2.10: Subconjuntos

Aprendimos que el símbolo “\(\in\)" se utiliza para indicar pertenencia a conjunto: el elemento de la izquierda es un miembro del conjunto de la derecha. Una noción relacionada pero distinta es la idea de un subconjunto. Cuando decimos\(X \subseteq Y\) (pronunciado “\(X\)es un subconjunto de\(Y\) “), significa que cada miembro de también\(X\) es miembro de\(Y\). Lo contrario no es necesariamente cierto, claro, de lo contrario “\(\subseteq\)" sólo significaría “\(=\)”. Entonces si\(A\) = {papá, Lizzy} y\(K\) = {papá, mamá, Lizzy}, entonces podemos decir\(A \subseteq K\).

Tenga cuidado con la distinción entre “\(\in\)" y “\(\subseteq\)“, que a menudo se confunden. Con\(\in\), la cosa de la izquierda es un elemento, mientras que con\(\subseteq\), la cosa de la izquierda es un conjunto. Esto se complica aún más por el hecho de que el elemento en el lado izquierdo de bien\(\in\) podría ser un conjunto.

Demos algunos ejemplos. Supongamos que\(Q\) es el conjunto {4, {9, 4}, 2}. \(Q\)tiene tres elementos aquí, uno de los cuales es en sí mismo un conjunto. Ahora supongamos que dejamos\(P\) ser el conjunto {4, 9}. Pregunta: ¿es\(P \in Q\)? La respuesta es sí: el conjunto {4, 9} (que es el mismo que el conjunto {9, 4}, recién escrito de una manera diferente) es de hecho un elemento del conjunto\(Q\). Siguiente pregunta: ¿es\(P \subseteq Q\)? La respuesta es no,\(P \not\subseteq Q\). Si\(P\) fuera un subconjunto de\(Q\), eso implicaría que cada miembro de\(P\) (hay dos de ellos: 9 y 4) también es un elemento de\(Q\), mientras que de hecho, sólo 4 es miembro de\(Q\), no 9. Última pregunta: si\(R\) se define como {2, 4},\(R \subseteq Q\) ¿es? La respuesta es sí, ya que tanto 2 como 4 también son miembros de\(Q\).

Observe que por la definición, cada conjunto es un subconjunto de sí mismo. A veces, sin embargo, es útil hablar sobre si un conjunto es realmente un subconjunto de otro, y no quieres que “cuente” si los dos conjuntos son realmente iguales. Esto se llama un subconjunto apropiado, y el símbolo para ello es\(\subset\). Se puede ver la justificación para la elección del símbolo, porque “\(\subseteq\)" es algo así como “\(\leq\)" para los números, y “\(\subset\)" es como “\(<\)”.

Cada conjunto es un subconjunto (no necesariamente uno propio) de\(\Omega\), porque nuestro dominio del discurso por definición contiene todo lo que puede surgir en la conversación. Algo menos obviamente, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Es raro pensar que\(\varnothing \subseteq Q\) cuando\(Q\) tiene varias cosas en él, pero la definición sí sostiene. “Cada” miembro de\(\varnothing\) (no hay ninguno) es de hecho también miembro de\(Q\).

Una nota sobre la lectura de esta notación que me pareció confusa al principio. A veces la expresión “\(a \in X\)" se pronuncia “\(a\)es un elemento de”\(X\), pero otras veces se lee “\(a\), que es un elemento de\(X\)”. Esto puede parecer un punto sutil, y supongo que lo es, pero si no estás listo para ello puede ser un escollo extra para entender las matemáticas (que es lo último que necesitamos). Toma este extracto hipotético (pero bastante típico) de una prueba matemática:

“Supongamos\(k \in \mathbb{N} < 10\dots\)”

Si\(k\) lees esto como “Supongamos que un número natural es menor que 10”, no es gramatical. Realmente debería entenderse como “Supongamos\(k\) (que es un número natural) es menor que 10”. Esto a veces también es cierto en el caso de las cláusulas adicionales. Por ejemplo, la frase “Supongamos que\(k \in \mathbb{R} > 0\) es la coordenada x del primer punto” debe leerse “Supongamos\(k\) que es un número real mayor que cero, es la coordenada x del primer punto”.

Te dejaré con una declaración sobre números que vale la pena reflexionar y comprender:

\[\varnothing \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \Omega.\]