3.3: Pruebas indirectas

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En lugar de probar$p \Rightarrow q$ directamente, a veces es más fácil probarlo indirectamente. Hay dos tipos de pruebas indirectas: la prueba por contrapositiva, y la prueba por contradicción.

La prueba por contrapositivo se basa en el hecho de que una implicación es equivalente a su contrapositiva. Por lo tanto, en lugar de probar$p \Rightarrow q$, podemos probar su contrapositivo$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$. Como es una implicación, podríamos usar una prueba directa:

Supongamos que$\overline{q}$ es verdadero (por lo tanto, asumir$q$ es falso).

Mostrar que$\overline{p}$ es cierto (es decir, mostrar que$p$ es falso).

La prueba podrá proceder de la siguiente manera:

Prueba: Queremos acreditar el contrapositivo del resultado declarado.

Asumir$q$ es falso,..

... Por lo tanto,$p$ es falso.

Ejemplo$\PageIndex{1}\label{eg:indirectpf-01}$

Dejar$n$ ser un entero. Demuestre que si$n^2$ es par, entonces también$n$ es parejo.

Solución: Prueba por contrapositivo: Queremos probar que si$n$ es impar, entonces$n^2$ es impar. Si$n$ es impar, entonces$n=2t+1$ para algún entero$t$. De ahí,\[n^2 = 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t)+1\] es impar. Esto completa la prueba.

Ejemplo$\PageIndex{2}\label{eg:indirectpf-02}$

Mostrar que si$n$ es un entero positivo tal que la suma de sus divisores positivos es$n+1$, entonces$n$ es primo.

Solución: Demostraremos el contrapositivo de la declaración dada. Queremos demostrar que si$n$ es compuesto, entonces la suma de sus divisores positivos no lo es$n+1$. Dejar$n$ ser un número compuesto. Entonces sus divisores incluyen 1,$n$, y al menos otro divisor positivo$x$ diferente de 1 y$n$. Entonces la suma de sus divisores positivos es al menos$1+n+x$. Ya que$x$ es positivo, nos\[1+n+x > 1+n.\] deducimos que Deducimos que la suma de los divisores no puede ser$n+1$. Por lo tanto, si la suma de los divisores de$n$ es precisamente$n+1$, entonces$n$ debe ser primo.

Ejemplo$\PageIndex{3}\label{eg:indirectpf-03}$

$x$Déjese ser un número real. Demuéstralo si$x^3-7x^2+x-7=0$, entonces$x=7$.

Solución: Asumir$x\neq7$, entonces\[x^3-7x^2+x-7 = x^2(x-7)+(x-7) = (x^2+1) (x-7) \neq 0.\] Así, si$x^3-7x^2+x-7=0$, entonces$x=7$.

ejercicio práctico$\PageIndex{1}\label{he:indirectpf-01}$

$x$Déjese ser un número real. Demostrar que si$(2x^2+3)(x+5)(x-7)=0$, entonces cualquiera$x=-5$, o$x=7$.

ejercicio práctico$\PageIndex{2}\label{he:indirectpf-02}$

Let$x$ y$y$ ser dos números reales. $x\neq0$Demuéstralo si y$y\neq0$, entonces$xy\neq0$.

Otra prueba indirecta es la prueba por contradicción. Para probarlo$p \Rightarrow q$, procedemos de la siguiente manera:

Supongamos que$p\Rightarrow q$ es falso; es decir, asumir que$p$ es verdad y$q$ es falso.

Argumentar hasta obtener una contradicción, que podría ser cualquier resultado que sepamos que es falso.

¿Cómo lo prueba esto$p\Rightarrow q$? Suponiendo que la lógica utilizada en cada paso del argumento es correcta, sin embargo, todavía terminamos con una contradicción, entonces el único defecto posible debe provenir de la suposición que$p\Rightarrow q$ es falsa. En consecuencia,$p\Rightarrow q$ debe ser cierto.

Así puede ser una prueba típica por contradicción:

Prueba: Supongamos que$ p \Rightarrow q$ es falso. Entonces$p$ es verdad y$q$ es falso. Entonces

...

.. que es una contradicción. Por lo tanto,$ p \Rightarrow q$ debe ser cierto.

Existe una forma más general para probar una declaración$r$, que no necesita ser una implicación. Para probar la proposición$r$ por contradicción, seguimos estos pasos:

Supongamos que$r$ es falso.

Argumentar hasta que obtengamos una contradicción.

Prueba: Supongamos que$r$ es falso. Entonces...

.. que es una contradicción. Por lo tanto,$r$ debe ser cierto.

