2.3: Conjuntos finitos e infinitos

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 117484

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Los sets pueden tener un número infinito de miembros. Eso no tiene sentido para el ejemplo de la familia Davies, pero para otras cosas hace, claro, como:\[I = \{~k : \text{$k$ is a multiple of 3}~\}.\]

Obviamente hay infinitamente muchos múltiplos de 3, y así$I$ tiene un número ilimitado de miembros. No en vano, llamamos$I$ un conjunto infinito. Más sorprendentemente, resulta que hay diferentes tamaños de conjuntos infinitos, y por lo tanto diferentes tipos de infinito. Por ejemplo, aunque hay infinitamente muchos números enteros, y también infinitamente muchos números reales (decimales), sin embargo hay más números reales que números enteros. Esto es lo que enloqueció a Cantor, así que no lo discutiremos más aquí. Por ahora, solo date cuenta de que cada conjunto es finito o infinito.

Se podría pensar, por cierto, que no hay forma de definir extensamente un conjunto infinito, ya que eso requeriría papel infinito. Esto no es cierto, sin embargo, si usamos creativamente una elipsis:\[I = \{~3,6,9,12,15,\dots~\}\] Esta es una definición extensional de$I$, ya que estamos enumerando explícitamente todos los miembros. Se podría argumentar, sin embargo, que es realmente intensional, ya que la interpretación de “...” requiere que el lector entienda la regla y la aplique mentalmente a todos los números restantes. Quizás en realidad estamos dando una definición intensional, envueltos en una lista de miembros de aspecto extensivo. Estoy en la barda aquí.