8.2: Principios de suma y multiplicación

Recordemos que la cardinalidad de un conjunto finito\(A\), denotado\(|A|\), es el número de elementos que contiene.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:addmult-01}\)

Si\(A=\{-1,0,2\}\), entonces\(|A|=3\). También,\[\begin{array}{rcl} |\{2\}| &=& 1, \\ |\{2,5,-1,-3\}| &=& 4, \\ |\{x\in\mathbb{R}\mid x^2=1\}| &=& 2. \end{array} \nonumber\] Observe que\(|\emptyset|=0\), debido a que un conjunto vacío no contiene ningún elemento.

Se vuelve más interesante cuando consideramos la cardinalidad de una unión o una intersección de dos o más conjuntos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:addmult-02}\)

Determinar\(|A \cup B|\) y\(|A \cap B|\) si\(A=\{2,5\}\) y\(B=\{7,9,10\}\).

Solución

Desde\(A\cup B = \{2,5,7,9,10\}\), y\(A\cap B = \emptyset\), es claro que\(|A\cup B|=5\), y\(|A\cap B|=0\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:addmult-03}\)

Determinar\(|A \cup B|\) y\(|A \cap B|\) si\(A=\{2,5\}\) y\(B=\{5,9,10\}\).

Solución

Desde\(A\cup B = \{2,5,9,10\}\), y\(A\cap B = \{5\}\), es claro que\(|A\cup B|=4\), y\(|A\cap B|=1\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:addmult-01}\)

Vamos\(A=\{n\in\mathbb{Z} \mid -5\leq n\leq3\}\), y\(B=\{n\in\mathbb{Z} \mid -3\leq n\leq5\}\). Evaluar\(|A\cap B|\) y\(|A\cup B|\).

La diferencia entre los dos últimos ejemplos es si los dos conjuntos\(A\) y\(B\) tienen una intersección no vacía. Dos conjuntos\(A\) y\(B\) son disjuntos si\(A \cap B = \emptyset\). Se dice que una colección de conjuntos\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) es disjunta por pares si\(A_i \cap A_j = \emptyset\) siempre\(i\neq j\). Cuando\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) son disjuntos por pares, su unión se llama unión disjunta.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:addmult-04}\)

Vamos\(A=\{1,0,-1\}\),\(B=\{-2,0,2\}\),\(C=\{-2,2\}\) y\(D=\{3,4,5\}\). Entonces\(A\),\(C\), y\(D\) son disjuntos por pares, así son\(B\) y\(D\), pero\(A\),\(B\), y no lo\(C\) son.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Addition Principle

Si los conjuntos finitos\(A_1, A_2, \dots, A_n\) son disjuntos por pares, entonces\[|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = |A_1| + |A_2| + \cdots + |A_n|. \nonumber\]

Utilice el principio de adición si podemos dividir los problemas en casos y contar cuántos artículos o opciones tenemos en cada caso. El número total es la suma de estos recuentos individuales. La idea es, en lugar de contar un conjunto grande, lo dividimos en varios subconjuntos más pequeños, y contamos el tamaño de cada uno de ellos. La cardinalidad del conjunto original es la suma de las cardinalidades de los subconjuntos más pequeños. Este enfoque de dividir y conquistar funciona perfectamente solo cuando los conjuntos son disjuntos por pares.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:addmult-05}\)

Para encontrar el número de alumnos presentes en una conferencia, el profesor cuenta cuántos alumnos hay en cada fila, luego suma los números para obtener el recuento total.

Cuando los conjuntos no son disjuntos, el principio de adición no nos da la respuesta correcta porque los elementos que pertenecen a la intersección se cuentan más de una vez. Tenemos que compensar el recuento excesivo restando el número de veces que estos elementos son sobrecontados. El estuche más simple cubre dos juegos.

