5.1: El principio de ordenar bien

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 112909

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

La teoría de números estudia las propiedades de los enteros. Algunos resultados básicos en la teoría de números se basan en la existencia de un cierto número. El siguiente teorema se puede utilizar para mostrar que tal número existe.

Teorema\(\PageIndex{1}\label{thm:PWO}\)

Cada subconjunto no vacío de\(\mathbb{N}\) tiene un elemento más pequeño.

Prueba: La idea es bastante simple. Comienza con el entero 1. Si le pertenece\(S\), ya terminamos. Si no, consideremos el siguiente entero 2, y luego 3, y así sucesivamente, hasta que encontremos el primer elemento en\(S\). Sin embargo, al igual que el principio de inducción matemática, no está claro por qué “y así sucesivamente” es posible. De hecho, no podemos probar el principio de ordenar bien solo con las propiedades familiares que los números naturales satisfacen bajo suma y multiplicación. De ahí que consideremos como axioma el principio del buen ordenamiento. Sin embargo, resulta interesante que el principio de inducción matemática y el principio de ordenamiento correcto son lógicamente equivalentes.

Teorema\(\PageIndex{2}\label{thm:PMI-PWO}\)

El principio de inducción matemática se mantiene si y sólo si se mantiene el principio del orden correcto.

Prueba

(\(\Rightarrow\)) Supongamos que\(S\) es un conjunto no vacío de números naturales que no tiene ningún elemento más pequeño. Let\[R = \{ x\in\mathbb{N} \mid x\leq s \mbox{ for every } s\in S\}. \nonumber\] Ya que\(S\) no tiene un elemento más pequeño, es claro que\(R\cap S = \emptyset\). También es obvio que\(1\in R\). Asumir\(k\in R\). Entonces cualquier número natural menor o igual a también\(k\) debe ser menor o igual a\(s\) para cada uno\(s\in S\). De ahí\(1,2,\ldots,k \in R\). Porque\(R\cap S=\emptyset\), nos encontramos\(1,2,\ldots,k\notin S\). Si\(k+1\in S\), entonces\(k+1\) habría sido el elemento más pequeño de\(S\). Esa contradicción lo demuestra\(k+1\in R\). Por lo tanto, el principio de inducción matemática habría implícito eso\(R=\mathbb{N}\). Eso haría\(S\) un conjunto vacío, lo que contradice el supuesto de que no\(S\) está vacío. Por lo tanto, cualquier conjunto no vacío de números naturales debe tener un elemento más pequeño.

(\(\Leftarrow\)) Dejar\(S\) ser un conjunto de números naturales tales que

\(1\in S\),
Para cualquiera\(k\geq1\), si\(k\in S\), entonces\(k+1\in S\).

Supongamos\(S\neq\mathbb{N}\). Entonces\(\overline{S}=\mathbb{N}-S\neq\emptyset\). El principio de ordenar bien establece que\(\overline{S}\) tiene un elemento más pequeño\(z\). Ya que\(1\in S\), deducimos eso\(z\geq2\), lo que hace\(z-1\geq1\). La minimalidad de\(z\) implica eso\(z-1\notin \overline{S}\). De ahí,\(z-1\in S\). La condición ii) implica eso\(z\in S\), que es una contradicción. Por lo tanto,\(S=\mathbb{N}\).

El principio del orden correcto es un teorema de existencia. No nos dice qué elemento es el entero más pequeño, ni tampoco nos dice cómo encontrar el elemento más pequeño.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:PWO-01}\)

Considerar los conjuntos\[\begin{array}{r c l} A &=& \{ n\in\mathbb{N} \mid n \mbox{ is a multiple of 3} \}, \\ B &=& \{ n\in\mathbb{N} \mid n = -11+7m \mbox{ for some } m\in\mathbb{Z} \}, \\ C &=& \{ n\in\mathbb{N} \mid n = x^2-8x+12 \mbox{ for some } x\in\mathbb{Z} \}. \end{array} \nonumber\] Es fácil comprobar que los tres conjuntos no están vacíos, y dado que solo contienen enteros positivos, el principio de ordenamiento correcto garantiza que cada uno de ellos tenga un elemento más pequeño.

Estos elementos más pequeños pueden no ser fáciles de encontrar. Es obvio que el elemento más pequeño en\(A\) es 3. Para encontrar el elemento más pequeño en\(B\), necesitamos\(-11+7m>0\), lo que significa\(m>11/7\approx1.57\). Ya que\(m\) tiene que ser un entero, necesitamos\(m\geq2\). Dado que\(-11+7m\) es una función creciente en\(m\), su valor más pequeño ocurre cuando\(m=2\). El elemento más pequeño en\(B\) es\(-11+7\cdot2=3\).

