2.1: La idea de un conjunto

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Un conjunto es una selección de ciertas cosas de un grupo (normalmente más grande). Cuando hablamos de un conjunto, estamos declarando que ciertos elementos específicos de ese grupo están en el conjunto, y ciertos elementos no están en el conjunto. No hay tonalidades de gris: cada elemento está dentro o fuera.

Por ejemplo, tal vez el grupo general que estoy considerando es mi familia, que consta de cinco personas: papá, mamá, Lizzy, T.J., y Johnny. Podríamos definir un conjunto —llamarlo\(A\) — que contenga a papá y Lizzy, pero no a los otros tres. Otro set\(B\) podría tener a Lizzy, T.J., y Johnny en él, pero no a los dos padres. El set\(C\) podría tener a papá y solo a papá en él. El set\(D\) podría tener los cinco Davieses, y el set\(E\) podría no tener a nadie en absoluto. Etc. Se puede ver que cada conjunto es solo una forma de especificar qué elementos están dentro y cuáles están fuera.

Normalmente un conjunto se basará en alguna propiedad de sus miembros, en lugar de solo ser algún surtido aleatorio de elementos. Eso es lo que hace que valga la pena pensarlo. Por ejemplo, el conjunto\(P\) (para “padres”) podría ser “todos los Davieses que son padres”: este conjunto contendría a papá y mamá, y a nadie más. El conjunto\(F\) (para “femenino”) podría declararse como los miembros femeninos, y contener a mamá y Lizzy. El conjunto\(H\) (para “humanos”) contendría los cinco elementos del grupo. Y así sucesivamente.

Como ocurre con la mayoría de las matemáticas, resulta útil definir símbolos para estos conceptos, porque entonces podemos hablar de ellos de manera más precisa y concisa. Normalmente enumeramos los miembros de un conjunto usando llaves, así:\[A = \{~\text{Dad}, \text{Lizzy}~\}\] o\[B = \{~\text{Lizzy}, \text{T.J.}, \text{Johnny}~\}\] Tenga en cuenta que no importa en qué orden enumere los miembros. El conjunto\(F\) de hembras contiene a Mamá y Lizzy, pero no es que mamá sea la “primera” hembra ni nada. Eso ni siquiera tiene sentido. No hay “primero”. Los miembros de un conjunto son todos miembros por igual. Entonces\(P\) es lo mismo si lo escribimos así:\[P = \{~\text{Dad}, \text{Mom}~\}\] o esto:\[P = \{~\text{Mom}, \text{Dad}~\}.\] Esas son solo dos formas diferentes de escribir lo mismo.

El conjunto\(E\) que no tenía a nadie en él se puede escribir así, claro:\[E = \{~\}\] pero a veces usamos este símbolo especial en su lugar:\[E = \varnothing.\] Sin embargo lo escribas, este tipo de conjunto (uno que no tiene elementos) se conoce como un conjunto vacío.

El conjunto\(H\), anterior, contenía a todos los integrantes del grupo objeto de estudio. A veces nos referiremos al “grupo bajo consideración” como el “dominio del discurso”. También es un conjunto, y solemos usar el símbolo\(\Omega\) para referirnos a él. ¹ Entonces en este caso,\[\Omega = \{~\text{Mom}, \text{Johnny}, \text{T.J.}, \text{Dad}, \text{Lizzy}~\}.\] otro símbolo que usaremos mucho es “\(\in\)“, que significa “es miembro de”. Ya que Lizzy es femenina, podemos escribir:\[\text{Lizzy} \in F\] para demostrar que Lizzy es miembro del\(F\) set. Por el contrario, escribimos:\[\text{T.J.} \notin F\] para demostrar que T.J. no lo es.

Como un aparte, mencioné que cada artículo está en, o no en, un conjunto: no hay tonalidades de gris. Curiosamente, los investigadores han desarrollado otro cuerpo de matemáticas llamado (no bromea) “teoría de conjuntos difusa”. Los conjuntos difusos cambian esta suposición de membresía: los elementos pueden estar “parcialmente en” un conjunto. Se podría declarar, por ejemplo, que papá es “10% femenino”, lo que significa que solo está 10% en el\(F\) set. Eso podría no tener mucho sentido para el género, pero se puede imaginar que si definimos un conjunto\(T\) de “las personas altas”, tal noción podría ser útil. En cualquier caso, este ejemplo ilustra un principio más amplio que es importante entender: en matemáticas, las cosas son como son simplemente porque hemos decidido que es útil pensarlas de esa manera. Si decidimos que hay otra manera útil de pensarlos, podemos definir nuevos supuestos y proceder de acuerdo con nuevas reglas. No tiene ningún sentido decir “los sets son (o no) realmente difusos”: porque no hay “realmente”. Todas las matemáticas proceden de lo que los matemáticos hayan decidido que es útil definir, y cualquiera de ellas se puede cambiar en cualquier momento si lo consideramos conveniente.

Algunos autores utilizan el símbolo U para esto, y lo llaman el “conjunto universal”.