Ejemplo$\PageIndex{4}\label{eg:indirectpf-04}$

Demuéstralo si$x^3-7x^2+x-7=0$, entonces$x=7$.

Solución: Supongamos$x^3-7x^2+x-7=0$ que queremos demostrarlo$x=7$. Supongamos$x\neq7$, entonces$x-7\neq0$, y eso lo\[0 = x^3-7x^2+x-7 = x^2(x-7)+(x-7) = (x^2+1)(x-7)\] habría implícito$x^2+1=0$, lo cual es imposible. Por lo tanto, debemos tener$x=7$.

Ejemplo$\PageIndex{5}\label{eg:indirectpf-05}$

Mostrar que si$P$ es un punto no en una línea$L$, entonces existe exactamente una línea perpendicular desde$P$ hacia$L$.

Solución: Supongamos que podemos encontrar más de una línea perpendicular de$P$ hacia$L$. Escoge dos cualquiera de ellos, y denota sus intersecciones con$L$ as$Q$ y$R$. Entonces tenemos un triángulo$PQR$, donde$PRQ$ están los ángulos$PQR$ y ambos$90^\circ$. Esto implica que la suma de los ángulos interiores del triángulo$PQR$ supera$180^\circ$, lo cual es imposible. De ahí que solo haya una línea perpendicular desde$P$ hacia$L$.

Ejemplo$\PageIndex{6}\label{eg:indirectpf-06}$

Demuéstralo si$x^2<5$, entonces$|x|<\sqrt{5}$.

Solución: Supongamos$x^2<5$ que queremos demostrarlo$|x|<\sqrt{5}$. Supongamos, por el contrario, que tenemos$|x|\geq\sqrt{5}$. Entonces$x\geq\sqrt{5}$, o bien$x\leq-\sqrt{5}$. Si$x\geq\sqrt{5}$, entonces$x^2\geq5$. Si$x\leq-\sqrt{5}$, de nuevo tenemos$x^2\geq5$. En cualquier caso, tenemos una contradicción. De ahí$|x|<\sqrt{5}$.

ejercicio práctico$\PageIndex{3}\label{he:indirectpf-03}$

Demuéstralo si$x^2\geq49$, entonces$|x|\geq7$.

Ejemplo$\PageIndex{7}\label{eg:indirectpf-07}$

Demostrar que la fórmula lógica\[[(p\Rightarrow q) \wedge p] \Rightarrow q\] es una tautología.

Solución

Supongamos que$[(p\Rightarrow q) \wedge p] \Rightarrow q$ es falso para algunas declaraciones$p$ y$q$. Entonces encontramos

$(p\Rightarrow q) \wedge p$es verdad, y
$q$es falso.

Para que la conjunción$(p\Rightarrow q) \wedge p$ sea cierta, necesitamos

$p\Rightarrow q$para ser verdad, y
$p$para ser verdad.

Tener$p$ verdadero y$q$ falso haría$p\Rightarrow q$ falso. Esto contradice directamente lo que hemos encontrado. Por lo tanto, la fórmula lógica siempre$[(p\Rightarrow q) \wedge p] \Rightarrow q$ es cierta, de ahí que sea una tautología.

Ejemplo$\PageIndex{8}\label{eg:indirectpf-08}$

Demostrar, por contradicción, que si$x$ es racional y$y$ es irracional, entonces$x+y$ es irracional.

Solución: $x$Sea un número racional y$y$ un número irracional. Queremos demostrar que$x+y$ es irracional. Supongamos, por el contrario, que eso$x+y$ es racional. Entonces\[x+y = \frac{m}{n}\] para algunos enteros$m$ y$n$, donde$n\neq0$. Ya que$x$ es racional, también tenemos\[x = \frac{p}{q}\] para algunos enteros$p$ y$q$, donde$q\neq0$. De ello se deduce que\[\frac{m}{n} = x+y = \frac{p}{q} + y.\] De ahí,\[y = \frac{m}{n}-\frac{p}{q} = \frac{mq-np}{nq},\] donde$mq-np$ y$nq$ son ambos enteros, con$nq\neq0$. Esto hace$y$ racional, lo que contradice la suposición de que$y$ es irracional. Así,$x+y$ no puede ser racional, debe ser irracional.

ejercicio práctico$\PageIndex{4}\label{he:indirectpf-04}$

Demostrar que\[\sqrt{x+y} \neq \sqrt{x}+\sqrt{y}\] para cualquier número real positivo$x$ y$y$.

Pista: Las palabras “para cualquier” sugieren que se trata de una cuantificación universal. Asegúrese de negar la declaración del problema correctamente.

