para muchos\(x\) -valores. Pero no prueba que sea cierto para todos\(x\), porque puede haber un contraejemplo que aún no hemos encontrado. Tenemos que usar argumentos matemáticos y lógicos para probar una afirmación de la forma “\(\forall x \, p(x)\).”

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:quant-05}\)

El comunicado

“Todo estudiante de Matemáticas Discretas ha tomado Cálculo I y Cálculo II”

es claramente una proposición universalmente cuantificada. Para expresarlo en una fórmula lógica, podemos usar una implicación: Una\[\forall x \, (x \mbox{ is a Discrete Mathematics student} \Rightarrow x \mbox{ has taken Calculus~I and Calculus~II}) \nonumber\] alternativa es decir\[\forall x \in S \, (x \mbox{ has taken Calculus~I and Calculus~II})\] dónde\(S\) representa el conjunto de todos los estudiantes de Matemáticas Discretas. Si bien la segunda forma parece más sencilla, debemos definir lo que\(S\) significa.

Definición

La cuantificación existencial de\(p(x)\) toma una de estas formas:

• Existe\(x\) tal que\(p(x)\).
• Para algunos\(x\),\(p(x)\).
• Hay algunos\(x\) tales que\(p(x)\).

Escribimos, en símbolo,\[\exists x \, p(x), \nonumber\] que se pronuncia como

“Existe\(x\) tal que”\(p(x)\).

El símbolo\(\exists\) se llama el cuantificador existencial. Se puede extender a varias variables.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:quant-06}\)

Para probar que una afirmación de la forma “\(\exists x \, p(x)\)” es cierta, basta con encontrar un ejemplo de\(x\) tal que\(p(x)\) sea cierto. Usando esta guía, ¿puedes determinar si estas dos proposiciones

1. \(\exists x\in\mathbb{R}\,(x>5)\)
2. \(\exists x\in\mathbb{R}\,(\sqrt{x}=0)\)

¿son verdad?

Responder

1. Cierto. Por ejemplo:\(x=6\).
2. Cierto. Por ejemplo:\(x=0\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:quant-07}\)

La proposición

“Existe un número primo\(x\) tal que también\(x+2\) es primo”

es verdad. Llamamos a tal par de primos primos gemelos.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:quant-02}\)

Nombra algunos ejemplos más de primos gemelos.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:quant-08}\)

La proposición

“Existe un número real\(x\) tal que\(x>5\)”

se puede expresar, simbólicamente, como\[\exists x\in\mathbb{R}\, (x>5), \qquad\mbox{or}\qquad \exists x\, (x\in\mathbb{R}\, \wedge x>5). \nonumber\] Notar que en una cuantificación existencial, utilizamos\(\wedge\) en lugar de\(\Rightarrow\) para especificar que\(x\) es un número real.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:quant-03}\)

Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

1. Para cualquier número primo\(x\), el número\(x+1\) es compuesto. 0.4in
2. Para cualquier número primo\(x>2\), el número\(x+1\) es compuesto. 0.4in
3. Existe un entero\(k\) tal que\(2k+1\) es par. 0.4in
4. Para todos los enteros\(k\), el entero\(2k\) es par. 0.4in
5. Para cualquier número real\(x\), si\(x^2\) es un número entero, entonces también\(x\) es un número entero.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:quant-04}\)

La proposición

“El cuadrado de cualquier número real es positivo”

es una cuantificación universal

“Para cualquier número real\(x\),\(x^2>0\).”

¿Es cierto o falso?

Ejemplo\(\PageIndex{9}\label{eg:quant-09}\)

Cuando están presentes múltiples cuantificadores, el orden en que aparecen es importante. Determinar si estas dos afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. \(\forall x \in \mathbb{Z} \; \exists y \in \mathbb{R}^* \, (xy < 1)\)
2. \(\exists y \in \mathbb{R}^* \; \forall x \in \mathbb{Z} \, (xy < 1)\)

Aquí,\(\mathbb{R}^*\) denota el conjunto de todos los números reales distintos de cero.

Responder

1. Para probar que la afirmación es cierta, necesitamos demostrar que no importa con qué entero\(x\) comencemos, siempre podemos encontrar un número real distinto de cero\(y\) tal que\(xy<1\). Para\(x\leq 0\), podemos escoger\(y=1\), lo que hace\(xy=x\leq0<1\). Para\(x>0\), vamos\(y=\frac{1}{x+1}\), entonces\(xy=\frac{x}{x+1}<1\). Con esto concluye la prueba de que la primera afirmación es cierta.
2. Vamos\(y=1\). ¿Podemos encontrar un entero\(x\) tal que\(xy\mathbb{N}less 1\)? ¡Definitivamente! Por ejemplo, podemos establecer\(x=2\). Este contraejemplo muestra que la segunda afirmación es falsa.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:quant-05}\)

Verdadero o falso:\(\exists y\in\mathbb{R}\, \forall x\in\mathbb{Z}\, (xy<1)\)?

