8.1: ¿Qué es Combinatoria?
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- Existencia. ¿Existen los arreglos?
- Clasificación. Si los arreglos existen, ¿cómo podemos caracterizarlos y clasificarlos?
- Enumeración. ¿Cuántos arreglos hay?
- Construcción. ¿Existe un algoritmo para construir todos los arreglos?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:whatiscombo-01}\)
¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco personas en una mesa redonda? ¿Y si cierto par de ellos se niega a sentarse uno al lado del otro? ¿Y si hay\(n\) gente?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:whatiscombo-02}\)
Dados enteros\(n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_t \geq 1\), un cuadro Young de la forma\((n_1,n_2,\dots,n_t)\) consiste en\(t\) filas de celdas justificadas a la izquierda, con\(n_i\) celdas en la fila\(i\) th (contando desde la fila superior). Estas celdas están ocupadas por los enteros del 1 al\(n\), donde\(n=n_1+n_2+\cdots+n_t\), de tal manera que las entradas están en orden descendente a través de cada fila de izquierda a derecha, y hacia abajo de cada columna de arriba a abajo. Por ejemplo, los tres cuadros Young de la forma\((3,1)\) se representan en la Figura\(\PageIndex{1}\).
Se sabe que hay 35 cuadros jóvenes de la forma\((4,2,1)\). ¿Puedes enumerarlos todos? En general, uno puede preguntarse, ¿cuántos cuadros jóvenes hay de forma\((n_1,n_2,\ldots,n_t)\), y cómo podemos generarlos todos?
Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:whatiscombo-03}\)
Una cadena binaria es una secuencia de dígitos, cada uno de los cuales es 0 o 1. \(a_n\)Sea el número de cadenas binarias de longitud\(n\) que no contengan 1s consecutivos. Es fácil comprobarlo\(a_1=2\),\(a_2=3\), y\(a_3=5\). ¿Para qué sirve la fórmula general\(a_n\)?
Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:whatiscombo-04}\)
La complejidad de un algoritmo nos dice cuántas operaciones requiere. Al comparar la complejidad de varios algoritmos para resolver el mismo problema, podemos determinar cuál es el más eficiente. Dejar\(b_n\) ser el número de operaciones requeridas para resolver un problema de tamaño\(n\). Si se sabe que\[b_n = 2b_{n-1}+3b_{n-2}, \qquad n\geq3, \nonumber\] dónde\(b_1=1\) y\(b_2=3\), ¿para qué sirve la fórmula general\(b_n\)?