3.1: Una introducción a las técnicas de prueba

Una prueba es un argumento lógico que verifica la validez de una declaración. Una buena prueba debe ser correcta, pero también tiene que ser lo suficientemente clara para que otros la entiendan. En las siguientes secciones, queremos mostrarte cómo escribir argumentos matemáticos. Se necesita práctica para aprender a escribir pruebas matemáticas; ¡hay que seguir intentándolo! Nos gustaría comenzar con algunas sugerencias.

1. Escribe a nivel de tus compañeros. Una pregunta común que hacen muchos alumnos es: ¿cuánto detalle debo incluir en una prueba? Una pauta simple es escribir al nivel que tus compañeros puedan entender. Aunque puede omitir el cálculo detallado, asegúrese de incluir los pasos principales en un argumento.
2. Usa símbolos y anotaciones apropiadamente. No utilice símbolos matemáticos como abreviaturas. Por ejemplo, no escribas “\(x\)es un número”\(>4\). Use “\(x\)es un número mayor que 4” en su lugar. Tampoco use símbolos en exceso. A menudo es más claro si expresamos nuestra idea con palabras. Por último, no inicies una oración con un símbolo, como en “Supongamos\(xy>0\). \(x\)y\(y\) tienen los mismos signos”. Se vería mejor si combinamos las dos oraciones, y escribimos “Supongamos\(xy>0\), entonces\(x\) y\(y\) tenemos los mismos signos”.
3. Muestra ecuaciones largas e importantes por separado. Haga que los resultados matemáticos clave destaquen mostrándolos por separado por su cuenta. Asegúrese de centrar estas expresiones. Numércalos si necesitas referirlos más tarde. Ver Ejemplos\(1.3.1\) y\(1.3.2\) en la Sección 1.3.
4. Escriba en oraciones completas, con el uso adecuado de la gramática y la puntuación. Una prueba es, después de todo, un escrito. Debe ajustarse a las reglas de escritura habituales. Usa oraciones completas, y no olvides revisar la gramática y la puntuación.
5. Empezar con un borrador. Preparar un borrador. Cuando sienta que es correcto, comience a revisarlo: verifique la precisión, elimine la redundancia y simplifique la estructura de la oración. Organizar el argumento en párrafos cortos para mejorar la legibilidad de una prueba. Repasa la prueba y refina aún más.

Algunas pruebas solo requieren cómputos directos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:pfintro-01}\)

Dejemos\(a\) y\(b\) sean dos números racionales tales que\(a<b\). Mostrar que el promedio ponderado\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) es un número racional entre\(a\) y\(b\).

Solución

Dado que\(a\) y\(b\) son números racionales, podemos escribir\(a=\frac{m}{n}\) y\(b=\frac{p}{q}\) para algunos enteros\(m\),\(n\),\(p\), y\(q\), dónde\(n,q\neq0\). Entonces\[\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b = \frac{1}{3}\cdot\frac{m}{n} + \frac{2}{3}\cdot\frac{p}{q} = \frac{mq+2np}{3nq} \nonumber\] es claramente un número racional porque\(mq+2np\) y\(3np\) son enteros, y\(3nq\neq0\). Ya que\(a<b\), sabemos\(b-a>0\). De ello se deduce\[\left(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\right) - a = \frac{2}{3}\,(b-a) > 0, \nonumber\] lo que significa\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b > a\). De manera similar, también encontramos\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b < b\). Así,\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) es un número racional entre\(a\) y\(b\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:pfintro-01}\)

Demostrar que\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) está más cerca\(b\) que a\(a\).

Sugerencia

Calcular la distancia entre\(a\) y\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\), y compararla con la distancia entre\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) y\(b\).

En ocasiones, podemos usar una prueba constructiva cuando una proposición afirma que existen ciertos valores o cantidades.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:pfintro-02}\)

Demostrar que cada entero positivo se puede escribir en forma de\(2^e t\) para algún entero no negativo\(e\) y algún entero impar\(t\).

