2.11: Conjuntos de potencia

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Power set es un nombre curioso para un concepto simple. Hablamos del conjunto de poder “de” otro conjunto, que es el conjunto de todos los subconjuntos de ese otro conjunto. Ejemplo: supongamos\(A\) = {papá, Lizzy}. Entonces el conjunto de poder de\(A\), que se escribe como “\(\mathbb{P}(A)\)" es: {{Papá, Lizzy}, {Papá}, {Lizzy},\(\varnothing\)}. Échale un buen vistazo a todos esos tirantes rizados, y no pierdas ninguno. Hay cuatro elementos en el conjunto de potencia de\(A\), cada uno de los cuales es uno de los subconjuntos posibles. Puede parecer extraño hablar de “todos los subconjuntos posibles” —cuando aprendí por primera vez estas cosas, recuerdo haber pensado al principio que no habría límite en el número de subconjuntos que podrías hacer a partir de un conjunto. Pero claro que sí. Para crear un subconjunto, puede incluir o excluir cada uno de los miembros del conjunto original. En\(A\)'s caso, puedes (1) incluir tanto a papá como a Lizzy, o (2) incluir a papá pero no a Lizzy, o (3) incluir a Lizzy pero no a papá, o (4) excluir a ambos, en cuyo caso tu subconjunto es\(\varnothing\). Por lo tanto,\(\mathbb{P}(A)\) incluye los cuatro de esos subconjuntos.

Ahora, ¿cuál es la cardinalidad\(\mathbb{P}(X)\) para algún conjunto\(X\)? Esa es una pregunta interesante, y bien merece la pena reflexionar. La respuesta ondea el corazón de una gran cantidad de combinatorias y el sistema de números binarios, temas que cubriremos más adelante. Y la respuesta está justo al alcance de nuestra mano, si simplemente extrapolamos del ejemplo anterior. Para formar un subconjunto de\(X\), tenemos la opción de incluir, o bien ex clude, cada uno de sus elementos. Entonces hay dos opciones para el primer elemento ¹, y luego si elegimos incluir o excluir ese primer elemento, hay dos opciones para el segundo. Independientemente de lo que escojamos para esos dos primeros, hay dos opciones para la tercera, etc. entonces si\(|X|=2\) (recordemos que esta notación significa “\(X\)tiene dos elementos” o “\(X\)tiene una cardinalidad de 2"), entonces su conjunto de poder tiene \(2 \times 2\)miembros. Si\(|X|=3\), entonces su conjunto de poder tiene\(2 \times 2 \times 2\) miembros. En general:

\[|\mathbb{P}(X)| = 2^{|X|}.\]

Como caso limitante (y un brain-bender) note que si\(X\) es el conjunto vacío, entonces\(\mathbb{P}(X)\) tiene uno (no cero) miembros, porque de hecho hay un subconjunto del conjunto vacío: es decir, el conjunto vacío mismo. Entonces\(|X|=0\), y\(|\mathbb{P}(X)|=1\). Y eso jives con la fórmula anterior.

Sé que realmente no hay “primer” elemento, pero trabaja conmigo aquí.