Teorema\(\PageIndex{2}\label{pie}\): Principle of Inclusion-Exclusion (PIE)

Para cualquier conjunto finito\(A\) y\(B\), tenemos\[|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|. \nonumber\]

Prueba

Observar que\(A\cup B\) es la unión disjunta de tres conjuntos\[A \cup B = (A-B) \cup (A \cap B) \cup (B-A). \nonumber\] Es claro que\(|A-B| = |A|-|A\cap B|\), y\(|B-A|=|B|-|A\cap B|\). Por lo tanto,\[\begin{array}{rcl} |A \cup B| &=& |A-B| + |A\cap B| + |B-A| \\ &=& (|A|-|A \cap B|) + |A\cap B| + (|B|-|A \cap B|) \\ &=& |A| + |B| - |A \cap B|, \end{array} \nonumber\] que es lo que tenemos que probar.

El principio de inclusión-exclusión también funciona si\(A\) y\(B\) son disjuntos, porque en tal caso,\(|A\cap B|=0\), reduciendo PIE al principio de adición.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:pie}\)

Supongamos que la matrícula actual en una universidad es 4689, con 60 estudiantes tomando MATH 210, 42 tomando CSIT 260 y 24 tomando ambas. Juntos, ¿cuántos estudiantes diferentes están tomando estos dos cursos? Es decir, determinar el número de alumnos que están cursando ya sea MATH 210 o CSIT 260.

Solución

\(A\)Sea el conjunto de alumnos que toman MATEMÁTICAS 210, y\(B\) el conjunto de alumnos que toman CSIT 260, Entonces\(|A|=60\),\(|B|=42\),, y\(|A\cap B|=24\). Queremos encontrar\(|A\cup B|\). Según PIE,\[|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 60+42-24 = 78. \nonumber\] Por lo tanto, 78 alumnos están cursando ya sea MATH 210 o CSIT 260.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:addmult-07}\)

Entre 4689 estudiantes, 2112 de ellos han ganado al menos 60 horas de crédito y 2678 de ellos han ganado como máximo 60 horas de crédito. ¿Cuántos alumnos hay que han acumulado exactamente 60 horas?

Solución

\(A\)Sea el conjunto de estudiantes que hayan ganado al menos 60 horas de crédito, y\(B\) ser el conjunto de estudiantes que hayan ganado como máximo 60 horas de crédito. Queremos encontrar\(|A\cap B|\). Según PIE,\[4689 = |A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B| = 2112+2678-|A\cap B|. \nonumber\] De ahí,\[|A\cap B| = (2112+2678)-4689 = 101. \nonumber\] Hay 101 alumnos que han acumulado exactamente 60 horas de crédito.

ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:addmult-02}\)

La asistencia a dos partidos consecutivos de futbol universitario fue 72397 y 69211 respectivamente. Si 45713 personas asistieron a ambos juegos, ¿cuántas personas diferentes han visto los juegos?

ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:addmult-03}\)

La asistencia a dos partidos consecutivos de futbol universitario fue 72397 y 69211 respectivamente. Si 93478 individuos diferentes asistieron a estos dos juegos, ¿cuántos han ido a ambos?

En ocasiones, es fácil trabajar con el complemento de un conjunto.

Lema\(\PageIndex{3}\)

Para cualquier conjunto finito\(S\), tenemos\[|\overline{S}| = |{\cal U}| - |S|, \nonumber\] donde\({\cal U}\) está el conjunto universal que contiene\(S\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:addmult-08}\)

En el Ejemplo 8.2.6, dado que hay 78 alumnos que cursan ya sea MATH 210 o CSIT 260, el número de alumnos que toman ninguno de ellos lo es\(4689-78=4611\).

El principio de inclusión-exclusión se puede extender a cualquier número de conjuntos. La situación es más complicada, porque algunos elementos pueden ser doblemente contados, algunos triples contados, etc. Para darle una idea del resultado general, aquí está el principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Para tres conjuntos finitos cualesquiera\(A\)\(C\),\(B\) y\[|A \cup B \cup B| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \nonumber\]

Prueba

El sindicato\(A \cup B \cup C\) es la unión disjunta de siete subconjuntos:\[\displaylines{ A-(B\cup C), \quad B-(C\cup A), \quad C-(A\cup B), \quad (A\cap B)-(A\cap B\cap C), \cr (B\cap C)-(A\cap B\cap C), \quad (C\cap A)-(A\cap B\cap C), \quad \mbox{and}\quad A\cap B\cap C. \cr} \nonumber\] Podemos aplicar un argumento similar al utilizado en la unión de dos conjuntos para completar la prueba. Dejamos los detalles como ejercicio.

ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:addmult-04}\)

Un grupo de estudiantes afirma que cada uno de ellos había visto al menos una parte de la trilogía Regreso al Futuro. Un rápido alzar las manos revela que

• 47 habían visto la Parte I;
• 43 habían visto la Parte II;
• 32 habían visto la Parte III;
• 33 habían visto tanto la Parte I como la II;
• 27 habían visto tanto la Parte I como la III;
• 25 habían visto tanto la Parte II como la III;
• 22 habían visto las tres partes.

¿Cuántos alumnos hay en el grupo?

Otra técnica de conteo útil es el principio de multiplicación.

Teorema\(\PageIndex{5}\) (Multiplication Principle)

Para cualquier conjunto finito\(A\) y\(B\), tenemos\[|A\times B| = |A|\cdot|B|. \nonumber\]

Claramente, esto se puede extender a un producto cartesiano\(n\) -fold.

Teorema\(\PageIndex{6}\)

Para cualquier conjunto finito\(A_1, A_2, \ldots, A_n\), tenemos\[|A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \cdots \cdot |A_n|. \nonumber\]

En muchas aplicaciones, puede ser útil usar una forma equivalente.

Teorema\(\PageIndex{7}\) (Multiplication Principle: Alternate Form)

Si una tarea consiste en\(k\) pasos, y si hay\(n_i\) formas de terminar el paso\(i\), entonces todo el trabajo se puede completar de\(n_1 n_2 \ldots n_k\) diferentes maneras.

Ahora que tenemos dos técnicas de conteo, el principio de suma y el principio de multiplicación, ¿cuál debemos usar? La principal diferencia entre ellos es si

• los trabajos pueden dividirse en casos, grupos o categorías; o
• cada trabajo se puede dividir en escalones.

En la práctica, ayuda a dibujar una imagen de las configuraciones que estamos contando.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\label{eg:addmult-09}\)

¿Cuántas placas diferentes hay si una matrícula estándar consta de tres letras seguidas de tres dígitos?

Solución

Tenemos que decidir cuántas opciones tenemos en cada posición. Dibuja una imagen para mostrar la configuración. Dibuja seis líneas para representar las seis posiciones. Encima de cada línea, describa brevemente los posibles candidatos para ese puesto, y debajo de cada línea, escriba el número de opciones.

\[ \begin{array}{ccccccc} \text{choices:} & \text{any letter} & \text{any letter} & \text{any letter} & \text{any digit} & \text{any digit} & \text{any digit} \\ & - & - & - & - & - & - \\ \text{# of choices:} & 26 & 26 & 26 & 10 & 10 & 10 \end{array} \nonumber\]

Esta configuración de izquierda a derecha sugiere que se debe usar el principio de multiplicación. La respuesta es\(26\cdot 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 260^3\).

A medida que vas adquiriendo más experiencia, puedes argumentar directamente, de la siguiente manera. Hay 26 opciones para cada una de las tres letras y 10 opciones para cada dígito. Por lo que hay\(26\cdot 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 260^3\) diferentes matrículas.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\label{eg:addmult-10}\)

Encuentra el número de enteros positivos que no excedan 999 que terminan con 7.

Solución 1

Los enteros pueden tener uno, dos o tres dígitos, así que tenemos que analizar tres casos.

• Caso 1. Sólo hay un entero con un dígito, es decir, el entero 7.
• Caso 2. Si hay dos dígitos, el primero podría ser cualquier dígito entre 1 y 9, y el último dígito debe ser 7. \[ \begin{array}{ccc} \text{choices:} & 1-9 & 7 \\ & - & - \\ \text{# of choices:} & 9 & 1 \end{array} \nonumber\]Esto nos da nueve opciones.
• Caso 3. Si hay tres dígitos, el primer dígito podría ser cualquier dígito entre 1 y 9, el segundo cualquier dígito entre 0 y 9, y el último dígito debe ser 7. \[ \begin{array}{cccc} \text{choices:} & 1-9 & \text{any digit} & 7 \\ & - & - & - \\ \text{# of choices:} & 9 & 10 & 1 \end{array} \nonumber\]De ahí que en este caso haya 90 enteros.