Solución

La declaración del problema solo dice “cada entero positivo”. A menudo ayuda si asignamos un nombre al entero; hará que sea más fácil pasar por la discusión. En consecuencia, habitualmente iniciamos una prueba con la frase “Let\(n\) be...”

Dejar\(n\) ser un entero positivo. Sigue dividiendo\(n\) por 2 hasta que quede un número\(t\) impar. \(e\)Sea el número de veces que factorizamos una copia de 2. Está claro que no\(e\) es negativo, y lo hemos encontrado\(n=2^e t\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:pfintro-02}\)

Expreso 6, 40, 32 y 15 en la forma señalada en el Ejemplo 3.1.2.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:pfintro-03}\)

Dado cualquier entero positivo\(n\), mostrar que existen enteros positivos compuestos\(n\) consecutivos.

Solución

Para cada entero positivo\(n\), afirmamos que\(n\) los enteros\[(n+1)!+2, \quad (n+1)!+3, \quad \ldots \quad (n+1)!+n, \quad (n+1)!+(n+1) \nonumber\] son compuestos. Aquí está la razón. Para cada uno\(i\), donde\(2\leq i\leq n+1\), el entero\[\begin{aligned} (n+1)!+i &=& 1\cdot2\cdot3\,\cdots(i-1)i(i+1)\cdots\,(n+1)+i \\ &=& i\,[\,1\cdot2\cdot3\,\cdots(i-1)(i+1)\cdots\,(n+1)+1\,] \end{aligned} \nonumber\] es divisible por\(i\) y mayor que\(i\), y por lo tanto es compuesto.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:pfintro-03}\)

Construir cinco enteros positivos consecutivos que sean compuestos. Verificar su composición mediante factorización.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:pfintro-04}\)

Dejar\(m\) y\(n\) ser enteros positivos. Demuestre que, si\(mn\) es par, entonces un\(m\times n\) tablero de ajedrez puede estar completamente cubierto por dominó que no se superponen.

Obrar

Esta vez, los nombres\(m\) y ya\(n\) han sido asignados a los dos enteros positivos. Así, podemos referirnos a ellos en la prueba sin una introducción.

Solución

Ya que\(mn\) es par, uno de los dos enteros\(m\) y\(n\) debe ser par. Sin pérdida de generalidad (ya que el otro caso es similar), podemos suponer\(m\), el número de filas, es par. Entonces\(m=2t\) para algún entero\(t\). Cada columna se puede rellenar con dominós\(m/2=t\) no superpuestos colocados verticalmente. Como resultado, todo el tablero de ajedrez se puede cubrir con dominó verticales\(nt\) que no se superponen.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:pfintro-04}\)

Demostrar que, entre dos números racionales cualesquiera\(a\) y\(b\)\(a<b\), donde, existe otro número racional.

Sugerencia

Prueba el punto medio del intervalo\([a,b]\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{he:pfintro-05}\)

Demostrar eso, entre dos números racionales cualesquiera\(a\) y\(b\)\(a<b\), donde, existe otro número racional más cercano\(b\) que a\(a\).

Sugerencia

Utilice un promedio ponderado de\(a\) y\(b\).

En ocasiones se puede utilizar una prueba no constructiva para mostrar la existencia de una cierta cantidad que satisface algunas condiciones. Hemos aprendido dos teoremas de existencia de este tipo a partir del cálculo.

Teorema\(\PageIndex{1}\) (Mean Value Theorem)

Dejar\(f\) ser una función diferenciable definida a lo largo de un intervalo cerrado\([a,b]\). Entonces existe un número\(c\) estrictamente dentro del intervalo abierto\((a,b)\) tal que\(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Teorema\(\PageIndex{2} \label{thm:IVT}\) (Intermediate Value Theorem)

Let\(f\) Ser una función que es continua a lo largo de un intervalo cerrado\([a,b]\). Entonces\(f\) asume todos los valores entre\(f(a)\) y\(f(b)\). En otras palabras, para cualquier valor\(t\) entre\(f(a)\) y\(f(b)\), existe un número\(c\) dentro\([a,b]\) tal que\(f(c)=t\).

