2.12: Particiones

Finalmente, hay una variación especial en el concepto de subconjunto llamada partición. Una partición es un grupo de subconjuntos de otro conjunto que juntos son a la vez colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes. Esto significa que cada elemento del conjunto original está en uno y solo uno de los conjuntos en la partición. Formalmente, una partición de\(X\) es un grupo de conjuntos\(X_1, X_2, \dots, X_n\) tales que:

\[X_1 \cup X_2 \cup \cdots \cup X_n = X,\]\[X_i \cap X_j = \varnothing \quad \text{for all $i$, $j$}.\]

Entonces digamos que tenemos un grupo de subconjuntos que supuestamente son una partición de\(X\). La primera línea, arriba, dice que si combinamos el contenido de todas ellas, obtenemos todo lo que hay en\(X\) (y nada más). A esto se le llama ser colectivamente exhaustivo. La segunda línea dice que no hay dos conjuntos que tengan nada en común: son mutuamente excluyentes.

Como es habitual, un ejemplo vale más que mil palabras. Supongamos que el conjunto\(D\) es {Papá, Mamá, Lizzy, T.J., Johnny.} Una partición es cualquier forma de\(D\) dividirse en subconjuntos que cumplan con las condiciones anteriores. Una de esas particiones es:

{Lizzy, T.J.}, {mamá, papá}, y {Johnny}.

Otro es:

{Lizzy}, {T.J.}, {Mamá}, y {Johnny, Papá}.

Otro más es:

\(\varnothing\),\(\varnothing\), {Lizzy, T.J., Johnny, Mamá, Papá}, y\(\varnothing\).

Todas estas son formas de dividir a la familia Davies en grupos para que nadie esté en más de un grupo, y todos estén en algún grupo. Lo siguiente no es una partición:

{Mamá, Lizzy, T.J.}, y {papá}

porque deja fuera a Johnny. Esto, también, no es una partición:

{Papá}, {Mamá, T.J.}, y {Johnny, Lizzy, Papá}

porque papá aparece en dos de los subconjuntos.

Por cierto, darse cuenta de que cada conjunto (\(S\)) junto con su complemento (total) (\(\overline{S}\)) forma una partición de todo el dominio del discurso\(\Omega\). Esto se debe a que cada elemento o bien está, o no está, en un conjunto dado. El conjunto de machos y no machos son una partición de\(\Omega\) porque todo es un macho o un no masculino, y nunca ambos (los objetos inanimados y otros sustantivos son no machos, tal como lo son las mujeres). El conjunto de números primos y el conjunto de todo-excepto-primer-números son una partición. El conjunto de hamburguesas con queso poco hechas y el conjunto de hamburguesas con queso todo, excepto subhechas, forman una partición de\(\Omega\). Por pura lógica, esto es cierto sin importar cuál sea el conjunto.

Quizás te preguntes por qué las particiones son un concepto importante. La respuesta es que vienen bastante, y cuando lo hacen, podemos hacer algunas simplificaciones importantes. Toma\(S\), el conjunto de todos los alumnos de la UMW. Podemos particionarlo de varias maneras diferentes. Si\(S\) dividimos en el conjunto de machos y el conjunto de hembras, tenemos una partición: cada alumno es masculino o femenino, y ningún estudiante es ambos. Si los dividimos en estudiantes de primer año, segundo año, juniors y seniors, nuevamente tenemos una partición. Pero dividirlos en especializaciones en ciencias de la computación y especializaciones inglesas no nos da una partición. Por un lado, no todos se especializan en una de esas dos materias. Por otro, algunos estudiantes podrían tener doble especialización en ambos. De ahí que este grupo de subconjuntos no sea mutuamente excluyente ni colectivamente exhaustivo.

Pregunta: ¿el número de alumnos es\(|S|\) igual al número de estudiantes varones más el número de alumnas? Obviamente sí. Pero, ¿por qué? La respuesta: porque los machos y las hembras forman una partición. Si sumáramos el número de estudiantes de primer año, segundo año, juniors y seniors, también obtendríamos\(|S|\). Pero sumar el número de especializaciones en ciencias de la computación y de inglés casi con certeza no sería igual a\(|S|\), porque algunos estudiantes serían doblemente contabilizados y otros no contados en absoluto. Este es un ejemplo del tipo de hermosa simplicidad que proporcionan las particiones.