Combinando los tres casos, tenemos un total de\(1+9+90=100\) enteros que cumplen con los requisitos.

Solución 2

Los enteros podrían escribirse como enteros de tres dígitos si permitimos 0 como los dígitos iniciales. Por ejemplo, 7 se puede escribir como\(007\), y\(34\) como\(034\). Bajo este acuerdo, tenemos que cubrir tres puestos donde el último siempre está ocupado por el dígito 7. Los dos primeros dígitos son\(0, 1, 2, \ldots, 8\), o 9, por lo que hay 10 opciones para cada posición.

\[ \begin{array}{cccc} \text{choices:} & \text{any digit} & \text{any digit} & 7 \\ & - & - & - \\ \text{# of choices:} & 10 & 10 & 1 \end{array} \nonumber\]

Juntos, hay\(10\cdot10=100\) tales números enteros.

ejercicio práctico\(\PageIndex{5}\label{he:addmult-05}\)

¿Cuántos números naturales menores que 1000000 hay que terminan con el dígito 3?

ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:addmult-06}\)

¿Cuántos números naturales menores a 10000 hay que terminan con el dígito 0?

Ejemplo\(\PageIndex{11}\label{eg:addmult-11}\)

Determinar el número de enteros positivos de cuatro dígitos sin dígitos repetidos.

Solución

Queremos determinar cuántas opciones hay para cada valor posicional. El primer dígito tiene nueve opciones porque no puede ser 0. Una vez que se elige el primer dígito, quedan nueve opciones para el segundo dígito; y luego ocho opciones para el siguiente dígito y siete opciones para el último dígito. Juntos, tenemos enteros positivos de\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7 =4536\) cuatro dígitos que no contienen ningún dígito repetido. Pregunta: ¿Podemos empezar a contar desde el último dígito?

ejercicio práctico\(\PageIndex{7}\label{he:addmult-07}\)

¿Cuántos números naturales de seis dígitos hay que no tienen ningún dígito repetido?

Ejemplo\(\PageIndex{12}\label{eg:addmult-12}\)

Determine\(|\wp(S)|\), dónde\(S\) está un conjunto\(n\) -elemento.

Solución

Queremos determinar el número de formas de formar un subconjunto. Que los\(n\) elementos sean\(s_1, s_2, \ldots, s_n\). Para formar un subconjunto, pasamos por cada elemento\(s_i\) y decidimos si debe incluirse en el subconjunto, así hay dos opciones para cada elemento.

\[ \begin{array}{ccccc} \text{element:} & s_1 & s_2 & & s_n \\ \text{choices} & \text{Y/N} & \text{Y/N} & \cdots & \text{Y/N} \\ & - & - & & - \\ \text{# of choices:} & 2 & 2 & & 2 \end{array} \nonumber\]

Tenemos\(\underbrace{2\cdot2\cdot\,\cdots\, \cdot2}_{n \text{ factors}} = 2^n\) formas de formar los subconjuntos. Así,\(|\wp(S)|=2^n\).

Ejemplo\(\PageIndex{13}\label{eg:addmult-13}\)

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos no tienen 5s consecutivos?

Solución 1

Hay tres casos disjuntos:

1. ambos dígitos no son 5
2. solo el primer dígito es 5, y
3. sólo el último dígito es 5.

Hay\(8\cdot9+9+8=89\) enteros que cumplen con el requisito.

Solución 2

Una solución más fácil es considerar el complemento del problema. Solo hay un entero con 5s consecutivos, es decir, el entero 55. Hay 90 enteros de dos dígitos,\(90-1=89\) de ahí que de ellos no tengan 5s consecutivos.

ejercicio práctico\(\PageIndex{8}\label{he:addmult-08}\)

¿Cuántos números naturales de tres dígitos hay que no tienen 4s consecutivos?

Ejemplo\(\PageIndex{14}\label{eg:addmult-14}\)

¿De cuántas maneras podemos sacar una secuencia de tres cartas de una baraja estándar de 52 cartas?

Solución

¡Esta es una pregunta engañosa! La respuesta depende de si podemos devolver una carta robada a la baraja. Con reemplazo, la respuesta es\(52^3\); sin reemplazo, lo es\(52 \cdot 51 \cdot 50\).

