3.2: Pruebas directas

Para demostrar que una afirmación\(q\) es cierta, siga estos pasos:

• O encontrar un resultado que diga\(p \Rightarrow q\), o probar que\(p\Rightarrow q\) es cierto.
• Mostrar o verificar que\(p\) sea cierto.
• Concluir que\(q\) debe ser cierto.

La lógica es válida porque si\(p \Rightarrow q\) es verdadera y\(p\) es verdadera, entonces\(q\) debe ser verdadera. Simbólicamente, estamos diciendo que la fórmula lógica\[[(p \Rightarrow q) \wedge p ] \Rightarrow q\] es una tautología (podemos verificar esto fácilmente con una tabla de verdad). Simbólicamente, presentamos el argumento como\[\begin{array}{cl} & p \Rightarrow q \\ & p \\ \hline \therefore & q \end{array}\] Tal argumento se llama modus ponens o la ley del desapego.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:directpf-01}\)

El argumento

	\(b^2>4ac \Rightarrow ax^2+bx+c=0\)tiene dos soluciones reales.
	\(x^2-5x+6\)satisface\(b^2>4ac\).
\(\therefore\)	\(x^2-5x+6=0\)tiene dos soluciones reales.

es un ejemplo de modus ponens.

Es claro que las implicaciones juegan un papel importante en las pruebas matemáticas. Si tenemos una secuencia de implicaciones, podríamos unirlas “cabeza a cola” para formar otra implicación:\[\begin{array}{cl} & p \Rightarrow q \\ & q \Rightarrow r \\ \hline \therefore & p \Rightarrow r \end{array}\] Esto se llama la ley del silogismo.

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Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:directpf-02}\)

El argumento

	Los pastores alemanes son perros.
	Los perros son mamíferos.
	Los mamíferos son vertebrados.
\(\therefore\)	Los pastores alemanes son vertebrados.

es válido por la ley del silogismo.

La gran pregunta es, ¿cómo podemos probar una implicación? El enfoque más básico es la prueba directa:

Supongamos\(p\) que es verdad.

Deducir de\(p\) eso\(q\) es cierto.

Lo importante a recordar es: utilizar la información derivada de\(p\) para demostrar que\(q\) es verdad. Así es como puede verse una prueba directa típica:

Prueba: Supongamos que\) p\) es verdad. Entonces..

Debido a\(p\), nos encontramos..

... Por lo tanto,\(q\) es cierto.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:directpf-03}\)

Demostrar que si un\(m\times n\) tablero de ajedrez puede estar completamente cubierto por dominó no superpuestos, entonces\(mn\) debe ser parejo.

Solución

Supongamos que el tablero de ajedrez puede estar cubierto por dominó que no se superponen, y deja\(t\) ser el número de dominó que cubren el tablero de ajedrez. Entonces el tablero de ajedrez debe contener\(2t\) cuadrados. De ahí\(mn=2t\), lo que significa que\(mn\) debe ser un número par.

Antes de continuar con más ejemplos, nos gustaría introducir la definición formal de enteros pares e impares.

Definición

Un entero es par si se puede escribir como\(2q\) para algún entero\(q\), e impar si se puede escribir como\(2q+1\) para algún entero\(q\).

No tenemos que usar\(q\) para denotar el entero que, cuando se multiplica por 2, produce un entero par. Cualquier letra funcionará, siempre que mencionemos que es un entero. Por ejemplo, si\(n\) es un entero par, entonces podemos escribir\(n=2t\) para algún entero\(t\). La noción de números enteros pares puede generalizarse aún más.

Definición

Dejar\(m\) ser un entero distinto de cero. Se dice que un entero es un múltiplo de\(m\) si se puede escribir como\(mq\) para algún entero\(q\).

Ya estamos listos para estudiar más ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:directpf-04}\)

Mostrar que el cuadrado de un entero impar es impar.

Solución

Let\(n\) Ser un entero impar. Entonces\(n=2t+1\) para algún número entero\(t\), y\[n^2 = (2t+1)^2 = 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t)+1,\] donde\(2t^2+2t\) es un entero. De ahí,\(n^2\) es impar.

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:directpf-01}\)

Dejar\(n\) ser un entero. Mostrar que si\(n\) es impar, entonces\(n^3\) es impar.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:directpf-05}\)

Mostrar que el producto de dos enteros impares es impar.

Solución

Dejar\(x\) y\(y\) ser dos enteros impares. Queremos demostrar que eso\(xy\) es extraño. Entonces\(x=2s+1\) y\(y=2t+1\) para algunos enteros\(s\) y\(t\), y\[xy = (2s+1)(2t+1) = 4st+2s+2t+1 = 2(2st+s+t)+1,\] donde\(2st+s+t\) es un entero. Por lo tanto,\(xy\) es extraño.