Ejemplo$\PageIndex{9}\label{eg:indirectpf-09}$

Demostrar que$\sqrt{2}$ es irracional.

Solución: Supongamos, por el contrario,$\sqrt{2}$ es racional. Entonces podemos escribir\[\sqrt{2} = \frac{m}{n}\] para algunos enteros positivos$m$ y$n$ tal que$m$ y$n$ no compartamos ningún divisor común excepto 1 (de ahí$\frac{m}{n}$ está en su término más simple). Al cuadrar ambos lados y multiplicar cruzadamente rendimientos\[2n^2 = m^2.\] Así, 2 divide$m^2$. En consecuencia, 2 también deben dividir$m$. Entonces podemos escribir$m=2s$ para algún entero$s$. La ecuación anterior se convierte en\[2n^2 = m^2 = (2s)^2 = 4s^2.\] De ahí, lo\[n^2 = 2s^2,\] que implica que 2 divide$n^2$; así, 2 también divide$n$. Hemos demostrado que ambos$m$ y$n$ son divisibles por 2. Esto contradice la suposición de que$m$ y$n$ no comparten ningún divisor común. Por lo tanto,$\sqrt{2}$ debe ser irracional.

ejercicio práctico$\PageIndex{5}\label{he:indirectpf-06}$

Demostrar que$\sqrt{3}$ es irracional.

Muy a menudo, una prueba por contradicción puede reformularse en una prueba por contrapositiva o incluso una prueba directa, ambas de las cuales son más fáciles de seguir. Si este es el caso, vuelva a escribir la prueba.

Ejemplo$\PageIndex{10}\label{eg:indirectpf-10}$

Demostrar que no$x^2+4x+6=0$ tiene una solución real. En símbolos, muéstralo$\nexists x\in\mathbb{R},(x^2+4x+6=0)$.

Solución

Considera la siguiente prueba por contradicción:

Supongamos que existe un número real$x$ tal que$x^2+4x+6=0$.
Usando cálculo, se puede demostrar que la función $f (x) =x^2+4x+6$
tiene un mínimo absoluto en$x=-2$. Así,$f(x) \geq f(-2) = 2$ para
cualquier$x$. Esto contradice el supuesto de que existe$x$
tal que$x^2+4x+6=0$. Por lo tanto, no$x^2+4x+6=0$ tiene una solución real.

Una inspección minuciosa revela que realmente no necesitamos una prueba por contradicción. El quid de la prueba es el hecho de que$x^2+4x+6 \geq 2$ para todos$x$. Esto ya demuestra que nunca$x^2+4x+6$ podría ser cero. Es más fácil usar una prueba directa, de la siguiente manera.

Usando cálculo, encontramos que la función$f(x)=x^2+4x+6$ tiene un mínimo
absoluto en$x=-2$. Por lo tanto, para cualquiera$x$, siempre lo hemos hecho
$f(x) \geq f(-2) = 2$. De ahí que no exista$x$ tal que
$x^2+4x+6=0$.

¿Está de acuerdo en que la segunda prueba (la prueba directa) es más elegante?

Recordemos que una declaración bicondicional$p\Leftrightarrow q$ consta de dos implicaciones$p\Rightarrow q$ y$q\Rightarrow p$. De ahí que para probar$p\Leftrightarrow q$, necesitamos establecer estas dos “direcciones” por separado.

Ejemplo$\PageIndex{11}\label{eg:indirectpf-11}$

Dejar$n$ ser un entero. Demostrar que$n^2$ es aunque y sólo si$n$ es par.

Solución

($\Rightarrow$) Primero probamos que si$n^2$ es par, entonces$n$ debe ser parejo. Demostraremos su contrapositivo: si$n$ es impar, entonces$n^2$ es impar. Si$n$ es impar, entonces podemos escribir$n=2t+1$ para algún entero$t$. Entonces\[n^2 = (2t+1) = 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t)+1,\] donde$2t^2+2t$ es un entero. Así,$n^2$ es extraño.

($\Leftarrow$) A continuación, demostramos que si$n$ es par, entonces$n^2$ es par. Si$n$ es par, podemos escribir$n=2t$ para algún entero$t$. Entonces\[n^2 = (2t)^2 = 4t^2 = 2\cdot 2t^2,\] donde$2t^2$ es un entero. De ahí,$n^2$ es parejo, lo que completa la prueba.

ejercicio práctico$\PageIndex{6}\label{he:indirectpf-07}$

Dejar$n$ ser un entero. Demostrar que$n$ es impar si y sólo si$n^2$ es impar.