Ejemplo\(\PageIndex{15}\label{eg:addmult-15}\)

Una placa estándar del Estado de Nueva York consta de tres letras seguidas de cuatro dígitos. Determine el número de placas estándar del Estado de Nueva York con K como primera letra u 8 como primer dígito.

Solución

La palabra clave “o” sugiere que estamos viendo una unión, de ahí, tenemos que aplicar PIE. Necesitamos analizar tres posibilidades:

• Hay\(26^2\cdot10^4\) placas con K como primera letra.
• Hay\(26^3\cdot10^3\) placas con 8 como primer dígito.
• Hay\(26^2\cdot10^3\) placas con K como primera letra y 8 como primer dígito.

La respuesta es\(26^2\cdot10^4+26^3\cdot10^3-26^2\cdot10^3\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{9}\label{he:addmult-09}\)

Para acceder a la información personal de la cuenta, un cliente puede iniciar sesión en el sitio web del banco con un PIN que consta de dos letras seguidas de

1. exactamente cuatro dígitos,
2. a lo sumo seis dígitos,
3. al menos dos pero como máximo 6 dígitos.

¿Cuántos PIN diferentes hay en cada caso?

Resumen y revisión

• Utilice el principio de adición si el problema se puede dividir en casos. Asegúrese de que los casos no se superpongan.
• Si los casos se superponen, el número de objetos pertenecientes a los casos superpuestos debe restarse del total para obtener el recuento correcto.
• En particular, el principio de inclusión-exclusión establece que\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
• Utilice el principio de multiplicación si el problema se puede resolver en varios pasos.
• ¿Cómo podemos empezar? Imagina que quieres enumerar todas las posibilidades, ¿cuál es una forma sistemática de hacerlo? Sigue los pasos y cuenta con cuántos objetos terminarías.
• Puede ser útil usar un diagrama esquemático. Dibuja una línea por cada paso. Por encima de las líneas, escribe las opciones. Debajo de las líneas, escribe el número de opciones. Aplica el principio de multiplicación para acabar con el problema.
• Si hay otros casos involucrados, repita y agrega los resultados de todos los casos posibles.

ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:addmult-01}\)

Una profesora encuestó a los 98 alumnos de su clase para contar cuántos de ellos habían visto al menos una de las tres películas de la trilogía El señor de los anillos. Esto es lo que encontró:

• 74 habían visto la Parte I;
• 57 habían visto la Parte II;
• 66 habían visto la Parte III;
• 52 habían visto tanto la Parte I como la II;
• 51 habían visto tanto la Parte I como la III;
• 45 habían visto tanto la Parte II como la III;
• 43 habían visto las tres partes.

¿Cuántos alumnos no vieron ninguna de estas tres películas?

ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:addmult-02}\)

Cuarenta y seis alumnos de una clase de cine le dijeron al profesor que habían visto al menos una de las tres películas de la trilogía El padrino. Más indagación condujo a los siguientes datos:

• 41 habían visto la Parte I;
• 37 habían visto la Parte II;
• 33 habían visto la Parte III;
• 33 habían visto tanto la Parte I como la II;
• 30 habían visto ambas Partes I y III;
• 29 habían visto tanto la Parte II como la III.

1. ¿Cuántos estudiantes habían visto las tres películas?
2. ¿Cuántos alumnos habían visto solo la Parte I?
3. ¿Cuántos alumnos habían visto solo la Parte II?
4. ¿Cuántos alumnos solo habían visto la Parte III?

ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:addmult-03}\)

Joe tiene 10 camisas de vestir y siete pajaritas. ¿De cuántas maneras puede emparejar las camisas con pajaritas?

ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:addmult-04}\)

Un número de seguro social es una secuencia de nueve dígitos. Determinar el número de números de seguro social que cumplan las siguientes condiciones:

1. No hay restricciones.
2. El dígito 8 nunca se usa.
3. La secuencia no comienza ni termina con 8.
4. No se utiliza ningún dígito más de una vez.

ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:addmult-05}\)

Un profesor tiene siete libros sobre matemáticas discretas, cinco sobre teoría de números y cuatro sobre álgebra abstracta. ¿De cuántas maneras un estudiante puede pedir prestados dos libros no ambos sobre el mismo tema?