En esta prueba, necesitamos usar dos cantidades distintas\(s\) y\(t\) describir\(x\) y\(y\) porque no es necesario que sean las mismas. Si escribimos\(x=2s+1\) y\(y=2s+1\), en efecto estamos diciendo eso\(x=y\). Tenemos que recalcar eso\(s\) y\(t\) son enteros, porque solo decir\(x=2s+1\) y\(y=2t+1\) no garantiza\(x\) y\(y\) son impares. Por ejemplo, el número par 4 se puede escribir como\(2\cdot\frac{3}{2}+1\), que es de la forma\(2s+1\). Es obvio que 4 no es extraño. Aunque podamos escribir un número en la forma\(2s+1\), no significa necesariamente que el número deba ser impar, a menos que sepamos con certeza que\(s\) es un entero. Este ejemplo ilustra la importancia de prestar atención a los detalles en nuestro escrito.

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Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{directpf-06}\)

Demuéstralo si\(x^3-7x^2+x-7=0\), entonces\(x=7\).

Solución

Asumir\(x^3-7x^2+x-7=0\). Ya que\[x^3-7x^2+x-7 = x^2(x-7)+(x-7) = (x^2+1)(x-7),\] si es igual a cero, necesitamos cualquiera\(x^2+1=0\), o\(x-7=0\). Ya que nunca\(x^2+1\) puede ser cero, debemos tener\(x-7=0\); así\(x=7\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:directpf-02}\)

Demuéstralo si\(x^3+6x^2+12x+8=0\), entonces\(x=-2\).

El último ejemplo demuestra una técnica llamada prueba por casos. Hay dos posibilidades, a saber, ya sea (i)\(x^2+1=0\), o (ii)\(x-7=0\). La conclusión final se extrae después de estudiar estos dos casos por separado.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:directpf-07}\)

Mostrar que si un entero no\(n\) es divisible por 3, entonces\(n^2-1\) debe ser un múltiplo de 3.

Comentario

La letra\(n\) ha sido utilizada para identificar el entero de interés para nosotros, y aparece en la hipótesis de la implicación que queremos probar. Sin embargo, muchos autores comenzarían sus pruebas con la familiar frase “Let\(n\) be...”.

Contestar

Dejar\(n\) ser un entero que no es divisible por 3. Cuando se divide por 3, el resto es 1 o 2. De ahí,\(n=3q+1\) o\(n=3q+2\) para algún número entero\(q\).

Caso 1: Si\(n=3q+1\) para algún entero\(q\), entonces\[n^2-1 = 9q^2+6q = 3 (3q^2+2q),\] donde\(3q^2+2q\) es un entero.

Caso 2: Si\(n=3q+2\) para algún entero\(q\), entonces\[n^2-1 = 9q^2+12q+3 = 3(3q^2+4q+1),\] donde\(3q^2+4q+1\) es un entero.

En ambos casos, hemos demostrado que\(n^2-1\) es un múltiplo 3.

ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:directpf-03}\)

Demostrar que\(n^3+n\) es parejo para todos\(n\in\mathbb{N}\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:directpf-04}\)

Espectáculo que\(n(n+1)(2n+1)\) es divisible por 6 para todos\(n\in\mathbb{N}\).

Pista

Uno de los dos enteros\(n\) y\(n+1\) debe ser parejo, así que ya sabemos que el producto\(n(n+1)(2n+1)\) es un múltiplo de 2. De ahí que quede por demostrar que también es un múltiplo de 3. Considera tres casos:\(n=3q\)\(n=3q+1\),, o\(n=3q+2\), donde\(q\) es un entero.

Cerramos nuestra discusión con dos falacias comunes (errores lógicos). El primero es la falacia de lo inverso o la negación del antecedente:\[\begin{array}{cl} & p \Rightarrow q \\ & \overline{p} \\ \hline \therefore & \overline{q} \end{array}\] Esto en efecto prueba lo inverso\(\overline{p}\Rightarrow \overline{q}\), que sabemos que no es lógicamente equivalente a la implicación original. De ahí que se trate de un método incorrecto para probar una implicación.

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Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:directpf-08}\)

Es el siguiente argumento

	Los diccionarios son valiosos.
	Este libro no es un diccionario.
\(\therefore\)	Este libro no es valioso.

¿válido? ¿Por qué?

Otro error común se conoce como la falacia de lo contrario o la afirmación de la consecuencia:\[\begin{array}{cl} & p \Rightarrow q \\ & q \\ \hline \therefore & p \end{array}\] Esto sólo prueba lo contrario\(q\Rightarrow p\). Dado que lo contrario no es lógicamente equivalente a la implicación original, esta es una forma incorrecta de probar una implicación.

