2.2: Definición de conjuntos

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Hay dos formas de definir un conjunto: extensiva e intensivamente ¹. No estoy diciendo que haya dos tipos de conjuntos: más bien, simplemente hay dos formas de especificar un conjunto.

Definir un conjunto extensivamente es enumerar sus miembros reales. Eso es lo que hicimos cuando dijimos$P = \{~\text{Dad}, \text{Mom}~\}$, arriba. En este caso, no estamos dando ningún “significado” al set; solo estamos deletreando mecánicamente lo que hay en él. A los elementos papá y mamá se les llama la extensión del conjunto$P$.

La otra forma de especificar un conjunto es intencionalmente, lo que significa describir su significado. Otra forma de pensar de esto es especificando una regla mediante la cual se pueda determinar si un elemento dado está o no en el conjunto. Si digo “Que$P$ sea el conjunto de todos los padres”, estoy definiendo$P$ intensivamente. No he dicho explícitamente en qué elementos específicos del conjunto se encuentran$P$. Acabo de dar el significado del conjunto, a partir del cual se puede averiguar la extensión. Llamamos “padre-ness” la intención de$P$.

Tenga en cuenta que dos conjuntos con diferentes intenciones podrían tener, sin embargo, la misma extensión. Supongamos que$O$ es “el conjunto de todas las personas mayores de 25 años” y$R$ es “el conjunto de todas las personas que usan anillos de boda”. Si nuestra$\Omega$ es la familia Davies, entonces$O$ y$R$ tenemos la misma extensión (es decir, mamá y papá). Tienen diferentes intenciones, aunque: conceptualmente hablando, están describiendo cosas diferentes. Uno podría imaginar un mundo en el que las personas mayores no usen todos anillos de boda, o uno en el que algunos jóvenes sí lo hagan. Dentro del dominio del discurso de la familia Davies, sin embargo, las extensiones pasan a coincidir.

Dato: decimos que dos conjuntos son iguales si tienen la misma extensión. Esto puede parecer injusto para la intencionalidad, pero así es como es. Por lo que es totalmente legítimo escribir:\[O = R\] ya que por la definición de igualdad establecida, de hecho son iguales. Al principio pensé que esto era raro, pero en realidad no es más raro que decir “el número de años que duró la Guerra Civil = el número de camiseta de Brett Favre cuando jugaba para los Packers”. Las cosas del lado izquierdo y derecho de ese signo igual se refieren conceptualmente a dos cosas muy distintas, pero eso no impide que ambas tengan el valor 4, y así sean iguales.

Por cierto, a veces usamos la notación de llaves en combinación con dos puntos para definir un conjunto intensivamente. Considera esto:\[M = \{~k : \text{$k$ is between 1 and 20, and a multiple of 3}~\}.\] Cuando llegues a un colon, pronúncialo como “tal que”. Entonces esto dice “$M$es el conjunto de todos los números$k$ tal que$k$ está entre 1 y 20, y un múltiplo de 3”. (No hay nada de especial en$k$, aquí; podría haber escogido cualquier carta.) Esta es una definición intensional, ya que no hemos enumerado los números específicos en el conjunto, sino que hemos dado una regla para encontrarlos. Otra forma de especificar este conjunto sería escribir\[M = \{~3,6,9,12,15,18~\}\] que es una definición extensional del mismo conjunto.

Interesante experimento de pensamiento: ¿qué sucede si amplias la intención de un conjunto agregándole condiciones? Respuesta: aumentar la intensión disminuye la extensión. Por ejemplo, supongamos que inicialmente$M$ se define como el conjunto de todos los machos (en la familia Davies). Ahora supongamos que decido sumar a esa intensión convirtiéndola en el conjunto de todos los machos adultos. Al sumar a la intención, ahora he reducido la extensión de {papá, T.J., Johnny} a solo {papá}. Lo contrario también es cierto: recortar la intensión eliminando condiciones efectivamente aumenta la extensión del conjunto. Cambiar “todas las personas masculinas” a solo “todas las personas” incluye a mamá y Lizzy en la mezcla.

Deletreando liendres: “intencionalmente” tiene una 's' en ella. “Intencionalmente”, que significa “deliberadamente”, es una palabra completamente diferente.