Pista

¿Cuáles dos materias elegiría el alumno?

ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:addmult-06}\)

¿Cuántas colecciones diferentes de latas se pueden formar a partir de cinco latas idénticas de Cola-Cola, cuatro latas idénticas de Seven-Up y siete latas idénticas de Mountain Dew?

Pista

¿Cuántas latas de Cola-Cola, Seven-Up y Mountain Dew elegirías?

ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:addmult-07}\)

Cuántas palabras de cinco letras (técnicamente, deberíamos llamarlas cadenas, porque no nos importa si tienen sentido) se pueden formar usando las letras A, B, C y D, con repeticiones permitidas. ¿Cuántos de ellos no contienen la subcadena BAD?

Pista

Para la segunda pregunta, considere usar un complemento.

ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:addmult-08}\)

¿Cuántos enteros diferentes de cinco dígitos se pueden formar usando los dígitos 1, 3, 3, 3, 5?

Pista

Los tres dígitos 3 son idénticos, por lo que no podemos decir la diferencia entre ellos. En consecuencia, lo que realmente importa es dónde ponemos los dígitos 1 y 5. Una vez que colocamos los dígitos 1 y 5, las tres posiciones restantes deben estar ocupadas por los dígitos 3.

ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:addmult-09}\)

Se eligen cuatro cartas al azar de una baraja estándar de 52 naipes, con reemplazo permitido. Esto significa que después de elegir una carta, la carta vuelve a la baraja y la baraja se reagrupa antes de seleccionar otra carta al azar. Determine el número de tales secuencias de cuatro tarjetas si

1. No hay restricciones.
2. Ninguna de las cartas puede ser espadas.
3. Las cuatro cartas son del mismo palo.
4. La primera carta es un as y la segunda carta no es un rey.
5. Al menos una de las cuatro cartas es un as.

ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:addmult-10}\)

Se programarán tres exámenes finales de matemáticas diferentes y dos exámenes finales de ciencias de la computación diferentes durante un período de cinco días. Determinar el número de formas de programar estos exámenes finales de 11 AM a 1 PM si

1. No hay restricciones.
2. No se pueden programar dos exámenes el mismo día.
3. No se pueden programar dos exámenes del mismo departamento el mismo día.
4. Cada examen de matemáticas debe ser el único examen para el día en que esté programado.

ejercicio\(\PageIndex{11}\label{ex:addmult-11}\)

Determine el número de enteros positivos de cuatro dígitos que cumplan las siguientes condiciones:

1. No hay restricciones.
2. Ningún entero contiene el dígito 8.
3. Cada entero contiene el dígito 8 al menos una vez.
4. Cada entero es un palíndromo (Un entero positivo es un palíndromo si permanece igual cuando se lee hacia atrás, por ejemplo, 3773 y 47874).

ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:addmult-12}\)

Una caja contiene 12 bolas de distintos colores (por ejemplo, podríamos etiquetarlas como 1, 2,..., 12 para distinguirlas). Tres de ellos son rojos, cuatro son amarillos y cinco son verdes. Se seleccionan tres bolas al azar de la caja, con reemplazo. Determine el número de secuencias que cumplan las siguientes condiciones:

1. No hay restricciones.
2. La primera bola es roja, la segunda es amarilla y la tercera es verde.
3. La primera bola es roja, y la segunda y tercera bolas son verdes.
4. Exactamente dos bolas son amarillas.
5. Las tres bolas son verdes.
6. Las tres bolas son del mismo color.
7. Al menos una de las tres bolas es roja.

ejercicio\(\PageIndex{13}\label{ex:addmult-13}\)

Dejar\(A=\{a,b,c,d,e,f\}\) y\(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Determine el número de funciones\(f: A \to B\) que cumplan las siguientes condiciones:

1. No hay restricciones.
2. \(f\)es uno a uno.
3. \(f\)está en.
4. \(f(x)\)es impar para al menos una\(x\) pulg\(A\).
5. \(f(a)=3\)o\(f(b)\) es impar.
6. \(f^{-1}(4)=\{a\}\).

ejercicio\(\PageIndex{14}\label{ex:addmult-14}\)

¿Cuántas funciones on hay desde un conjunto\(n\) -element\(A\) hasta\(\{a,b\}\)?