Ejemplo\(\PageIndex{10}\label{eg:quant-10}\)

Muchos teoremas en matemáticas se pueden expresar como declaraciones cuantificadas. Considerar

“Si\(x\) es racional y\(y\) es irracional, entonces\(x+y\) es irracional”.

Esto es lo mismo que decir

“Siempre que\(x\) es racional y\(y\) es irracional, entonces\(x+y\) es irracional”.

La palabra clave “siempre que” sugiere que debemos usar un cuantificador universal. \[\forall x,y\,(x\mbox{ is rational} \wedge y\mbox{ is irrational} \Rightarrow x+y\mbox{ is irrational}). \nonumber\]También se puede escribir como\[\forall x\in\mathbb{Q}\,\forall y\notin\mathbb{Q}\, (x+y\mbox{ is irrational}). \nonumber\] Aunque esta forma parece complicada y parece difícil de entender (principalmente porque es bastante simbólica, de ahí que parezca abstracta e incomprensible para muchos estudiantes), proporciona una forma fácil para la negación. Vea la discusión a continuación.

El hecho de que una implicación pueda expresarse como una declaración universalmente cuantificada suena familiar. Ver Ejemplo [eg:isostrig].

Aprenderemos varias técnicas básicas de prueba en el Capítulo 3. Algunos de ellos requieren negar una declaración lógica. Dado que muchos resultados matemáticos se declaran como declaraciones cuantificadas, es necesario que aprendamos a negar una cuantificación. La regla es bastante simple. Intercambio\(\forall\) y\(\exists\), y negar la afirmación que se está cuantificando. En otras palabras,

\[\overline{\forall x\,p(x)} \equiv \exists x\,\overline{p(x)}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{\exists x\,p(x)} \equiv \forall x\,\overline{p(x)}. \nonumber\]

Si tenemos\(\forall x\in\mathbb{Z}\), solo lo cambiamos a\(\exists x \in \mathbb{Z}\) cuando tomamos la negación. No debe ser negada como\(\exists x \mathbb{N}ot\in \mathbb{Z}\). El motivo es: sólo estamos negando la cuantificación, no la pertenencia a\(x\). En símbolos, escribimos

\[\overline{\forall x\in\mathbb{Z}\,p(x)} \equiv \exists x\in\mathbb{Z}\,\overline{p(x)}. \nonumber\]

La negación de “\(\exists x\in\mathbb{Z}\,p(x)\)” se obtiene de manera similar.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\label{eg:quant-11}\)

Encontramos\[\overline{\forall x \in \mathbb{Z} \; \exists y \in \mathbb{R}^* \, (xy < 1)} \equiv \exists x\in\mathbb{Z}\; \forall y\in\mathbb{R}^*\,(xy\geq1), \nonumber\] y\[\overline{\exists y \in \mathbb{R}^* \; \forall x \in \mathbb{Z} \, (xy < 1)} \equiv \forall y\in\mathbb{R}^*\;\exists x\in\mathbb{Z}\,(xy\geq1). \nonumber\] Recuerda que no cambiamos la membresía de\(x\) y\(y\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:quant-06}\)

Niega las proposiciones en el Ejercicio Práctico 2.6.3.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\label{eg:quant-12}\)

El comunicado

“Todos los números reales\(x\) satisfacen\(x^2\geq0\)”

se puede escribir como, simbólicamente,\(\forall x\in\mathbb{R} \, (x^2 \geq 0)\). Su negación es\(\exists x\in\mathbb{R} \, (x^2 < 0)\). En palabras, dice “Existe un número real\(x\) que satisface”\(x^2<0\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{7}\label{he:quant-07}\)

Negar la declaración

“Todo estudiante de Matemáticas Discretas ha tomado Cálculo I y Cálculo II”.

Resumen y revisión

• Hay dos formas de cuantificar una función proposicional: la cuantificación universal y la cuantificación existencial.
• Están escritos en forma de “\(\forall x\,p(x)\)” y “\(\exists x\,p(x)\)” respectivamente.
• Para negar una declaración cuantificada, cambiar\(\forall\) a\(\exists\), y\(\exists\) a\(\forall\), y luego negar la declaración.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:quant-01}\)

Considere estas funciones proposicionales:

\(p(n)\):	\(n\)es primo
\(q(n)\):	\(n\)es parejo
\(r(n)\):	\(n>2\)

Exprese estas fórmulas en palabras:

1. \(\exists n\in\mathbb{Z}\,(p(n)\wedge q(n))\)
2. \(\forall n\in\mathbb{Z}\,[r(n)\Rightarrow p(n)\vee q(n)]\)
3. \(\exists n\in\mathbb{Z}\,[p(n)\wedge(q(n)\vee r(n)]\)
4. \(\forall n\in\mathbb{Z}\,[(p(n)\wedge r(n)) \Rightarrow\overline{q(n)}]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:quant-02}\)