Para determinar el elemento más pequeño en\(C\), necesitamos resolver la desigualdad\(x^2-8x+12>0\). La factorización lleva a\(x^2-8x+12 = (x-2)(x-6)>0\), entonces necesitamos\(x<2\) o\(x>6\). Porque\(x\in\mathbb{Z}\), determinamos que el valor mínimo de\(x^2-8x+12\) ocurre en\(x=1\) o\(x=7\). Desde\[1^2-8\cdot1+12 = 7^2-8\cdot7+12 = 5, \nonumber\] El elemento más pequeño en\(C\) es 5.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:PWO-02}\)

El principio de ordenamiento correcto puede no ser cierto sobre números reales o enteros negativos. En general, no todos los conjuntos de enteros o números reales deben tener un elemento más pequeño. Aquí hay dos ejemplos:

El conjunto\(\mathbb{Z}\).
El intervalo abierto\((0,1)\).

El conjunto no\(\mathbb{Z}\) tiene el elemento más pequeño porque dado cualquier entero\(x\), es claro que\(x-1<x\), y este argumento puede repetirse indefinidamente. De ahí\(\mathbb{Z}\) que no tenga un elemento más pequeño.

Un problema similar ocurre en el intervalo abierto\((0,1)\). Si\(x\) se encuentra entre 0 y 1, entonces así es\(\frac{x}{2}\), y\(\frac{x}{2}\) se encuentra entre 0 y\(x\), tal que\[0 < x < 1 \quad\Rightarrow\quad 0 < \frac{x}{2} < x < 1. \nonumber\] Este proceso se puede repetir indefinidamente, rindiendo\[0 < \cdots < \frac{x}{2^n} < \cdots < \frac{x}{2^3} < \frac{x}{2^2} < \frac{x}{2} < x < 1. \nonumber\] Seguimos consiguiendo números cada vez más pequeños. Todos ellos son positivos y menos de 1. No hay fin a la vista, de ahí que el intervalo\((0,1)\) no tenga un elemento más pequeño.

La idea detrás del principio de ordenación correcta puede extenderse para abarcar números distintos de los enteros positivos.

Definición

Se dice que un conjunto\(T\) de números reales está bien ordenado si cada subconjunto no vacío de\(T\) tiene un elemento más pequeño.

Por lo tanto, de acuerdo con el principio de ordenar bien,\(\mathbb{N}\) está bien ordenado.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:PWO-03}\)

Demostrar que no\(\mathbb{Q}\) está bien ordenado.

Solución: Supongamos que\(x\) es el elemento más pequeño en\(\mathbb{Q}\). Entonces\(x-1\) es un número racional que es menor que\(x\), lo que contradice la minimalidad de\(x\). Esto demuestra que\(\mathbb{Q}\) no tiene un elemento más pequeño. Por lo tanto, no\(\mathbb{Q}\) está bien ordenado.

[por ejemplo: PWO-03]

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:PWO-01}\)

Mostrar que el intervalo no\([0,1]\) está bien ordenado encontrando un subconjunto que no tenga un elemento más pequeño

Resumen y revisión

Se dice que un conjunto de números reales (que podrían ser números decimales) está bien ordenado si cada subconjunto no vacío tiene un elemento más pequeño.
Un conjunto bien ordenado debe estar no vacío y tener un elemento más pequeño.
Tener un elemento más pequeño no garantiza que un conjunto de números reales esté bien ordenado.
Un conjunto bien ordenado puede ser finito o infinito, pero un conjunto finito siempre está bien ordenado.

Ejercicios 5.1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:PWO-01}\)

Encuentra el elemento más pequeño en cada uno de estos subconjuntos de\(\mathbb{N}\).

\(\{n\in\mathbb{N} \mid n=m^2-10m+28 \mbox{ for some integer}\)\(m\).
\(\{n\in\mathbb{N} \mid n=5q+3 \mbox{ for some integer} \)\(q\).
\(\{n\in\mathbb{N} \mid n=-150-17d \mbox{ for some integer} \)\(d\).
\(\{n\in\mathbb{N} \mid n=4s+9t \mbox{ for some integers}\)\(s\)y\(t\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:PWO-02}\)

Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de\(\mathbb{R}\) están bien ordenados:

\(\{\;\}\)
\(\{-9,-7,-3,5,11\}\)
\(\{0\}\cup\mathbb{Q}^+\)
\(2\mathbb{Z}\)
\(5\mathbb{N}\)
\(\{-6,-5,-4,\ldots\,\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:PWO-03}\)

Demostrar que el intervalo no\([3,5]\) está bien ordenado.

Pista: Encuentra un subconjunto de\([3,5]\) que no tenga un elemento más pequeño.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:PWO-04}\)

Asumir\(\emptyset \neq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \mathbb{R}\). Demuestre que si\(T_2\) está bien ordenado, entonces también\(T_1\) está bien ordenado.

Pista: Dejar\(S\) ser un subconjunto no vacío de\(T_1\). Queremos mostrar que\(S\) tiene un elemento más pequeño. Para lograr este objetivo, tenga en cuenta que\(T_1\subseteq T_2\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:PWO-05}\)

Demostrar que\(2\mathbb{N}\) está bien ordenado.

Pista: Usa el problema anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:PWO-06}\)

Asumir\(\emptyset \neq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \mathbb{R}\). Demostrar que si\(T_1\) no tiene un elemento más pequeño, entonces no\(T_2\) está bien ordenado.