Ambos resultados sólo garantizan la existencia de un número\(c\) con alguna propiedad específica; no nos dicen cómo encontrar este número\(c\). Sin embargo, el Teorema del Valor Medio juega un papel muy importante en el análisis; muchas de sus aplicaciones están fuera del alcance de este curso. Sin embargo, podríamos demostrar una aplicación del Teorema del Valor Intermedio.

Corolario\(\PageIndex{3}\label{cor:IVT}\)

Let\(f\) Ser una función continua definida a lo largo de un intervalo cerrado\([a,b]\). Si\(f(a)\) y\(f(b)\) tienen signos opuestos, entonces la ecuación\(f(x)=0\) tiene una solución entre\(a\) y\(b\).

Prueba

Según el Teorema del Valor Intermedio,\(f(x)\) puede tomar cualquier valor entre\(f(a)\) y\(f(b)\). Al tener signos opuestos, 0 es un número entre ellos. De ahí,\(f(c)=0\) para algún número\(c\) entre\(a\) y\(b\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:pfintro-05}\)

La función\(f(x)=5x^3-2x-1\) es una función polinómica, que se sabe que es continua sobre los números reales. Ya que\(f(0)=-1\) y\(f(1)=2\), Corolario 3.3 implica que existe un número entre 0 y 1 tal que\(5x^3-2x-1=0\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:pfintro-06}\)

Demostrar que la ecuación\(1+x\cos x=0\) tiene al menos una solución real entre 0 y\(\frac{\pi}{2}\).

Sugerencia

Aquí no se menciona ninguna función, por lo que es necesario definir una función, digamos\(g(x)\). A continuación, debes asegurarte de que\(g(x)\) sea continuo. ¿Qué más debes hacer antes de poder aplicar el Corolario 3.3?

Resumen y revisión

• A veces podemos probar una afirmación mostrando cómo se puede obtener el resultado a través de una construcción, y podemos describir la construcción en un algoritmo.
• A veces lo único que tenemos que hacer es aplicar un teorema de existencia para verificar la existencia de una cierta cantidad.

Ejercicios 3.1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:pfintro-01}\)

Demuestre que un tablero de ajedrez con 7 filas y 12 columnas puede ser cubierto por dominó no superpuestos.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:pfintro-02}\)

Demostrar que existe un número racional entre 1 y 5 cuya distancia de 5 es siete veces mayor que su distancia de 1.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:pfintro-03}\)

Demostrar que la ecuación\(x^3-12x+2=0\) tiene al menos tres soluciones reales.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:pfintro-04}\)

Demostrar que si la ecuación\((x^2+4)(x-2)(3x+5)=0\) tiene una solución real, la solución debe ser cualquiera\(x=2\) o\(x=-\frac{5}{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:pfintro-05}\)

Mostrar que dado cualquier número racional\(x\), existe un entero\(y\) tal que\(x^2y\) es un entero.

Sugerencia

Ya que\(x\) es racional, podemos escribir\(x=\frac{m}{n}\) para algunos enteros\(m\) y\(n\), donde\(n\neq0\). Todo lo que necesitas hacer es describir\(y\) en términos de\(m\) y\(n\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:pfintro-06}\)

Mostrar que dado cualquier número racional\(x\), y cualquier entero positivo\(k\), existe un entero\(y\) tal que\(x^ky\) es un entero.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:pfintro-07}\)

Demostrar que existe un entero\(n\) tal que\(n\),\(n+2\) y\(n+4\) son todos primos.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:pfintro-08}\)

Encuentra un contraejemplo para la siguiente afirmación: Para cualquier entero positivo\(n\), si\(n\) es primo, entonces también\(n^2+4\) es primo.

1. Si bien es posible que un equipo anote 2 puntos por un seguro u 8 puntos por un touchdown con una conversión de dos puntos, no consideraríamos estas posibilidades en esta versión simplificada de un partido de fútbol real. ↩