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Ejemplo\(\PageIndex{9}\label{eg:directpf-09}\)

¿Es este argumento

	Ningún medicamento sabe bien.
	Esta bebida sabe mal.
\(\therefore\)	Esto debe ser medicina.

un argumento válido? ¿Por qué?

Resumen y revisión

• Para probar una implicación\(p\Rightarrow q\), comience asumiendo que eso\(p\) es cierto. Utilizar la información de esta suposición, junto con cualquier otro resultado conocido, para demostrar que también\(q\) debe ser cierto.
• Si es necesario, puede\(p\) irrumpir en varios casos\(p_1, p_2, \ldots\,\), y probar cada implicación\(p_i\Rightarrow q\) (por separado, una a la vez) como se indicó anteriormente.
• Asegúrese de escribir las expresiones matemáticas con claridad. Utilice diferentes variables si las cantidades involucradas pueden no ser las mismas.
• Para comenzar, anote la información dada, la suposición y lo que quieres probar.
• En el siguiente paso, use la definición si es necesario, y reescriba la información en notaciones matemáticas. El punto es, tratar de obtener algunas ecuaciones matemáticas o afirmaciones lógicas que podamos manipular.

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:directpf-01}\)

Probar o desacreditar:\(2^n+1\) es primo para todos los enteros no negativos\(n\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:directpf-02}\)

Mostrar que para cualquier entero\(n\geq5\), los enteros\(n\),\(n+2\) y\(n+4\) no puede ser todos primos.

Pista

Si\(n\) es un múltiplo de 3, entonces\(n\) sí mismo es compuesto, y la prueba estará completa. Entonces podemos suponer que no\(n\) es divisible por 3. Entonces, ¿\(n\)cómo se vería, y, qué se puede decir sobre\(n+2\) y\(n+4\)?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:directpf-03}\)

Dejar\(n\) ser un entero.

1. Mostrar que si\(n\) es impar, entonces también\(n^2\) es impar.
2. Mostrar que si\(n\) es impar, entonces también\(n^4\) es impar.
3. Un corolario es un resultado que se puede derivar fácilmente de otro resultado. Derivar (b) como corolario de (a).
4. Demuestre que si\(m\) y\(n\) son impares, entonces así es\(mn\).
5. Demuestre que si\(m\) es par, y\(n\) es impar, entonces\(mn\) es par.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:directpf-04}\)

Demostrar que, para cualquier entero impar\(n\), el número\(2n^2+5n+4\) debe ser impar.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:directpf-05}\)

Dejar\(n\) ser un entero.

1. Demostrar que si\(n\) es un múltiplo de 3, entonces también\(n^2\) es un múltiplo de 3.
2. Demostrar que si\(n\) es un múltiplo de 7, entonces también\(n^3\) es un múltiplo de 7.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:directpf-06}\)

Demostrar que si no\(n\) es un múltiplo de 3, entonces tampoco\(n^2\) es un múltiplo de 3.

Pista

Si no\(n\) es un múltiplo de 3, entonces\(n=3q+1\) o\(n=3q+2\) para algún entero\(q\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:directpf-07}\)

Utilice los hechos que

\(\sqrt{2}\)es irracional, y

si\(x\) es irracional, entonces también\(\sqrt{x}\) es irracional,

para demostrar que eso\(\sqrt[8]{2}\) es irracional.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:directpf-08}\)

Recordemos que podemos usar un contraejemplo para desmentir una implicación. Demostrar que las siguientes afirmaciones son falsas:

1. Si\(x\) y\(y\) son enteros tales que\(x^2>y^2\), entonces\(x>y\).
2. Si\(n\) es un entero positivo, entonces\(n^2+n+41\) es primo.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:directpf-09}\)

Explique por qué los siguientes argumentos no son válidos:

1. Dejar\(n\) ser un entero. Si\(n^2\) es impar, entonces\(n\) es impar. Por lo tanto,\(n\) debe ser extraño.
2. Dejar\(n\) ser un entero. Si\(n\) es par, entonces también\(n^2\) es parejo. Como un entero,\(n^2\) podría ser impar. De ahí,\(n\) no puede ser parejo. Por lo tanto,\(n\) debe ser extraño.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:directpf-10}\)

Analizar el siguiente razonamiento:

1. \(S\)Déjese ser un conjunto de números reales. Si\(x\) está adentro\(S\), entonces\(x^2\) está adentro\(S\). Pero no\(x\) está en\(S\), por lo tanto no\(x^2\) está en\(S\).
2. \(S\)Déjese ser un conjunto de números reales. Si\(x\) está adentro\(S\), entonces\(x^2\) está adentro\(S\). Por lo tanto, si\(x^2\) está adentro\(S\), entonces\(x\) está adentro\(S\).