Dar una fórmula para cada una de las siguientes declaraciones:

1. Por cada entero par\(n\) existe un entero\(k\) tal que\(n=2k\).
2. Existe un triángulo rectángulo\(T\) que es un triángulo isósceles.
3. Dado cualquier cuadrilátero\(Q\), si\(Q\) es un paralelogramo y\(Q\) tiene dos lados adyacentes que son perpendiculares, entonces\(Q\) es un rectángulo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:quant-03}\)

Determine si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. Existe un entero primo par.
2. Existen enteros\(s\) y\(t\) tal que\(1<s<t<187\) y\(st=187\).
3. Hay un entero\(m\) tal que ambos\(m/2\) es un entero y, por cada entero\(k\), no\(m/(2k)\) es un entero.
4. Dados los números reales\(x\) y\(y\),\(x^2-2xy+y^2>0\).
5. Por cada entero\(n\), existe un entero\(m\) tal que\(m>n^2\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:quant-04}\)

Determine si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. Hay un número racional\(x\) tal que\(x^2\leq0\).
2. Existe un número\(x\) tal que por cada número real\(y\),\(xy=0\).
3. Para todos\(x\in\mathbb{Z}\), o\(x\) es par, o\(x\) es impar.
4. Existe un número único\(x\) tal que\(x^2=1\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:quant-05}\)

Encuentra la negación (en la forma más simple) de cada fórmula.

1. \(\forall x<0\,\forall y,z\in\mathbb{R}\,(y<z \Rightarrow xy>xz)\)
2. \(\forall x\in\mathbb{Z}\,[p(x)\vee q(x)]\)
3. \(\forall x,y\in\mathbb{R}\,[p(x,y)\Rightarrow q(x,y)]\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:quant-06}\)

Se nieguen las siguientes afirmaciones:

1. Para todos los números reales\(x\), existe un entero\(y\) tal que\(p(x,y)\) implica\(q(x,y)\).
2. Existe un número racional\(x\) tal que para todos los enteros\(y\), ya sea\(p(x,y)\) o\(r(x,y)\) sea cierto.
3. Para todos los enteros\(x\), existe un entero\(y\) tal que si\(p(x,y)\) es verdadero, entonces existe un entero\(z\) así que eso\(q(x,y,z)\) es verdadero.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:quant-07}\)

Para cada enunciado, (i) representarlo como una fórmula, (ii) encontrar la negación (en la forma más simple) de esta fórmula, y (iii) expresar la negación en palabras.

1. Para todos los números reales\(x\) y\(y\),\(x+y=y+x\).
2. Por cada número real positivo\(x\) existe un número real\(y\) tal que\(y^2=x\).
3. Existe un número real\(y\) tal que, por cada entero\(x\),\(2x^2+1>x^2y\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:quant-08}\)

Para cada enunciado, (i) representarlo como una fórmula, (ii) encontrar la negación (en la forma más simple) de esta fórmula, y (iii) expresar la negación en palabras.

1. Existen números racionales\(x_1\) y\(x_2\) tal que\(x_1<x_2\) y\(x_1^3-x_1 > x_2^3-x_2\).
2. Para todos los números reales\(x\) y\(y\) existe un entero\(z\) tal que\(2z=x+y\).
3. Para todos los números reales\(x_1\) y\(x_2\), si\(x_1^3+x_1-2 = x_2^3+x_2-2\), entonces\(x_1=x_2\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:quant-09}\)

La forma más fácil de negar la proposición

“Un cuadrado debe ser un paralelogramo”

es decir

“No es cierto que un cuadrado deba ser un paralelogramo”.

Sin embargo, no es lo mismo que decir

“Un cuadrado no debe ser un paralelogramo”.

¿Puedes explicar por qué? ¿Cuáles son otras formas de expresar su negación con palabras?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:quant-10}\)

Nete estas declaraciones:

1. Todos los números al cuadrado son positivos.
2. Todos los jugadores de baloncesto tienen más de 6 pies de altura.
3. Ningún mariscal de campo mide menos de 6 pies de altura.

1. Algunos estudiantes pueden no estar familiarizados con las matrices. Una matriz es una matriz rectangular de números. Las matrices son herramientas importantes en matemáticas. El producto de dos matrices de tamaños apropiados se define de una manera bastante inusual. Es la peculiar forma en que se multiplican dos matrices lo que hace que las matrices sean tan útiles en matemáticas. El cuadrado de una matriz es, por supuesto, el producto de la matriz consigo misma. Está bien definido sólo cuando la matriz es una matriz cuadrada. Resulta que es importante el orden de multiplicación de dos matrices. Es decir, dadas dos matrices cualesquiera\(A\) y\(B\), eso no siempre es cierto\(AB=BA\). ↩