Resumen y revisión

Podemos usar pruebas indirectas para probar una implicación.
Hay dos tipos de pruebas indirectas: prueba por contrapositiva y prueba por contradicción.
En una prueba por contrapositivo, en realidad utilizamos una prueba directa para probar lo contrapositivo de la implicación original.
En una prueba por contradicción, partimos de la suposición de que la implicación es falsa, y utilizamos esta suposición para derivar una contradicción. Esto demostraría que la implicación debe ser cierta.
Una prueba por contradicción también puede ser utilizada para probar una declaración que no es de la forma de implicación. Comenzamos con la suposición de que la afirmación es falsa, y utilizamos esta suposición para derivar una contradicción. Esto demostraría que la afirmación debe ser cierta.
A veces una prueba por contradicción puede ser reescrita como prueba por contrapositiva o incluso una prueba directa. Si esto es cierto, reescriba la prueba.

ejercicio$\PageIndex{1}\label{ex:indirectpf-01}$

Dejar$n$ ser un entero. Demostrar que si$n^2$ es par, entonces$n$ debe ser parejo. Uso

Una prueba por contrapositivo.
Una prueba por contradicción.

Comentario: Las dos pruebas son muy similares, pero la redacción es ligeramente diferente, así que asegúrate de presentar tus pruebas con claridad.

ejercicio$\PageIndex{2}\label{ex:indirectpf-02}$

Dejar$n$ ser un entero. Mostrar que si$n^2$ es un múltiplo de 3, entonces también$n$ debe ser un múltiplo de 3. Uso

Una prueba por contrapositivo.
Una prueba por contradicción.

ejercicio$\PageIndex{3}\label{ex:indirectpf-03}$

Dejar$n$ ser un entero. Demostrar que si$n$ es par, entonces$n^2=4s$ para algún entero$s$.

ejercicio$\PageIndex{4}\label{ex:indirectpf-04}$

Dejar$m$ y$n$ ser enteros. Demostrar que$mn=1$ implica eso$m=1$ o$m=-1$.

ejercicio$\PageIndex{5}\label{ex:indirectpf-05}$

$x$Déjese ser un número real. Demostrar por contrapositivo: si$x$ es irracional, entonces$\sqrt{x}$ es irracional. Aplicar este resultado para mostrar que$\sqrt[4]{2}$ es irracional, utilizando la suposición de que$\sqrt{2}$ es irracional.

ejercicio$\PageIndex{6}\label{ex:indirectpf-06}$

Dejemos$x$ y$y$ sean números reales tales que$x\neq0$. Demostrar que si$x$ es racional, y$y$ es irracional, entonces$xy$ es irracional.

ejercicio$\PageIndex{7}\label{ex:indirectpf-07}$

Demostrar que$\sqrt{5}$ es irracional.

ejercicio$\PageIndex{8}\label{ex:indirectpf-08}$

Demostrar que$\sqrt[3]{2}$ es irracional.

ejercicio$\PageIndex{9}\label{ex:indirectpf-09}$

Dejemos$a$ y$b$ sean números reales. Demuéstralo si$a\neq b$, entonces$a^2+b^2 \neq 2ab$.

ejercicio$\PageIndex{10}\label{ex:indirectpf-10}$

Usa la contradicción para probar que, para todos los enteros$k\geq1$,\[2\sqrt{k+1} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq 2\sqrt{k+2}.\]

ejercicio$\PageIndex{11}\label{ex:indirectpf-11}$

Dejar$m$ y$n$ ser enteros. Demostrar que$mn$ es aunque y sólo si$m$ es par o$n$ es par.

ejercicio$\PageIndex{12}\label{ex:indirectpf-12}$

Dejemos$x$ y$y$ sean números reales. Demostrar que$x^2+y^2=0$ si y sólo si$x=0$ y$y=0$.

ejercicio$\PageIndex{13}\label{ex:indirectpf-13}$

Demostrar eso, si$x$ es un número real tal que$0<x<1$, entonces$x(1-x)\leq\frac{1}{4}$.

ejercicio$\PageIndex{14}\label{ex:indirectpf-14}$

Dejar$m$ y$n$ ser enteros positivos tal que 3 divide$mn$. Demuestre que 3 divide$m$, o 3 divide$n$.

ejercicio$\PageIndex{15}\label{ex:indirectpf-15}$

Demostrar que la fórmula lógica\[(p\Rightarrow q) \vee (p\Rightarrow \overline{q})\] es una tautología.

ejercicio$\PageIndex{16}\label{ex:indirectpf-16}$

Demostrar que la fórmula lógica\[[(p\Rightarrow q) \wedge (p\Rightarrow \overline{q})] \Rightarrow \overline{p}\] es una tautología.